樸實無華的歸納方法

張建光

現在的學生學習壓力大，時間有限，那么學習效率就應該是決定勝敗的關鍵！如何提高學習效率呢？眾說紛紜，我覺得呢，善于總結方法和規律應該是提高學習效率的一大法寶。尤其在數學這門學科的學習過程中，善于總結方法，善于發現規律，能夠大大提高做題的準確性，能夠最大限度地節省時間，能夠讓學生們發現學習其實是有規律可循的，從而點燃他們學習數學的熱情，實現在快樂中學習，并且學得很出色！

九年義務教育階段，九年級上冊第二十四章--圓，其中的相關計算在每年中考中都占有一定的比例。這一章知識點偏多，重點是圓的包容性極大，它可以同任何初中學段學過的圖形相結合，在這部分習題中也會用到以前學過的眾多定理。圓就像一個統治者，可以任意調配它的部下，組合出千變萬化的題型。這就讓我們的莘莘學子為難了，要想做好這部分習題，首先基礎必須很扎實，其次要有靈活的頭腦和寬廣的思路。題目雖然對我們要求很高，但是我們只要掌握一定的技巧，善于總結方法，發現規律，那么難題也會被我們一一攻克！

例如：切線的判定和性質這一節中，很多的題目都需要我們去做輔助線，所以如何構造出輔助線的模型就很關鍵了。

1如圖AB是☉O的直徑，AC是圓中的弦，OD⊥AC于點D，過點A作☉O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC、BC

猜想：

（1）線段OD與BC有何數量和位置關系，并證明你的猜想

（2）求證：PC是☉O的切線

解析：證明PC是切線就得證明OC⊥PC于點C，所以肯定連接OC，OD⊥AC滿足了垂徑定理中①過圓心，②垂直于弦的兩個條件，可以得出平分弦的結論，也就是說點D是AC中點，有關圓的題目中都會隱含一個中點，也就是圓心是直徑的中點，這兩個中點放在一起就會出現三角形的中位線，三角形的中位線就會平行于第三邊，等于第三邊的一半。沒有三角形的時候也可以構建一個三角形來利用三角形的中位線。

2、如圖，已知BC是☉O的直徑，AC切☉O于點C，AB交☉O于點D，E為AC中點，連接DE。

（1）若AD=BD，OC=5，求切線AC的長

（2）求證：ED是☉O的切線

解析：因為AD=BD，所以點D為AB中點，加上隱含的圓心是直徑中點，連接OD后就出現了三角形的中位線，所以直接能得到AC=2OD=10，使題目變得非常簡單。想要證明ED是☉O的切線，就是證明OD⊥DE于點D，要想證明垂直就去題目中找垂直，已知中AC是☉O的切線，所以AC⊥BC，點E是AC中點加上隱含圓心是直徑的中點，所以連接OE后得到三角形ABC的中位線，有平行后利用同位角相等得到CE=OC即CE=OD，再加上CE∥OD，四邊形OCED是平行四邊形，對角相等，就解決了問題。

3、如圖，已知RtΔABC，∠C=90?，D為BC中點，以AC為直徑的☉O交AB于點E。（1）求證：DE是☉O的切線;（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長。

題目中點D是BC中點，隱含條件圓心O是直徑中點，我們想到連接DO，那就能形成三角形的中位線，從而得到平行，平行后就會有同伴角相等，內錯角相等，再加上同圓中兩條半徑相等，得到等邊對等角，就可以找到相應的條件。做好輔助線后，就得想怎么證明，證明是切線需要兩點，一是過半徑外端點，一是證明OE⊥DE，想要證明垂直就要看題目中已有的垂直，發現已知條件中∠C=90?就是已有的垂直，直觀上利用全等就可以了。全等的條件有兩條半徑，一條公共邊，它們的夾角就是利用平行和等邊對等角推到的，從而得到最后的結論。第二問可以證明ΔAEO是等邊三角形，得到AE等于半徑，對么RtΔABC有兩條邊都可以表示出來，第三邊有具體的數值，就可以求出最后的結果，也可以利用相似得到最后的結果。

解決以上三個問題雖然已知條件略有出入，但是有一個共同的特點，除了隱含的圓心是直徑的中點外還有一個中點，那我們的做法都一樣，就是連接這兩個中點，形成三角形的中位線，從而得到平行，利用平行的內錯角相等和同位角相等來證明需要的條件。這個時候往往需要以兩條半徑為邊的等腰三角形來幫忙證明出全等三角形的條件。

在圓這部分的計算和證明中像這樣的規律還有很多，比如像上面題目中出現的ΔAEO是由兩條半徑加一條弦形成的三角形，像這樣出現在圓里的三角形往往可以證明出是等邊三角形。還有就是想要證明垂直，就先要在題目中尋找已有的垂直。學生掌握了這些技巧，做起題來得心應手，當然也就節省了很多時間。

在九年級數學中還有一章也占據了非比尋常的地位，在中考中也是必要的考點與難點，那就是二次函數。二次函數是一種常見的函數，應用非常廣泛，它是客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和變化規律的一種非常重要的數學模型。許多實際問題往往可以歸結為二次函數加以研究。在二函數的應用中，當然也會有很多的規律可尋。

題目總是千變萬化的，學習也永遠沒有止境。有的同學可以在短短的十幾年里為自己爭得一個好的前程！也有的同學認為學習實在太難了，實在太苦了，使自己早早地喪失了對學習的興趣！我想說，“書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。”取得好成績的路一直都在那里，正所謂知之者不如好之者，好之者不如樂之者。如果我們真正喜歡學習，并能以此為樂，學習即使再辛苦，帶給我們的也只能是快樂！那么不斷地思考，不斷地去總結方法和規律，用自己積累起來的經驗做題，不僅使速度加快了，準確率也提高了，那樣是不是心里就有了快樂的源泉呢？