海峽兩岸教材中分數內容的對比與教學建議

李玲玲

摘要：在平時的教學中，很多學生在學習分數這一內容時，容易“掉到分數里”。如何幫助學生走出困境？長期以來并沒有較好的解決策略。對比人教版小學數學教材和我國臺灣地區康軒版小學數學教材中發現，教學中，通過實施理解學習困難而改組教材，通過豐富測量意義而深化概念理解，通過重視數線表征而豐富概念理解等教學策略，能夠較好地解決這個問題。

關鍵詞：海峽兩岸;教材;分數;改進

三千多年前，古埃及為了在不能分得整數的情況下表示數，用特殊符號表示分子為1的數。分數是度量和數學本身的需要——除法計算的需要而產生的，分數內容歷來就是數學教學中的難點。德國諺語“掉到分數里去了”就用來形容一個人陷入困境。在實際的教學過程中，我發現“掉到分數里”的學生也為數不少。比如，我在教學教研過程中記錄下這樣三個教學事例。

事例1：有一位五年級的學生，在學完“分數的意義”后，作業中有一道題目要求寫出分數各部分名稱時，她抬頭詢問：“中間那條線叫什么？”

事例2：“把3米長的繩子平均分成7段，每段占這條繩子的[1/7]，每段長（）米。”在這個空格中，不少學生直接填上了循環小數。

事例3：五年級下學期“假分數”一課，在認識了假分數后，有學生舉手表示有問題：“老師，這個假分數也太‘假了！”（其他學生笑了起來）教師讓學生說想法。“我們知道，[2/5]是表示把一個物體平均分成5份，取其中的2份，那[6/5]就是表示把一個物體平均分成5份，取其中的6份，明明只有5份，怎么能取其中的6份呢？”這位學生的質疑得到很多其他學生的支持。

這些問題在教學中經常出現，長期以來沒有比較好的解決策略。近期，我閱讀了我國臺灣地區康軒版小學數學教材，并與我們當前使用的人教版教材中的分數內容編排進行了對比分析研究，得到了一些教學建議。

一、對比教材編排，理解學習困難

通過閱讀這兩種版本的教材，我認為，在“分數”這部分內容的編排中，兩種版本教材的呈現方式各有特點，同時也存在著較大的區別，我對兩種版本教材關于分數內容的編排進行了梳理，如表1所示。

從表1中可以看出，兩個版本教材關于分數編排有很大的區別，主要體現在兩個方面：一是例題與習題數量。在題目總數相差不大的情況下，人教版教材的例題數量遠遠少于習題數量，康軒版教材的例題比習題數量略多。二是各年級的學習內容分布情況。兩種版本都是在三年級上冊開始接觸分數，到六年級下冊結束小學部分的分數學習。但不同的是，人教版教材從三年級上冊“分數的初步認識”一單元，到再次正式學習分數內容要到五年級下冊。康軒版教材則從三年級上冊開始，每一冊均有編排相關的分數學習內容，體現了小步子螺旋上升的特點。

因為學生在生活經驗中比較少接觸到分數，對于他們來說屬于比較抽象的學習內容。人教版小學數學教材從三年級上學期到五年級下學期，中間隔了四個學期沒有正式學習與分數的相關內容，學生普遍對分數比較生疏。因此，上文事例1中出現的學生產生對分數線不認識的現象，屬于正常情況。教材編排是個系統工程，對于一線教師來說，教材是最重要的教學載體，大幅度改造教材不現實，但基于學生的學習困難，筆者認為，可以在原教材的基礎上進行適當的改組，幫助學生突破學習難點。

二、拓展測量意義，豐富概念理解

在小學階段，分數有多種定義，如部分與整體關系、商定義、運算定義、測量定義、比定義。這五種定義可以歸為兩類，也就是常說的“量”和“率”含義。分數的“率”含義表示部分與整體的關系，是一個比率;分數的“量”含義表示一個具體的量，和整數一樣是數量的抽象。在人教版小學數學教材的編排中，“率”含義受到重視，而“量”含義顯然被忽視的。人教版與康軒版教材對“分數的初步認識”的編排，都是以分餅為情境（如例題1）。

【例題1】把一個酥餅平分成2份，其中的1份是二分之一個酥餅。二分之一記成[1/2]。

人教版教材“每份是它的二分之一”表示的是部分與整體的關系，是“率”含義，相應的練習都均已“率”含義出現;而康軒版“其中的1份是二分之一個酥餅”表示的是具體的數量，并且在相應配套的課后習題中（如例題2），不斷強化學生對“分數是一個具體的量”的認識。

【例題2】涂色的部分是多少？填填看。

著名特級教師俞正強曾在“認識分數”一課中，只教學“量”的含義，他認為，“解決之道是讓學生先深刻地經歷關于量的分數的認識，記熟之后，再經歷關于分率的分數的認識，在此基礎上比較兩個認識的差別，以此解決量與分率的混淆問題”。而他建議“量”的含義學習完，一年后再學習“比率”含義，這樣，學生可以加深對“量”含義的認識。可以說，俞老師的設計跟康軒版教材的編排有相通之處，給我們提供了改造教材的啟發。

無獨有偶，著名特級華應龍在“分數：先分后數”一文介紹了關于分數的意義的教學片斷。華老師首先讓學生回顧要量教室、粉筆、米粒的長分別用什么做單位，然后指出：“單位不同，尺子就不一樣。創造一把尺子，其實就是創造了一個新的單位。所以大頭兒子在家中沒有找到尺子，用領帶創造了一個單位。請回頭看，剛才我們說沙發是[7/8]個領帶長，[7/8]里有7個[1/8]。”從這里我們可以看出，華老師也是從“量”的含義引出分數的意義。把分數看成是“分數單位的累加”不僅延續了自然數的認識，又為進一步理解分數的性質以及分數的加減運算打下了堅實的數學基礎。前文提到的事例2學生不認為分數可用來表示具體的量，事例3中的學生認為“假分數很‘假”的問題，與教師在教學單方面強調“率”的含義是有相關性的。如何處理“量”與“比率”含義的理解呢？兩位名師的做法給了我們很大的啟示。

人教版小學數學教材三年級下冊“認識小數”里的表述“1分米是[1/10]米，還可以寫成0.1米。”（如例題3）這里借助分數引出小數。但借助的分數是“量”含義的表示，而在此之前，教材沒有出現過正式的用“量”表示的分數，造成的結果是學生能理解“1分米是0.1米”，而不能理解“1分米是[1/10]米”，從分數引出小數的編排意圖成了一種擺設。因此，在學習“分數的初步認識”后補充分數“量”含義的相關教學，既是豐富對分數概念的理解，也是后續學習的基礎。

【例題3】把1米平均分成10份，每份是1分米。

作為一名普通的一線教師，完全推翻教材另組教材不現實也沒必要，但可以適當進行拓展，比如在人教版小學數學教材“分數的初步認識”一課教學中，引出“每份是它的二分之一”后，可以再加“也可以說是‘二分之一塊月餅”，在相應的鞏固練習中，也借鑒康軒版做法增加一些用“量”含義寫分數的練習。

本單元的練習題（三年級下冊教材第95頁）有一道出現一家三口分月餅的情境，我認為可以直接改變題目，在分數后面加上“塊”，引導學生直接表述為“爸爸吃了[3/8]塊，媽媽吃了[2/8]塊，我吃了[1/8]塊，還剩下[2/8]塊。”這樣的表述，既跟生活語言比較接近，又讓學生加強對分數“量”含義的理解，從而豐富對分數的全面認識。

三、重視數線表征，培養幾何直觀

“把3米長的繩子平均分成7段，每段占這條繩子的[1/7]，每段長（）米。”這是一道小學數學試卷經常出現的題目，不少學生直接填上循環小數。之所以產生這樣的現象，是因為在學生的心目中并不承認分數是個“數”，不能接受分數和整數、小數一樣可以表示“結果”，總感覺填分數心里“不踏實”。出現此現象的原因多方面，一個很重要的原因是分數跟學生熟悉的整數、小數的“十進制位值制”差異性比較大。另一個重要因素，是因為教師教學時，“分數”更多是以“率”的含義出現，是用來刻畫“部分與整體”或者是“部分與部分”的“倍比”關系。因此，在教學分數時，讓學生認識到分數是“數”大家庭里的一員，顯得非常必要，而借助數線進行教學是個好素材。學生會在進入中學正式學習“數軸”，因此小學可以暫用“數線”作為名稱。康軒版小學數學教材在四年級下冊專門安排了“分數數線”的教學內容。（如例題4）

【例題4】分數數線。

（1）上圖是1公升的量杯。用分數說說看，由下往上數，第1刻度表示多少公升？第2個刻度呢？……

（2）這是一條整數數線。

（3）把每一段都分成3等分，每一個刻度各表示什么數？用分數記記看

人教版小學數學教材從一年級開始，在認識整數時就出現了讓學生在數線寫數，在三年級下冊“小數的初步認識”單元練習題中，也出現了在數線上填小數的題目，但在分數的初步認識單元中卻沒有出現。原因主要是因為在此單元中分數是主要以“率”的含義出現的，不便于在數線上呈現。因此，在分數的認識時，除了拓展分數的“量”含義，還可以借助數線進行表征。我校一位教師在教學“分數的初步認識”一課時就引入了數線，以下是教學片斷。

【片斷一】情境引入

師：想一想，1個月餅用什么數表示？2個月餅用什么數表示？3個月餅呢？沒有月餅用什么數表示？（學生逐一回答1、2、3、0）

師：我現在要將這些數請到這條線上來。0應該安頓在這條線的什么地方？

生：放在1的前面。

師：孩子們，像0、1、2、3……這些數都是同學們學過的數。

師：我這兒有半個月餅，我該把它放在哪兒呢？

生：放在0和1之間。

（師放于數線上，如下圖）

師：想一想，“一半”可以用一個什么樣的數來表示呢？

生：二分之一。

師：這就是我們今天要學習的新數，叫做分數，讓我們一起來認識分數。

【片斷二】拓展提升

師：結合以上三個圖形，你能試著比較[1/2]、[1/4]、[1/8]的大小嗎？

生：[1/2]>[1/4]>[1/8]。

師：試著說說你的理由。

生：比較圖上的陰影部分的大小可以發現。

師：試著在線上找到他們的位置。誰上來寫一寫。

生：我是這樣寫的。

師：試著說說比[1/8]還小的分數有哪些？

生：[1/100]，[1/1000]。

師：你為什么盡量把分母說大？

生：因為分母越大，這個分數就越小。

師：是的，分數比較大小，分子相同，分母越大，分數就越小。

師：你能試著比一比[1/100]在這條線上的位置嗎？你有什么發現？

生：分子相同，分母越大，分數就越小，在這條線上就越靠近0。

從整數到分數是數的概念的一次擴展，這個學習過程對于學生來說并不輕松。從學生的思維特點來看，他們對分數概念的理解，幾何直觀發揮了重要的作用。在以上兩個片斷中，這位教師將整數和分數分布在數線上，并引導學生在數線上進行分數大小比較，不僅豐富了對分數概念的理解，也在數形結合的過程中培養了幾何直觀能力。

參考文獻：

[1]張文宇，張守波.海峽兩岸小學數學教材分數內容例題的比較研究[J].數學教育學報，2015（3）.

[2]華應龍.分數：先分后數——“分數的意義”教學新路徑[J].人民教育，2011（6）.

[3]劉加霞.通過“分”與“數（shǔ）”，分數是個“數（shù）”？——兼評華應龍老師執教的“分數意義”[J].人民教育，2011（6）.

（責任編輯：楊強）