小學(xué)數(shù)學(xué)算理教學(xué)探析

李娟 韋宏

【摘要】本文以“多位數(shù)乘一位數(shù)”教學(xué)為例，基于數(shù)學(xué)思想方法對算理進(jìn)行分析，即以數(shù)形結(jié)合思想方法分析算理，幫助學(xué)生發(fā)展“數(shù)式”表征，用“形”理解“數(shù)”；以轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法理解算理，幫助學(xué)生化難為易，理解算理；以變中有不變的思想方法分析算理，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)算法的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法算理多位數(shù)乘一位數(shù)

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）41-0133-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）指出：學(xué)生需獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。基本思想作為“四基”之一，滲透數(shù)學(xué)的思想方法，有利于促進(jìn)學(xué)生知識的遷移，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生理解算理的過程是從具體到抽象的探究過程，數(shù)學(xué)課程要關(guān)注過程性目標(biāo)和結(jié)果性目標(biāo)。在計算教學(xué)中，學(xué)生不僅需要掌握計算方法，還要理解為什么這樣計算。算理教學(xué)有助于學(xué)生理解數(shù)本身的意義，促進(jìn)思維能力的提高。“多位數(shù)乘一位數(shù)”是基于乘法口訣表，是進(jìn)行筆算乘法的開端，這部分內(nèi)容在小學(xué)運算中起到重要的作用。為此，教師需要基于數(shù)學(xué)思想方法，以“多位數(shù)乘一位數(shù)”教學(xué)為例，加強對算理的分析，提高學(xué)生的運算興趣和學(xué)習(xí)能力。

一、算理教學(xué)及數(shù)學(xué)思想方法

算法是計算的步驟和程序。算理即計算的道理，它解釋了為什么這樣計算，是理解算法的前提，是對每一個計算步驟的解釋。在“多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)中，其算理主要運用了位值概念和乘法分配律的運算率。在位值概念中，一個數(shù)字的位置代表了它所呈現(xiàn)的值。“多位數(shù)乘一位數(shù)”可以利用“幾個十，幾個一乘幾”的方式來理解算理；而乘法算式是將幾個計算步驟合起來的簡便運算。“多位數(shù)乘一位數(shù)”的計算，可以依賴乘法分配律將多位數(shù)拆分，再分別與一位數(shù)相乘，最后合起來計算，是以“分割”的方式來理解算理。教師運用概念和運算率兩種形式分析算理，在教學(xué)中通過直觀的演示和操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，加深對算法的理解。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心，具有層次性。《新課標(biāo)》要求學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想，主要包括抽象思想、模型思想、推理思想，它是教師教學(xué)的主線，是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容邏輯框架的內(nèi)在體現(xiàn)。數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)思想二者之間有著緊密的聯(lián)系，在解決問題時更多的是一種操作性的應(yīng)用。本文在分析算理時，主要運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、變中有不變的思想方法，對算理教學(xué)展開分析。

二、基于數(shù)學(xué)思想方法的算理分析

（一）基于數(shù)形結(jié)合思想方法的算理教學(xué)分析

數(shù)形結(jié)合是一種常見的思想方法。“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大主體。數(shù)形結(jié)合的思想方法，是利用了“數(shù)”和“形”的對應(yīng)關(guān)系來解決問題。“數(shù)”和“形”是認(rèn)知表征理論中外部表征的具體應(yīng)用。這兩種表征傳遞給學(xué)生的信息是不一樣的。“數(shù)”屬于數(shù)式表征，傳達(dá)給學(xué)生較為準(zhǔn)確具體的信息；“形”屬于圖形表征，傳達(dá)給學(xué)生直觀的信息。在小學(xué)階段，“形”多指圖表和實物。教師通過圖形表征幫助學(xué)生理解數(shù)式表征，兩種表征相互補充，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，有利于促進(jìn)學(xué)生的多元表征發(fā)展。算理屬于數(shù)式表征，相對抽象和晦澀，學(xué)生要真正理解算理是比較困難的。教師借助直觀的圖形，有利于引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的計算方法。教師在教學(xué)時要依據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗，用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形表征幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決復(fù)雜的問題。

如在“多位數(shù)乘一位數(shù)”第一課的口算乘法教學(xué)時，教師需重視算理教學(xué)，讓學(xué)生知道運算背后的原理。在探究“20×3=? ?”時，教師通過小棒理解“幾個十”的位值概念，以數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解算理。動手操作可以調(diào)動學(xué)生的多種感官經(jīng)驗，在實踐中將內(nèi)隱的算理以直觀的圖形展現(xiàn)出來，以“形”助“數(shù)”。教師呈現(xiàn)6捆小棒，10根為一捆，2捆為一組，一共有3組。2捆表示2個十，即20，“20×3”根據(jù)乘法的意義表示3個20相加（如圖1）。“20×3”用小棒表示為6捆小棒，即60根小棒。學(xué)生小組合作擺小棒，呈現(xiàn)了算理過程，2個十乘3等于6個十，因此口算結(jié)果為60。

數(shù)學(xué)中的動手操作是將抽象的數(shù)直觀化，用圖形表征理解數(shù)式表征。基于數(shù)形結(jié)合的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、厘清算理，發(fā)展多種表征，促進(jìn)多元智力發(fā)展。

（二）基于轉(zhuǎn)化思想方法的算理教學(xué)分析

轉(zhuǎn)化的思想方法是將復(fù)雜的問題化繁為簡，是“一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響”。遷移理論是轉(zhuǎn)化思想的理論基礎(chǔ)。當(dāng)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能解決新問題時，學(xué)生會轉(zhuǎn)變認(rèn)知結(jié)構(gòu)，運用舊知和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)解決新問題。這個轉(zhuǎn)變和調(diào)整的過程就是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的思想方法在理解算理中要把握兩個原則，一個是化復(fù)雜為簡單，一個是化整體為若干。教師需要遵守原則，選擇合適的算理教學(xué)策略。對學(xué)生來說，多位數(shù)乘一位數(shù)口算乘法和筆算乘法是新的知識，教師在教學(xué)筆算“12×3”時，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考解決的方法，會根據(jù)已有的知識想到以下幾種計算方法。

生1：筆算豎式12+12+12=36。

生2：用筆算乘法的方式列豎式計算如下：

學(xué)生1將筆算乘法轉(zhuǎn)化為筆算加法，利用乘法的意義來理解乘法的算理，化繁為簡，有助于學(xué)生理解乘法的本質(zhì)。筆算乘法的計算法則是基于口算乘法的算理，教師需充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗進(jìn)行算理教學(xué)。在教學(xué)時，教師需引導(dǎo)學(xué)生回憶口算乘法的算理，利用乘法分配律將“12”分成“10”和“2”，再將“10”和“2”分別與“3”相乘，最后將結(jié)果合起來，即“2×3=6，10×3=30，30+6=36”。

筆算轉(zhuǎn)化成口算，讓學(xué)生感受到筆算中有口算，在口算中理解筆算豎式算理。教師需對比圖2兩種筆算豎式的區(qū)別，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡潔美，從而掌握筆算的算理和算法。

（三）基于“變中有不變”的思想方法算理教學(xué)分析

在運算時，在不斷變化的數(shù)中找到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握不變的規(guī)律，這就是變中有不變的思想。從宏觀上看，數(shù)學(xué)本質(zhì)是指思想、精神等；從微觀上看，數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的本真。基于學(xué)生的認(rèn)知特點，教材的編排是分散的，并遵從由易到難的順序編排。乘法的運算分布在不同的學(xué)年段，學(xué)生對乘法運算的理解有可能是片面的、割裂的，這就要求教師在教學(xué)時滲透變中有不變的思想方法，讓學(xué)生在變中把握不變，更好地認(rèn)識運算的本質(zhì)。口算的算理是建立在位值制概念與運算意義的基礎(chǔ)上；筆算的算理以口算為基礎(chǔ)，而“多位數(shù)乘多位數(shù)”就是“多位數(shù)乘一位數(shù)”的延伸。計算的“算理”是有結(jié)構(gòu)的整體，教師在教學(xué)之前，要充分研究本次授課中的“算理”與以往學(xué)習(xí)過的算理的聯(lián)系，將知識放入橫向與縱向的知識系統(tǒng)，讓學(xué)生在知識聯(lián)系和變化中探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“多位數(shù)乘一位數(shù)”的計算中，學(xué)生在表內(nèi)乘法和筆算加減法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)筆算乘法。在運算的步驟和順序上，筆算加減法和筆算乘法有很多不同，學(xué)生在初學(xué)時容易出現(xiàn)錯誤。教師需引導(dǎo)學(xué)生注意區(qū)分筆算乘法和筆算加減法的同與不同、變與不變，減少負(fù)向的思維定勢。十進(jìn)制是學(xué)生認(rèn)識數(shù)、數(shù)的運算的重要知識。筆算乘法利用位值概念和乘法分配律，幫助學(xué)生理解算法。比如“18×3”，先算“3×8”得“24”，學(xué)生容易把進(jìn)位中的“2”忽略掉。學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因是不理解“2”的具體意義，缺乏對位值概念的認(rèn)識。“18×3”的列豎式計算，是利用乘法分配律理解算法，先計算“3×8”得“24”，再算“3×1”。“24”表示2個十，4個1，在列豎式時，根據(jù)位值概念將“4”放在個位上、“2”放在十位上。“18”中的“1”在十位上，表示1個十，3×1得3，3表示3個十，加上進(jìn)位的2個十，得5個十，因此計算結(jié)果為54。知識是學(xué)生把握數(shù)學(xué)本源的載體，教師在教學(xué)時需從微觀角度分析算理內(nèi)容，厘清相關(guān)知識的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生把握知識的本質(zhì)。

總之，“算理”在計算教學(xué)中占據(jù)舉足輕重的地位。學(xué)生在探究算理的過程中，在學(xué)習(xí)遷移理論、認(rèn)知表征理論的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)形結(jié)合思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、變中有不變的思想方法進(jìn)行分析，學(xué)生思維能夠經(jīng)歷直觀思維向抽象思維發(fā)展的過程，進(jìn)一步提升計算技能。

【參考文獻(xiàn)】

［1］張銀靜.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題研究［D］.太原：山西大學(xué)，2020.

［2］陳琦.當(dāng)代教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

［3］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

【作者簡介】李娟（1998—），女，廣西桂林人，南寧師范大學(xué)2020級初等教育學(xué)院碩士研究生，研究方向為小學(xué)教育；韋宏（1968—），男，漢族，廣西上林人，理學(xué)碩士，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向為學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

（責(zé)編楊春）