從《數學思考》談歸納推理能力的培養

余亞兵

歸納推理是由特殊的具體事例推導出一般原理、原則的推理方法，是探究未知事物的重要方法。

人教版六年級數學下冊《數學思考》的第一個問題是這樣的：

表格第一行是對點數和連線方式的表示，第二行是每增加一個點，增加的線段條數，第三行是線段總條數。為了輔助學生思考，教科書在表格下方給出如下內容：

3個點連成線段的條數：1+2=3（條）

4個點連成線段的條數：1+2+3=6（條）

5個點連成線段的條數：1+2+3+4=10（條）

6個點連成線段的條數：

8個點連成線段的條數：

根據規律，你知道12個點、20個點能連多少條線段嗎？請寫出算式。想一想，n個點能連多少條線段？

教科書呈現的推理方式是歸納推理的方式，即從點數分為3、4、5時線段條數的計算規律，引導學生歸納出點數為6、8或更多的點數時，線段條數的計算方法，讓學生初步體會歸納推理的思想。

如果教師照本宣科，學生按照課本的引導是可以解決這個問題的，但筆者認為這樣做少了數學探究的味道。筆者思考：如果沒有書中的引導，學生會如何思考這個問題。于是，筆者對教科書呈現方式進行了改編，嘗試先設置兩個簡單的相關例題，讓學生自主探究解決問題的方法，從而獲得對推理過程的體驗，再來解決上述例題。

例1：按照規律寫出下列數的第5個數和第6個數，你是依據什么寫的？你能寫出第n個數嗎？

2，5，8，11，14……

例2：下面第5、第6個圖形各有多少個點？第10個圖形呢？你能寫出第n個圖形點數的算式嗎？

例1比較簡單，學生分析前面幾項的規律：依次增加3，容易得到一般規律，喚醒學生用歸納法解決問題的意識。例2中的每一個（從第2個開始）圖形，都包含了它前面的圖形，依據相鄰兩個圖形的關系，可以依次寫出各圖形的點數。例1、例2的練習讓學生形成解題思路：從簡單的情況入手，注意分析相鄰兩項或幾項的關系，從而形成一般規律。

隨后，筆者將教科書上的例題作為例3，以文字的形式呈現給學生。

例3：如表格所示（見上表），6個點可以連多少條線段？8個點呢？你知道12個點、20個點能連多少條線段嗎？請寫出算式。想一想，n個點能連多少條線段？

學生解決例3時，受例1、例2的正遷移，分析相鄰兩項的關系，從而形成教科書上的解法。6個點連成線段的條數：1+2+3+4+5=15（條），7個點連成線段的條數：1+2+3+4+5+6=21（條）;以此類推，8個點時為28條，12個點時為66條，20個點時為190條;n個點時用算式表示為：1+2+3+……+n-1條。筆者引導學生用如下方法進一步歸納一般公式。

例2中第n-1個圖形的點數為1+2+3+……+n-1，將例2中的每個圖形倒置，與原來的圖形構成一個平行四邊形（如下圖）。第n-1個圖形（n>1）有（n-1）行，每行有n個點，共有n（n-1）個點。所以1+2+3+[……]+n-1=[n（n-1）2]。通過對公式的探討，進一步鞏固歸納推理的思想方法。

還有學生運用已學過的數線段條數的方法，從而得到如下解法。6個點分別記作1，2，3，4，5，6，點1與點2連線段記作（1，2），以點1為端點的線段有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）共5條;以點2為端點不含點1的線段有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共4條……以點5為端點不含點1點2點3點4的線段有（5，6）有1條;因此共有線段的條數為：1+2+3+4+5=15（條），從而總結出：解題時應有條理地把問題分為幾類進行計數。通過分類計數的解法，學生也能歸納出一般結果，避免因為問題復雜使思維受阻。

（作者單位：黃岡市黃梅縣孔龍鎮殷灣小學）

助理編輯? 劉佳