基于APOS理論指導小學數學概念教學探析

陳霞

【摘要】本文闡述基于APOS理論指導概念教學的意義，并以人教版數學六年級下冊《圓柱的表面積》一課為例，分別從操作階段、程序階段、對象階段、圖示階段對圓柱概念教學進行設計，并進行反思，以更好地建構高效課堂，提升學生學科核心素養。

【關鍵詞】APOS理論小學數學 概念教學圓柱的表面積

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）41-0120-03

進入小學六年級，師生直面“小升初”的巨大壓力，不僅要完成該學年的教學任務，還需進行總復習，為初中的學習做好準備。可以說，該學年時間緊、任務重，是教學過程中非常重要的階段，亟需一套成熟完備的理論用于指導教學。筆者作為一名小學數學教師，經歷多年的教學實踐，發現APOS理論能為數學概念教學提供良好的指導。下面，筆者以人教版數學六年級下冊《圓柱的表面積》一課為例，論述APOS理論在數學概念教學中的具體應用，并進行總結和反思，為實現高效教學進行積極的探索。

一、運用APOS理論指導概念教學的意義

20世紀80年代，杜賓斯基等人針對數學概念學習的特點，基于構建主義提出APOS理論。經過歷代數學教育工作者的努力探索，當前該理論已經趨于完善成熟，也越來越多地應用于現代課堂教學指導。APOS理論包含操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）4個階段，并認為經過教師的引導完成操作、過程、對象前3階段，學生就能對外部刺激做出具體反應，然后將具體反應轉化內隱程序而不必局限于具體的運算，最終自主反思完成最后階段——“圖式”階段，即自行對具體內容的認知進行抽象概括，將過程轉變為數學概念的內化與凝聚，逐步發現概念的本質，進而形成完備而牢固的認知結構，提高學習成效。

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》的標準與要求，數學教學進入第二學段（3~6年級），學生將逐步接觸立體圖形，開始幾何內容的學習；此學段又是培養學生抽象概括能力的重要時期，同時空間觀念、推理思維也在這個階段開始穩步發展。通過抽象概括訓練，學生對事物的感性認識將轉為理性認識。以圓柱體這一立體圖形為例，其相關課程包含許多概念性的內容，不少教師在教學中卻因缺乏科學、有效的理論指導，未能厘清教學的流程，導致學生在平面到立體、靜止到運動的數學抽象過程中走了許多不必要的彎路，在構建概念框架時有所缺失。這一缺失直接導致學生抽象能力發展欠缺，在學習過程中難以抓住數學材料（題目）的本質屬性，容易受到非本質屬性干擾，對概念的掌握不全面、不深刻，最終出現數學能力難以提升的局面。六年級處于小學升初中的關鍵銜接階段，其教學應具有很強的延續性，教師需要關注學生思維從具象向抽象的轉變，在課堂進行相應的訓練。

在小學數學概念教學中，以APOS理論為指導，既能體現課標中“數學概念具有對象和過程的兩重性”特點，也能突出課標中“以生為本”的教學理念，符合數學課程改革趨勢，有助于構建合理的概念教學體系。以圓柱體的概念為例，按照APOS理論的4個階段，從具體的活動過程到抽象的概念構建過程所進行的教學設計，均符合學生的認知規律與心理發展特征，有助于激發學生的學習興趣，使他們體驗從實際生活背景中抽象出數學概念、構建數學學習模型的過程，最終達成提升學生數學能力、高效銜接小學與初中教學的目標。

二、APOS理論視角下的圓柱概念教學設計

（一）操作階段

根據APOS理論，在學習的開始階段——操作階段，教師要對學生輸入一定的刺激，引導學生感知所學概念。這些刺激可以是數學操作、數學實驗等，也可以通過多媒體引導學生調動感覺器官，開展回憶、猜想、聯想、判斷等思維活動。實際的教學過程，教師可以通過如下步驟依次展開。

1.通過PPT，展示具有長方體、立方體與圓柱體特征的實物圖片，喚醒學生的生活經驗，然后讓學生說一說，哪些是之前學習過的立體圖形（長方體、立方體），哪些是之前沒見過的立體圖形（圓柱體）。

2.消除PPT中的長方體與正方體實物圖片，提示學生“這種之前沒見過的立體圖形我們稱為‘圓柱體’”，并請學生嘗試歸納圓柱體的特征是什么，思考它為什么不能與之前學習過的長方體、立方體歸為一類。

3.利用多媒體抽象出圓柱體的數學圖形，并將圓柱體教具放到講臺上展示，讓學生說一說生活中還有哪些物體的形狀是圓柱體。

4.出示課本上介紹的教具——一張被黏在木棍上的硬紙，開始高速旋轉，向學生提問：老師手中的物體形狀看起來像什么？

5.教師拿出一罐圓柱形罐頭，將標簽紙從側面垂直剪斷，然后展開，向學生提問：標簽紙展開后是什么形狀？

教師展示生活中常見的事物，讓概念蘊含于事物之中，讓教學內容貼近學生的生活，縮短學生與教材的距離；在教學新課程時從學生已經熟悉的長方體、正方體概念入手，有利于學生做好迎接新概念的心理準備。當學生能說出圓柱體與長方體、立方體最顯著的不同時，教師再適時引導學生閱讀課本，使其了解圓柱的“底面”“側面”“高”等概念。在步驟4中，教師把圓柱體的實物擺放于講臺，啟發學生說出更多生活中的圓柱體物體，初步將抽象的概念還原到現實中，讓學生經歷從具體—抽象—具體的過程，為其此后自行運用所掌握的圓柱體概念知識解決實際問題做好準備。

（二）程序階段

學生經歷了數學活動的操作階段之后，已對圓柱的形體特征、各部分的名稱、圓柱的展開與合并有一定的了解。因此在APOS的第二階段——程序階段，教師需要讓學生不斷對活動進行反省、重復，幫助他們從大量的實例中抽象出數學概念。在教學中，教師應結合具體實例提出問題讓學生學習、探究，使其認識逐漸從感性上升到理性。教師開展程序階段的教學，可以從5個步驟開展。

1.再度展示包裹圓柱罐頭的標簽紙，然后沿著罐體的側面用細膠帶粘貼一條垂線，再以這條垂線為起點繞著罐體貼一圈細膠帶。當展開細膠帶之后，發現其長度竟然和標簽紙的長與寬之和相吻合。

2.循序漸進地提問并帶領學生完成練習：（1）小明做了一個筆筒，底面直徑是6cm，高為12cm，為了給筆筒的側面貼上貼紙，他至少需要用多少面積的彩色貼紙？（2）工人師傅要修建一個底面半徑為6m，深3m的露天圓柱形蓄水池，為了防水要在底面和側面抹上防水涂層，涂抹防水涂層的面積是多少？（3）張阿姨要做一個圓柱形的抱枕，長60cm，底面直徑20cm，一共需要多少平方米的布料？

3.提問并引導學生反思：要想得出上述問題的結果，需要知道圓柱體上的哪些數據？

在這個階段，學生的主要任務是將操作行為“數學化”。面對數道循序漸進的練習題，學生在解題過程中逐漸明白圓柱體中幾個重要的“指標”分別有什么“作用”，也直觀地理解了圓柱體的側面展開后是長方形，以及其長寬與圓柱體又存在什么關系。在上述活動中，學生感悟到圓柱體的表面積就是其底面面積與側面面積之和。經過程序階段的探索，學生思維中的圓柱體表面積概念逐漸擺脫物體的具體形態，最終變得抽象而高度概括。

（三）對象階段

經歷上述兩個階段，學生對圓柱體的表面積概念已經初具抽象性，但是仍缺乏一個升華的過程。在對象階段，教師應該努力幫助學生體驗從具體操作到概念形成的思維過程，學習用符號表示抽象出的相應概念，將“程序”凝結為“對象”，即將多部分組成的內容打包為一個靜態的“對象”。在實際的教學活動中，教師可依次展開如下操作。

1.借助圓柱形教具，取出上下底面，展開側面包裹的標簽紙，向學生展示一個圓柱體展開之后分別由什么構成。

2.再度出示課本上介紹的教具——一張被黏在木棍上的硬紙，然后握著木棍緩慢旋轉，并要求學生想象紙片是如何通過掃過一個空間形成圓柱體的。

3.借助“幾何畫板”等軟件，展示圓柱體分解為上下兩底的圓形和側面的長方形的過程，并通過動畫再現步驟2中的矩形是如何掃過空間形成圓柱體的。

4.回歸課本，點明圓柱體的表面積=圓柱體的側面積+兩個底面的面積，并用等式表示出來。

在本階段，學生將操作階段、程序階段的過程逐漸抽象化，漸漸拋棄具體的物體形態而概括出圓柱體的底面直徑、半徑和圓柱體的高等定義，概括出“圓柱體表面積”的概念并加以比較、綜合，明確圓柱體的表面積與上述概念的關系，將表面積凝結成一個具體的對象，形成一個內涵明晰的概念。

（四）圖式階段

圖式階段是學生對前面三個階段形成的概念在頭腦中進行整合的階段，其能進一步固化學生剛剛形成的概念，并且與其他概念、規則、圖式建立聯系，最終在腦中形成綜合的知識網絡結構。在這個階段，學生的學習活動不能局限于課堂聽講、課后做題，還要開展小組學習、研究性學習，借此途徑展示學習成果、提出新問題等。在這個階段，教師可以依次展開如下教學步驟。

1.回顧圓柱體的認識過程，引導學生思考是什么特征讓一個圓柱體區別于其他的立體形狀，又是什么特征讓圓柱體之間互相產生區別。

2.引導學生思考圓柱體的表面積計算方法在生活中的應用，如計算生產用料、測量相關物體的裝配面積等。

3.布置課后任務進行拓展練習，讓學生進一步掌握圓柱體的相關概念以及表面積的計算方法。

4.結合生活實際、具體的生產情況，選擇一些能多角度全方位考查學生對圓柱體概念掌握情況的題目，鞏固學生對圓柱體概念的認知。

5.歸納總結學過的表面積計算方式，引導學生嘗試歸納總結表面積計算的數學模型，為今后圓錐、球體的表面積學習奠定基礎。

圖式階段的學習探索，能夠引導學生把學習過的“圓柱體表面積”融入“表面積”概念中，搭建較為完整的知識結構，并能根據這個結構預測未來可能遇到的問題，最終在心理圖式中內化這個表面積的求解方法。

三、教學反思

隨著APOS理論的不斷完善，小學數學概念教學獲得有力的理論支撐。該教學模式不僅尊重學生個體數學模型概念的學習過程，讓學生在構建概念的同時搭建知識框架，通過原有概念預測未來新知，也通過分階段的方式為教師提供步驟明晰、條理清楚的教學方法。但在APOS理論的實踐過程中，筆者也就一些問題進行了反思，并提出相應的改進策略。

（一）要把控操作階段的時長

學生在操作階段通過接觸、感悟現實世界，接受外界的刺激而形成概念，這樣的方式直觀而直接。但教師應注意，六年級學生的認知水平已經達到一定的高度，心智發展趨于成熟，思維方式也開始從算數思維轉向代數思維，從形象思維轉向抽象思維，如果教師在具象事物的范疇內停留太久，那么容易造成課堂效率低下。此外，該年段的學生逐步進入青春前期，較低年段的學生而言，他們的課堂紀律與個人情緒更不好把控。當學生在“操作階段”受過多刺激，其情緒容易過度興奮，注意力與精力也消耗過多，會嚴重影響他們后續三個階段的學習，最終造成理論概念學習流于表面，仍停滯在具象階段，不利于概念內化。認識圓柱體并計算表面積的教學安排為1個課時，時間較緊，又面臨小學數學總復習的壓力，任務較重，因此教師在教學時，應尊重學生身心發展特點，妥當把控操作階段的時長，幫助學生逐步構建、內化數學概念。

（二）要重視教學的連貫性

APOS理論為教師的實際教學提供理論抓手，設立了4個教學階段。這4個階段應循序漸進，通過引導學生逐級反思、抽象，最終得出結論概念。在這個過程中，教師要認識到APOS理論雖然是分層次、分階段的，但是在實際運用中，應追求“潤物無聲”的理論境界，將4個階段順暢地連貫起來，讓學生在沒有意識的情況下邁入深層次的思維活動，體會“漸入佳境”之感。筆者觀摩不少以APOS理論為指導的教學視頻實錄，明顯察覺到部分教師在教學過程中對兩個環節之間的銜接缺乏過渡與安排，亦不考慮學生的接受程度強行開啟下一階段的學習，導致課堂變得支離破碎，學生學習時不免產生疑惑，轉而分散注意力，最終影響教學效率。因此，教師在以APOS理論指導教學時，應充分考慮課堂連貫性，妥當選擇例題、過渡方式，讓學生在連貫的教學環節中逐步實現學習目標。

（三）要促進學生概念遷移

學生在學習圓柱體前已經積累了一定的立體圖形知識，所以在引導其初步接觸圓柱體時，教師可以從學過的立方體、長方體導入；當學到求表面積的階段，又將其與之前學的立方體、長方體概念相結合，逐步推導圓柱體表面積公式，促進概念內化。當完成圓柱體表面積的學習之后，教師引導學生進一步思考所學的知識除了在生活中運用，還可以用來求解什么，由此引出圓柱體的底面周長、高等參數，為圓柱體的體積教學做充分的鋪墊。此時教師可以順理成章地再度開展APOS教學，從具體實例入手，開始關于圓柱體體積概念的學習。

筆者認為概念的遷移存在縱橫兩個方向，橫向的遷移如表面積的概念，從正方體到長方體再到圓柱甚至是接下來的圓錐，都是表面積概念范疇下不同形式的延伸；而縱向的概念遷移則體現了思維從淺到深、從具象到抽象、從平面到空間的遷移。因此，利用APOS理論指導教學時，當完成了圖式階段之后，教師應積極促進學生以這個凝聚為圖式的概念為起點，向更深層次的思考延伸，以高效實現學習目標。

APOS理論經過近四十年的發展逐漸成熟，為數學的教學提供了一個有力的理論依據，而通過掌握圓柱概念，學會求解圓柱體表面積又是學生在六年級階段思維從具象向抽象過渡、發展空間思維必不可少的一個環節。希望越來越多的數學教育工作者能認識并發掘這個理論的價值，以此為理論指導開展教學實踐，促進學生數學學科素養提升，幫助學生思維向更高層次邁進。

【作者簡介】陳 霞（1976—），女，廣西北流人，一級教師，現就職于玉林北流市新松小學，研究方向為小學數學教學。

（責編黃健清）