平面向量求解策略的幾點建議

黨存莉

【摘要】平面向量作為一種重要的數學解題工具，其應用十分廣泛，而且平面向量問題涉及的知識點多、交匯性強，因此，掌握一些必要的解題方法，往往能收到事半功倍的效果.

【關鍵詞】平面向量;高中數學

數學學科是講究方法的學科，任何方法都有它成立的條件.我們在研究題型的時候，首先要分析它的使用條件，根據條件選擇不同的方法，對癥下藥，靈活處理，恰當的方法是高效解題成功的關鍵.

一、借助插點、換頭

圖1借助向量的拆分，插入第三個點，即在AC上插入第三個點B，達到首尾相接的目的，如AB+BC=AC，首尾相接還可用加法的三角形法則;共起點兩個向量作差的法則，如圖1所示，利用OB-OA=AB，把以A為起點的頭換成以O為起點的頭，達到換頭的目的，再進行運算.

圖2例1 如圖2所示，D是△ABC的邊AB上的中點，則向量CD=（? ）.

A.-BC+12BA?? B.-BC-12BA

C.BC-12BAD.BC+12BA

解 根據向量的加法的三角形法則知CD=CB+BD，即CD=CB+12BA，即CD=-BC+12BA.故選A.

例2 已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，且2AC+CB=0，則OC=（? ）.

A.2OA-OBB.-OA+2OB

C.23OA-13OBD.-13OA+23OB

解 因為2AC+CB=0，所以2（OC-OA）+（OB-OC）=0，所以OC=2OA-OB，故選A.

用不共線的兩個向量表示一個任意向量，就是用平面向量基本定理進行分解.在利用向量來解決用基底表示的問題時，選定基底向量，掌握插點、換頭，這樣既減少了運算量，又提高了解題效率.

二、借助公式

借助向量的基本運算公式進行求解，套用公式，達到求解的目的.

例3 已知兩個單位向量a和b的夾角為60°，則向量a-b在向量a上的投影向量為（? ）.

A.12a? B.a? C.-12a? D.-a

解 由已知可得a·b=1×1×12=12，（a-b）·a=a2-a·b=1-12=12，則向量a-b在向量a上的投影向量為（a-b）·aa·a=12a.故選A.

三、借助坐標系

“借助平面直角坐標系將圖形用坐標表示是很好地解決向量問題的方法，將幾何問題轉化為代數問題”.用向量坐標運算主要解決求向量的坐標、向量的模，判斷共線、平行等問題.

例4 在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α+β=1，求點C的軌跡方程.

解法一 設C（x，y），則OC=（x，y），OA=3，1，OB=-1，3.

由OC=αOA+βOB得（x，y）=（3α，α）+（-β，3β）=（3α-β，α+3β），

于是x=3α-β，y=α+3β，α+β=1，先消去β，由β=1-α，得x=4α-1，y=3-2α.

再消去α，得x+2y-5=0.

解法二 當OC=αOA+βOB，且α+β=1時，A，B，C三點共線.

因此，點C的軌跡為直線AB，由兩點式直線方程得x+2y-5=0.

本題通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，用坐標相等的定義求出x和y，注意方程思想的運用.引入向量的坐標運算，體現了運算的重要性，向量的代數功能發揮了巨大的優勢.

四、借助共線定理

在使用向量幾何法的過程中，對向量共線定理加以理解，充分認識和掌握共線定理形式上的特點，從而提高解題水平.

例5 在△ABC中，D為線段AC的中點，點E在邊BC上，且BE=12EC，AE與BD交于點O，則AO=（? ）.

A.12AB+14AC?? B.14AB+14AC

C.14AB+12ACD.12AB+12AC

圖3解 根據題意，畫出圖形如圖3所示.

因為A，O，E三點共線，B，O，D三點共線，所以可設BO=λBD，AO=μAE.

則AO=μAE=μAB+BE=μAB+13BC=μAB+13（AC-AB）=2μ3AB+μ3AC.同時，AO=AB+BO=AB+λBD=AB+λ（AD-AB）

=AB+λ12AC-AB=1-λAB+λ2AC.由上述兩式可得2μ3=1-λ，μ3=λ2，解得λ=12，μ=34.

所以AO=1-λAB+λ2AC=12AB+14AC.故選A.

利用兩個向量共線解題的實質，就是在求一個與向量a共線的向量時，得到與其平行的向量為 ma，然后根據題意，列出所求向量的式子，最后利用向量相等的定義，列出方程，求出m的值后代入ma，即得所求的向量.

五、借助數形結合

平面向量的線性運算具備“形”的特征，而平面向量的坐標表示和坐標運算具備“數”的特征，二者可以實現數與形的相互轉化，體現了數形結合的思想.“數”與“形”之間密不可分，它們相互轉化，相輔相成.適當利用數形結合解題，可以將問題化難為易，化繁為簡.

例6 設向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則c的最大值等于（? ）.

A.2??? B.3??? C.2??? D.1

圖4解 如圖4所示，構造AB=a，AD=b，AC=c，

∠BAD=120°，∠BCD=60°，

所以A，B，C，D四點共圓.

由圖可知當線段AC為圓的直徑時，c最大，最大值為2.故選A.

本題構造出向量〈a-c，b-c〉=60°，計算出a和b的夾角，發現四點共圓的條件，找到c最大值的位置，將復雜問題簡單化，抽象問題直觀化.

六、借助三角形的性質應用

幾何運算時向量運算的一個重要形式是有條件AB|AB|自然想到與AB共線的單位向量，有AB|AB|+AC|AC|聯想到平行四邊形法則，進而聯想到菱形.又由λAB|AB|+AC|AC|聯想到共線，即菱形的角平分線.

例7 O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定通過△ABC的（? ）.

A.外心B.內心C.重心D.垂心

圖5解 作∠BAC的平分線AD，如圖5所示.

∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，

∴AP=λAB|AB|+AC|AC|，

∴向量AP的方向與∠BAC的平分線的方向一致，

∴P的軌跡一定通過△ABC的內心.故選B.

本題充分應用了向量的減法法則，及其與a共線的單位向量的概念，把λAB|AB|+AC|AC|直接轉化為菱形的對角線問題，從而問題得到解決.方法巧妙簡便，運算量小，是解決本題的最佳解法.向量作為一種解題工具，在本題中得到了充分應用.

變式：在△ABC中，已知向量AB與AC滿足AB|AB|+AC|AC|·BC=0，且AB|AB|·AC|AC|=12，則△ABC為（? ）.

A.三邊均不相等的三角形?? B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

解 設∠BAC的平分線為AD，則AB|AB|+AC|AC|=λAD.由已知得AD⊥BC，∴△ABC為等腰三角形.又cos∠BAC=12，∴∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形.故選D.

學生應認真觀察條件的結構特征，尋求知識之間的聯系，積極展開思維聯想，恰當選擇突破口切入，合理整合相關知識，從多角度思考探索，使知識得到遷移的最大保障.只要教師在平時教學中多發現、多提煉，學生就能掌握解題規律和方法.

總之，學習的過程是一個積累方法的過程，任何數學題包含一定的數學條件和關系，思維角度不一樣，得到的解題方法也不一樣.在復習中，根據條件的不同，對題型進行歸類研究.加強對向量的有關概念、公式定理的本質的理解.注重數學思想和能力的訓練，特別是數形結合思想的運用，加強對平面向量核心問題的理解.這就要求教師及時引導學生進行發散思維，從而提高學生的思維能力和課堂教學效率.

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