“平均數”的本質及小學生理解水平解析

劉加霞 北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

算術平均數（本文簡稱“平均數”）是統計學中最基礎、最重要的概念之一，它具有反應靈敏、簡明易解、適合進一步演算和較小受抽樣變化的影響等優點，是當下小學數學“統計與概率”領域刻畫數據集中趨勢的唯一統計量（小學階段不涉及眾數、中位數），平均數被用來描述一組數據的“平均水平、整體水平”。一般地，小學生對平均數的理解有三個水平：算法水平、概念水平與統計水平。這三個水平的具體含義及行為表現是什么？是否有明確的評價標準判定學生達到某個水平？本文將結合教材內容、名師教學進一步分析闡述。

一、平均數的概念本質與功能

平均數是通過加工原始數據得到的，它不是“客觀”存在的，具有“虛擬性”。例如，某個小組平均收集了5.2個礦泉水瓶。如何讓學生體會用平均數作“代表”的合理性？平均數的“代表性”有何功能？筆者梳理小學數學不同版本教材中涉及平均數的問題情境，以進一步理解平均數的概念本質與功能。

情境1：甲小隊4名學生投籃比賽成績（用統計表或象形統計圖呈現）分別是：7、8、7、6，乙小隊5名學生的成績分別是：4、5、6、8、7。哪個小隊投籃水平更高？（類似情境還有已知某支球隊每名隊員的身高數據，判斷該球隊隊員身高的整體水平）

情境2：每3秒呈現10個數字，記錄下每次可以記住幾個數字。淘氣5次記住數字的情況（以統計表方式呈現數據）分別是：4、5、5、7、9，淘氣能記住幾個數字？或者是：淘氣平均每次記住幾個數字？（類似情境還有統計一周家庭用水量、某種商品售出數量等）該問題換為“哪個數能代表淘氣記憶數字的水平”更好。

情境3：五位小朋友用直尺測量同一支鉛筆的長度，記錄每次測得的數據（單位：厘米）如下：15、15.3、18、15.1、15，你認為用哪個數代表這支鉛筆的長度更合理？可以算一算，并寫出你的理由。（類似情境還有評獎時各位評委所給分數，計算平均分為何“去掉最高分、最低分”）

情境4：根據有關規定，我國對學齡前兒童實行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2米的兒童免費乘車。1.2米這個數據可能是如何得到的呢？據統計，目前北京市6歲男童身高的平均值是119.3厘米，女童身高的平均值是118.7厘米。請根據上面信息解釋免票線確定的合理性。

分析這4個問題情境可以看出，平均數適用于描述未分組的離散型原始數值數據，進一步分析可以看出，如果“數據”的來源與意義不同，那么這組數據的平均數的意義與用途也不同，小學階段大致分為兩大類，有三種具體情況。

第一類是不涉及抽樣的情況，有限個樣本數據就是總體，前述情境1～3就是這一類。該類又分為兩種情況：其一是數據描述某一樣本空間中各個元素的特征，這時可以用平均數來描述這個“集合”的整體水平，也可以比較兩個同類集合整體水平的高低。例如，情境1中數7、6分別代表甲、乙兩個小隊投籃的整體水平，比較哪個小隊投籃水平更高，這時平均數主要有描述、比較的功能，還不具備統計意義。其二，數據是同一個量的幾次測量值，這組數據的平均數既可以描述樣本數據的整體水平，也可以用來預測、推斷這個量的期望值，或者估計真實值，例如情境2和情境3。根據大數定律規定，試驗或測量的次數接近無窮大時，測量數值的平均數幾乎肯定地收斂于期望值，這時的平均數具有統計意義。

第二類是數據需要通過抽樣獲得，用樣本數據的平均值代表總體水平的情況，例如情境4中“北京市6歲男童的平均身高”是通過抽樣得到的，這時的平均數具有統計意義。用樣本的平均數代表總體水平時，學生理解平均數有一定的困難，所以大多數教材選擇“樣本就是總體”的情境，即樣本是固定的某個小隊、小組等（數據個數有限）群體的整體水平。

二、小學階段平均數的理解水平解析

研究表明，小學生對平均數的理解有三個水平：算法水平、概念水平、統計水平。算法水平主要表現為會計算（總和除以個數、移多補少）一組數據的平均數，這是深入理解平均數的基礎。學生只會計算平均數還不夠，還要理解平均數的概念本質與價值，即達到后兩個水平的理解。學生的理解達到概念水平主要體現在：會求平均數，知道平均數是代表一組數據整體（平均）水平的量值、平均數的大小易受極端數據影響（敏感性）等特性。達到統計水平主要體現在：在前兩個水平的基礎上，能夠解釋并體會平均數作“代表”的合理性，主要表現為三個方面：平均數與某個數據（可以是原始數據中的某個，也可以是眾數、中位數，雖然小學階段不涉及這兩個集中量數，但學生對其理解不難）對比感受其合理性;知道什么情況下用平均數做判斷、做預測的結論更“好”;知道所做的判斷、預測不能“百分百”地正確，平均數作為代表進行預測時有意外，有“翻車”的可能。

前述情境1～3，以及常見的“統計一年每個月的水費，再求每月的平均數;教材上某小組收集的水瓶、籃球隊隊員的身高數據等”，這里所求的平均數只是概念水平，代表這組數據的整體水平，學生只理解這層含義還達不到對平均數的統計水平的理解。

一組數據的平均數易受這組數據中每一個數據的影響，“稍有風吹草動就能帶來平均數的變化”，即平均數的敏感性。一般說來，數據具有隨機性，因此所獲得的數據具有隨機誤差，但不排除人無意犯錯誤或有意人為干擾所獲得的數據，這時數據的“誤差”超出“可接受范圍”，產生“極端數據”，這樣得到的平均數不能很好地描述整體水平。正如情境3中，數據“18厘米”值得“懷疑”，可能是錯誤測量導致，用平均數代表鉛筆長度時，要把18這個數據去掉，求另外四個測量值的平均數。評獎大賽去掉最高、最低分也是這個道理，這樣的理解可以說達到了統計水平的理解。

學生能達到統計水平的理解主要取決于對數據隨機性的認識，而小學生對數據隨機性的理解有難度，因此，要求小學生對平均數達到統計水平的理解是一種高標準的要求。理論上說，國家課程標準應該規定有多少學生達到該水平即滿足課程標準要求，但這方面沒有具體規定。為什么說達到統計水平有難度呢？看下面的分析。

比如測量一個東西，每次測量結果未必都一樣，有隨機誤差，可以用算式x=u+ε（x是測量數據，u是真實數據，ε是隨機誤差）表示。在測量過程中，只有測量數據是已知的，其余兩個量都是未知的，這樣沒法運算，所以就需要多次測量。例如測量n次，得到n個算式，其中真實數據是不變的，測量值、隨機誤差是變化的，隨機誤差有時為正，有時為負，這n個算式相加，當隨機誤差之和為0時，平均數就可以代表真實數據，但多次的隨機誤差之和很難為0，則用平均數來估計（代表）真實數據，這就是平均數（準確說是算術平均數）的統計學意義。如果每次測得的數據差異較大（尤其有極端數據時），隨機誤差或系統誤差非常大（不排除人為因素導致），用平均數來代表真實值或者刻畫整體水平就不合適，去掉極端數據，使平均數更具有統計學意義，是對平均數的“高水平”理解。

三、“好情境”“好問題”助力高層次理解

浙江省小學數學特級教師俞正強在《種子課2.0》一書中說：雖然能讓學生做對題目，但他們并沒有真正理解平均數，甚至有的學生下課后還說“平均數就是平均分”。這一方面說明學生對平均數的理解達到后兩個水平確實有難度（學生生活經驗少，容易受“因果型”“二元型”思維支配），另一方面也與教師選擇的情境與問題有關。例如，有的教師設計如下情境：5個筆筒中分別插了3、4、2、5、1支鉛筆，怎樣做可以使每個筆筒的鉛筆數一樣多？這樣的問題情境無意中強化了“平均數就是平均分、平均數是‘每份數”這一錯誤認識，因為通過操作，學生“看到”“每份一樣多”“每份是多少”，與以前所學“平均分”一樣，弱化了對平均數是代表這組數據的平均水平或整體水平的認識。選擇“好情境、好問題”特別重要，下面分析俞正強老師教學“平均數”時的問題情境。

俞正強老師設計的“哪個數能代表跑步水平”的問題很巧妙，具體為：二年級某小朋友，跑了五次60米，所用時間如下（單位：秒）：15、14、12、10、14。他需要填寫這張表：60米，我大約要跑 秒。俞老師設計一系列問題，如：這位小朋友填了15，卻又劃去了，同學們知道為什么嗎？后來這位小朋友又填了10，過了一會兒也把10劃去了，同學們知道為什么嗎？同學們認為這位小朋友最好應填幾？等等。基于學生已有的對跑步時“超常發揮、正常發揮、失常發揮”的生活經驗，讓學生對比、體驗用哪個“數”代表跑步水平更恰當。其中，“這位小朋友最好填幾？13秒這個數，小朋友根本沒跑出來過，填上去是不是不誠實啊，能填嗎？13秒沒有跑出來過，跟所給的數據有什么關系？”等問題的教學，直接揭示了平均數的本質——預測、估計某個量的真實水平，引導學生對比不同數據的“代表性”各有優劣的情況下，理解用平均數作“代表”的合理性。這樣的教學能使學生認識到下一次跑步，不一定跑出13秒，但13秒也不是天外來物，是通過統計學生多次跑步情況算出來的，統計更多次的跑步成績所得的平均數更能代表他的跑步能力。這樣的情境比“人數不同的兩個小隊誰的水平高”更符合平均數的本意，更有利于學生對接已有的生活經驗，強化平均數雖然與平均分有關，但意義截然不同的認識，使學生既能達到概念水平的理解，又較容易達到統計水平的理解。

此外，要使更多學生達到統計水平的理解，需要增加、延長學習平均數的時間。第一次學習使學生達到“概念水平”的理解，初步感悟平均數的統計意義;第二次學習通過解釋現實生活中的平均數，使學生初步感悟抽樣所得到的樣本平均數可以代表總體水平，真正體會平均數“代表性”的“好壞”（統計學不研究“對錯”）。

助理編輯 劉佳