超高速PMSM電磁性能解析解及轉子設計

程文杰， 曹廣東， 鄧志凱， 肖玲， 李明

(西安科技大學 理學院，西安710054)

0 引 言

采用高速、超高速永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)直接驅動透平機械是21世紀新一代旋轉機械提高功率密度、機組效率和改進機組性能的發展方向。高速、超高速電機已經廣泛應用于燃料電池、透平壓縮機、儲能飛輪和分布式發電等領域[1]。鑒于有限元法(finite element method, FEM)能考慮許多復雜的因素，比如磁飽和、端部效應、磁滯等，其被普遍用來預測電機的電磁性能。但是FEM在設計初期比較耗時，移植性差，并且缺少解析解那樣的洞察力。解析解計算快，適用于優化設計[2-3]。

高速、超高速永磁同步電機一般采用極弧數為1的兩極表貼式轉子，或者實心圓柱永磁體轉子。Z.Q.Zhu似乎最早表現出對這種轉子的關注[4]，作者指出當時已知的解析方法不適用于描述這種轉子勵磁磁場。隨后Z.Q.Zhu在文獻[5]里面給出了忽略定子槽效應下，上述轉子的開路靜態磁場解析表達式。實際上，定子齒槽效應對氣隙磁場的影響非常大，在高速、超高速永磁電機設計中必須予于考慮。文獻[6]推導了平行充磁的“永磁體環+導磁芯軸”轉子和實心圓柱永磁體轉子開路靜態磁場解，采用基于保角變換的氣隙磁導函數描述定子槽效應。文獻[7]計算了組合雙層Halbach永磁轉子勵磁磁場，采用卡特系數描述定子齒槽效應。但是氣隙磁導函數和卡特系數在描述氣隙磁密周向分量時尚存在問題。另一種考慮槽效應的方法稱為子區域法，即直接求解電機各個子區域內的控制方程，然后根據邊界條件和子區域之間的交界條件獲得磁場的解。值得注意的是在采用子區域法時，有些文獻研究對象為單槽或者單極模型，因而在某種程度上忽略了槽開口之間的相互影響。文獻[8]首次提出了精確子區域模型，能夠考慮定子槽開口之間的互相影響。文獻[9]采用精確子區域法求解了半閉口定子槽，極弧系數小于1的表貼式PMSM的磁場解析解。文獻[10]采用精確子區域法推導了任意充磁方式表貼式PMSM磁場解析解，但是模型僅僅針對非疊繞繞組，沒有考慮疊繞繞組的情形。文獻[11]提出的解析模型能描述半閉口槽、雙層疊繞繞組，但是針對的是四極及以上的永磁轉子。國內對表貼式PMSM電磁性能的解析研究進展較快，但主要針對的是低速轉子或者極弧系數小于1的轉子[12-15]。文獻[16-17]采用子區域法對更復雜的模型進行了計算，考慮了鐵心磁飽和。高速、超高速永磁電機的設計涉及到多個學科，是系統設計的代表。文獻[18]針對一臺75 kW，60 000 r/min的高速永磁電機，基于應力場、電磁場和溫度差對轉子護套進行了綜合設計。文獻[19]采用有限元法，基于多物理場耦合，提出了一套完整的高速轉子優化設計方法。

為減弱諧波，高速、超高速PMSM通常采用雙層疊繞、短距線圈定子和極弧數為1的平行充磁的兩極轉子。而目前鮮見這類電機電磁性能的解析研究報道。特別地，為了達到設計轉速，在電磁性能計算的同時還需兼顧轉子動力學性能。為此，本文將考慮雙層疊繞線圈和半閉口槽，采用精確子區域法解析預測超高速PMSM電磁性能，設計兩款不同結構的高速轉子，校核其臨界轉速，并總結此類超高速轉子的設計特點。

1 解析模型

超高速永磁同步電機模型如圖1所示，其求解區域劃分成5個子區域，分別為：Ⅰ芯軸；Ⅱ永磁體；Ⅲ氣隙；i槽開口；J1槽頂區域；J2槽底區域。電機的尺寸含義見圖1，其中：θi為第i個槽開口的角度坐標；ΦM0為永磁體磁化方向的角度坐標。

圖1 超高速永磁同步電機橫截面示意圖Fig.1 Cross section of ultra high speed PMSM

為推導方便，作如下假設：

1)定子鐵心和導磁芯軸的磁導率為無窮大；

2)永磁體具有線性的退磁曲線，對于稀土永磁材料而言這一假設是合理的；

3)忽略端部繞組效應；

4)槽開口和定子槽形狀為徑向扇形結構；

5)忽略定子渦流和轉子渦流的影響。

1.1 定子槽區域控制方程及通解

第i個定子槽，J1和J2區的控制方程分別為：

(1)

式(1)的通解為對應的齊次方程(拉普拉斯方程)的通解加上非齊次方程(泊松方程)的特解。J1區和J2區的通解分別如下：

(2)

(3)

其中：En=nπ/α；Fm=mπ/β。磁通密度與矢量磁位之間的關系為：

(4)

J1區域，槽兩側磁通密度應滿足：

(5)

J2區域，槽兩側和槽底磁通密度應滿足：

(6)

聯立式(3)、式(4)和式(6)，求出J2區域的磁通密度表達式為：

(7)

(8)

式中：BJi2r為第i個定子槽，J2區徑向磁通密度；BJi2θ為第i個定子槽，J2區周向磁通密度。其它角標的意義與之類似，后面不再單獨說明。Gc5(n)是只與n相關的函數。

聯立式(2)、(4)和(5)，求出J1區域的磁通密度表達式：

(9)

(10)

可見，通過引入邊界條件后，J2區域磁通密度表達式中待定系數為BJi2n，而J1區域的為AJi1n、BJi1n和CJi10。

1.2 槽開口區域控制方程及通解

第i個槽開口子域中的控制方程為

(11)

其邊界條件可表示為：

(12)

考慮到邊界條件(12)后，式(11)的解可以簡化為

(13)

于是第i個槽開口子域中的磁通密度為

(14)

(15)

其中待定系數為Aiim、Biim、Cii0和Dii0。

1.3 氣隙區域控制方程及通解

氣隙子域的拉普拉斯方程為

▽2AⅢ=0，(0≤θ≤2π)。

(16)

式(16)的通解為

(17)

氣隙區域的磁通密度為：

(18)

(19)

式中AⅢk、BⅢk、CⅢk、DⅢk、CⅢ0和DⅢ0為待定系數。

1.4 永磁體區域控制方程及通解

永磁體子域的控制方程為

(20)

(21)

式中：μ0為真空磁導率；μⅡr為永磁體的相對磁導率。HⅡθ和HⅡr為永磁體內部的周向和徑向磁場強度，能反應出定子繞組激勵和永磁體激勵的疊加效果。另外有：

(22)

如果忽略永磁體內部的渦流，則永磁體內的磁場為無旋場，即電樞反應磁場與永磁體自身勵磁磁場的疊加。于是，與氣隙磁通密度類似，永磁體內的磁通密度可以記為：

(23)

(24)

式中AⅡk、BⅡk、CⅡk、DⅡk和CⅡ0為待定系數。

2 交界條件

為了求解上述各個子區域內的待定系數，還需要利用子區域之間的交界條件，使得方程組最終封閉。

2.1 定子槽J1和J2區交界面

如圖1所示，槽頂和槽底區域滿足：

(25)

將式(7)～式(10)代入到式(25)，J1區的磁通密度可以表示為：

(26)

(27)

其中G5c(n)，G4c(n)是只與n相關的函數。由式(26)、式(27)可見，J1區的磁通密度只有待定系數BJi2n。另外，J1區的矢量磁位可以簡化為

(28)

2.2 定子槽區和槽開口區交界面

(29)

其中：

(30)

(31)

對于周向磁通密度，有

BJi1θ|r=R4=Bijθ。

(32)

由式(32)，可以得到

(33)

K11BJ2+K12Ai+K13Bi=Y1。

(34)

(35)

其中：

(36)

(37)

對于矢量磁位有

AJi1|r=R4=Azii|r=R4。

(38)

將式(35)和式(13)代入式(38)，可以得到

(39)

K21BJ2+K22Ai+K23Bi=Y2。

(40)

2.3 槽開口區與氣隙子區交界面

將r=R3處所有Ns個槽開口區的周向磁通密度Bi1θ～BiNsθ擴展至氣隙區域，記為

(41)

其中：

(42)

(43)

(44)

對于周向磁通密度，有

(45)

將式(19)和式(41)代入式(45)后，得：

K32Ai+K33Bi+K34AⅢ+K35BⅢ=Y3；

(46)

K42Ai+K43Bi+K46CⅢ+K47DⅢ=Y4。

(47)

其中K32、K33、K34、K42、K43、K46和K47為已知矩陣，Y3和Y4代表激勵向量。待定系數組成的向量分別為：

AⅢ=[AⅢ1…AⅢk…AⅢK]T；

BⅢ=[BⅢ1…BⅢk…BⅢK]T；

CⅢ=[CⅢ1…CⅢk…CⅢK]T；

DⅢ=[DⅢ1…DⅢk…DⅢK]T。

(48)

其中：

(49)

(50)

這里r=R3處氣隙區與槽開口區在交界面上的矢量磁位應相等，即

AⅢ|r=R3=Azii|r=R3，(i=1,2，…，Ns)。

(51)

將式(48)和式(13)代入式(51)，得到

K52Ai+K53Bi+K54AⅢ+K55BⅢ+K56CⅢ+K57DⅢ=Y5。

(52)

其中：K52～K57為已知矩陣；Y5代表激勵向量。

2.4 氣隙區與永磁體區交界面

在r=R2處，應有：

(53)

(54)

將式(19)和式(24)代入式(54)得到：

K64AⅢ+K65BⅢ+K68AⅡ+K69BⅡ=Y6；

(55)

K76CⅢ+K77DⅢ+K7，10CⅡ+K7，11DⅡ=Y7。

(56)

其中：K64、K65、K68、K69、K76、K77、K7，10和K7，11為已知矩陣；Y6和Y7代表激勵向量。AⅡ=[AⅡ1…AⅡk…AⅡK]T，BⅡ=[BⅡ1…BⅡk…BⅡK]T，CⅡ=[CⅡ1…CⅡk…CⅡK]T，DⅡ=[DⅡ1…DⅡk…DⅡK]T，為待定系數組成的向量。

將式(23)和式(18)代入到式(53)中得：

K84AⅢ+K85BⅢ+K88AⅡ+K89BⅡ=Y8；

(57)

K96CⅢ+K97DⅢ+K9，10CⅡ+K9，11DⅡ=Y9。

(58)

其中：K84、K85、K88、K89、K96、K97、K9,10和K9,11為已知矩陣；Y8和Y9代表激勵向量。注意到，在上面對徑向磁通密度的處理中，式(53)中并沒有出現Mr，這意味著式(53)中的BⅡr|r=R2已經包括了永磁體自身勵磁所產生的徑向磁通密度。所以，最后用式(23)表示永磁體內的徑向磁通密度，而用式(21)表示永磁體內的周向磁通密度。

2.5 永磁體區與轉軸區交界面

如果轉子引入導磁芯軸，則用下式表達為

HⅡθ|r=R1=0。

(59)

如果轉子采用實心圓柱永磁體，則用下式描述為：

HⅡr|r→0=HⅡθ|r→0≠∞。

(60)

現以含有導磁芯軸的轉子為例，將式(21)代入到式(59)得到

BⅡθ|r=R1-μ0Mθ=0。

(61)

將式(22)和式(24)代入式(61)得到：

K10，8AⅡ+K10，9BⅡ=Y10；

(62)

K11，10CⅡ+K11，11DⅡ=Y11。

(63)

其中：K10,8、K10,9、K11,10、K11,11為已知矩陣；Y10和Y11代表激勵向量。含有實心圓柱永磁體的轉子的推導過程與之類似，不再贅述。

2.6 方程組裝

將式(34)、式(40)、式(46)、式(47)、式(52)、式(55)、式(56)、式(57)、式(58)、式(62)和式(63)組裝在一起，寫成如下一個大方程。解出該方程的系數向量，代回至原來的表達式中，得到各個區域的磁通密度值。

3 電磁性能計算與有限元驗證

以一臺120 000 r/min超高速永磁電機樣機為例，并與FEM結果進行對比，樣機參數見表1。

表1 仿真模型的參數

3.1 電樞反應磁場

在求解電樞反應磁場時，將剩余磁感應強度Bre設為0，定子通式所示三相交流電為：

(64)

式中ΦI0為線圈電流的初始相位角。采用雙層短距繞組，短距比5/6，布線方式記為：

(65)

式中：I1為槽頂層的電流分布；I2為槽底層的電流分布。根據表1的參數，I1和I2的幅值為300 A。式(1)中Ji1=I1(i)/S1，Ji2=I2(i)/S2，S1和S2分別是槽頂層線圈和槽底層線圈的橫截面積。

如圖2所示，電樞反應磁場的解析解和有限元解吻合。圖2(a)和2(b)顯示，在靠近槽開口的氣隙區，齒槽對氣隙磁密的影響非常顯著；而在遠離槽開口的氣隙區，磁通密度呈現標準的正弦或余弦形狀，幾乎不受到齒槽效應的影響，如2(c)所示。

圖2 電樞反應徑向和周向磁通密度Fig.2 Radial and tangential components of armature reaction magnetic flux density

一般硅鋼片的線性段范圍約在0～1.8 T，對于算例，額定電流激勵時，硅鋼片的最大磁密約1.22 T，當取2倍額定電流激勵時，最大磁密約為1.88 T，局部區域已基本飽和。在定子鐵心磁導率無限大的假設中，電樞反應磁密幅值與電流值成線性關系，當定子鐵心出現嚴重磁飽和時，該線性關系失效，模型會產生較大誤差。因此，定子齒寬和軛部寬度應合理選擇，以便電機在過載時能產生足夠的力矩。

3.2 永磁體磁場

在求解永磁體磁場時，將剩余磁感應強度Bre設為1.08 T，式(64)中IA=IB=IC=0。求解結果如圖3所示。

圖3所示，永磁體磁場的解析解和有限元解吻合。在r=16 mm處，永磁體磁場的徑向磁通密度幅值約為0.55 T，周向磁通密度幅值約為0.065 T，周向磁密要比徑向磁密小一個數量級，如圖3(a)和圖3(b)所示。對比圖2(a)和圖3(a)，電樞反應磁場徑向磁密的幅值約為永磁體磁場的26%。

圖3 永磁磁場徑向和周向磁通密度Fig.3 Radial and tangential components of PM magnetic flux density

3.3 負載磁場

調整ΦI0和ΦM0，使得永磁體磁場豎直向上，電樞反應磁場豎直向下，即電樞反應磁場只有去磁作用，對應的負載磁場結果如圖4所示。如圖4(a)所示，r=16 mm處，負載磁場的徑向磁密幅值約為0.43 T，要比永磁體磁場對應的幅值小。對比圖2(a)、圖3(a)和圖4(a)，發現負載磁場的徑向磁密波形正弦度要優于電樞反應磁場，而劣于永磁體磁場，這是于事實相符的。對比圖2(b)、圖3(b)和圖4(b)，發現負載磁場的周向磁密波形接近于電樞反應磁場。這是因為氣隙越靠近定子內徑，周向磁密越小。如果不考慮齒槽效應，周向磁密在定子內徑處為0，而在相同半徑處，永磁體磁場比較弱，對負載磁場的貢獻小。

圖4 負載磁場徑向和周向磁通密度Fig.4 Radial and tangential components of load magnetic flux density

由電機空載、電樞反應和負載下的氣隙磁感應強度波形對比可得，采用傅里葉級數法的精確子域解析模型與有限元法計算結果非常吻合。

3.4 空載反電動勢

空載反電動勢的幅值可以由下式計算得到：

E0=4.44fkdpvNΦPM。

(66)

式中：f為同步頻率；kdpv為繞組系數，對所采用的繞組布線，該系數取0.933；N為每相串聯匝數；ΦPM為永磁磁場所產生的每極磁通，且有

(67)

式中τp為極距。圖5為解析法與FEM計算得出的相繞組空載反電動勢結果對比，兩者波形一致。

3.5 轉矩

使用Maxwell應力計算轉矩，轉矩表達式為

(68)

在計算齒槽轉矩時，式(68)中的磁場強度采用永磁體磁場結果。圖6所示為一個齒槽轉矩周期下的解析法和FEM結果對比，可見兩者波形較為相符，解析解的幅值略高。齒槽轉矩幅值約為0.000 4 N·m，為設計額定轉矩(0.65 N·m)的0.06%，齒槽轉矩非常小，可以忽略。從電機設計角度而言，永磁體與定子內徑之間的半徑間隙越大，永磁體磁場在定子內徑處的徑向、周向磁密越小，從而導致齒槽轉矩減小。另外，當槽開口越窄，齒槽效應越弱，齒槽轉矩也會減小。

圖5 相繞組空載反電動勢Fig.5 EMF of open-circuit

圖6 齒槽轉矩Fig.6 Cogging torque

在計算堵轉轉矩時，式(68)中的磁場強度采用負載磁場結果，只是永磁體的充磁方向固定不變，而電樞反應磁場以額定轉速旋轉。圖7(a)顯示了給定電流下堵轉轉矩的對比結果，解析解和FEM結果吻合，且獲得的堵轉轉矩幅值為額定轉矩的1.8倍，具有較好的過載能力。

在計算電磁轉矩時，式(68)中的磁場強度采用負載磁場結果，永磁體的充磁方向和電樞反應磁場保持固定夾角，且均以額定轉速旋轉。圖7(b)顯示了給定電流下電磁轉矩的對比結果，解析解和FEM結果吻合，解析解略高于FEM結果。電磁轉矩的脈動幅值約為0.002 N·m，為額定轉矩的0.30%，可以忽略。

圖7 電磁轉矩Fig.7 Electromagnetic torque

4 高速永磁轉子結構設計

超高速電機轉子的設計需要兼顧勵磁性能和動力學性能，一般采用兩種結構，即方案A：“導磁芯軸+空心永磁體+纖維保護套”；方案B：“圓柱永磁體+合金保護套”，分別如圖8(a)、(b)所示。

圖8 兩種結構轉子Fig.8 Two types of rotors

如果采用表1所示的定子，具有相同勵磁效果的兩種轉子磁鋼段的尺寸以及其它附加結構的尺寸如表2所示，其中，兩種轉子的尺寸除了在磁鋼段有差異外，其它尺寸都相等。在進行轉子固有轉速有限元計算時，由于纖維保護套和永磁體的抗彎剛度相對于合金鋼軸非常小，可以作為附加質量處理。轉子各個部件的材料屬性見表3。

表2 兩種轉子參數

表3 轉子材料屬性

圖9給出了兩種轉子的固有頻率。方案A轉子的一階、二階彎曲固有頻率分別為1 014 Hz和2 003 Hz；方案B轉子的一階、二階彎曲固有頻率分別為2 394 Hz和5 412 Hz。

圖9 兩種結構轉子固有頻率Fig.9 Natural frequencies of two types of rotors

以上計算表明：如果需要轉子在工頻2 000 Hz時為剛性轉子，方案A不可行，而方案B滿足要求。依靠增加芯軸的直徑來獲得更高的臨界轉速的效果并不特別明顯，反而造成永磁體外徑膨脹，占據過多的氣隙空間。對于方案B，雖然合金保護套厚一些，但是永磁體的外徑小，在留有相同氣隙厚度時，可以獲得更高的固有轉速。

5 結 論

本文針對裝配極弧數為1的平行充磁兩極轉子的超高速PMSM，建立了電機的精確子區域解析模型，適用單層、雙層疊繞繞組結構；考慮了定子槽和定子齒尖效應，可計算開路磁場、電樞反應磁場和負載磁場，進而可計算空載反電動勢、齒槽轉矩和電磁轉矩，并用FEM驗證了該解析方法的準確性。設計了“圓柱永磁體+合金保護套”和“導磁芯軸+空心永磁體+纖維綁扎”兩種結構轉子，并進行臨界轉速的對比。結果表明，在提供相同勵磁磁場時，“圓柱永磁體+合金保護套”轉子更有益于達到超高速。本文的研究為超高速電機的設計和優化提供了理論參考。