近零折射率區超導/介質雙層結構的Goos-H?nchen位移

高金霞，武繼江

(山東理工大學 物理與光電工程學院,山東 淄博 255049)

超導材料具有一定的不同于傳統電介質材料的電磁特性，對含超導材料的各種分層結構光學特性的研究吸引了科研人員的廣泛關注[1-3]。Goos-H?nchen(GH)位移是一種特殊的物理光學現象[4]。它泛指光束在一定的界面發生反射時，反射光束相對于幾何光學預言的位置在橫向上發生了一定位移，這一位移被稱為GH位移。一般結構的GH位移在量值非常小，通常為光波長量級，對光學器件的工作過程基本沒有影響。近年來隨著納米加工技術的發展，一些光學器件的有效作用尺寸已和光波長相接近，光波在介質界面產生的GH位移，就變成一個非常值得研究的問題。對含超導材料的分層結構，Dadoenkov等人就一維超導光子晶體和含超導材料的三層復合結構的GH位移進行了研究[5-6]，得到了一些有意義的結果。

零折射率材料通常是指折射率等于零或近似為零的人工電磁超材料[7]。由于其介電參量具有近零特性，研究人員發現了許多不尋常的光學現象，提出了許多應用。研究表明，超導材料在一定的波段范圍內也表現為零折射率材料。在近零折射率區，研究人員對含超導材料的分層結構的光學特性已進行了一定研究，發現了一些奇異的光學特性[8-11]。而對含超導材料的一些光學結構在近零折射率區GH位移的研究近來也開展起來，但所研究的光學結構較為簡單[12-13]。對由零折射率材料構成的一定光學結構的GH位移，研究人員也開展了相當多的研究[14-15]。但在這些研究中，近零折射率材料的折射率設定為常數，這不符合近零折射率材料一般為色散材料這一事實。考慮到實際應用，并對上述研究作一定的補充，本文將就由超導材料和傳統的電介質材料構成的雙層結構的GH位移進行研究。相對于Dadoenkov等[6]所研究的含超導材料的三層復合結構，雙層結構在結構上更簡單，且在研究中考慮到在Dadoenkov等人的研究中所沒有考慮的超導材料的零折射率特性。超導材料的電磁特性可通過外加磁場、溫度或壓力等物理作用進行調節[3]，反之對某一光學結構的光學特性進行測量，可實現對相應物理量的傳感測量。基于GH位移效應所實現的傳感器件具有較高的傳感精確度和探測靈敏度4]，因此開展含超導材料的一定光學結構GH位移的研究，對實現低溫情況下溫度和磁場等物理量的傳感測量具有一定的參考價值。隨著探測技術的發展，當前完全可以在超低溫情況下實現納米光學尺寸的精密測量[16-17]。

1 計算模型

圖1給出了含超導材料雙層結構的GH位移示意圖。設該雙層結構處于自由空間(n0= 1)。根據光波傳輸所經過的先后順序，該雙層結構如圖1所示有超導(S)/介質(D)(定義為SD結構)和介質/超導 (定義為DS結構)兩種情況。當光波以入射角θ從自由空間入射到雙層結構上，基于穩態相位法，此時所產生的GH位移可表示為

(1)

式中：k0= 2πn0/λ為入射空間中的波矢量；Ф是反射系數r的相位角；λ為真空中光波長。圖1中nS(nD)和dS(dD)分別為超導材料(介質材料)層的折射率和厚度。對電介質材料，在計算中選擇的是Al2O3材料，其折射率nD= 1.767[6]。對超導材料，選擇高溫超導材料釔鋇銅氧超導體 (YBCO)。對分層結構反射系數r的計算可采用大家熟知的傳輸矩陣法。

(a) SD結構

根據二流體模型，高溫超導體的折射率可以被表示為[9]

(2)

式中：ω為入射光的角頻率；μ0和ε0分別為自由空間中的磁導率和介電常數；λL為倫敦穿透深度，其一般可表示為

(3)

式中：T為環境溫度；Tc為超導材料的臨界溫度；λ0為T= 0 K時的穿透深度。由式(2)中可以看出，超導材料的折射率不僅依賴于入射光波的頻率，還與溫度有關。根據式(2)，圖2給出了7.7 K和80 K時高溫超導材料YBCO的折射率的實部nR和虛部nI隨波長的變化曲線。其中虛部nI實際上是大家熟知的消光系數。對超導材料YBCO[9]，臨界溫度Tc= 90 K，T= 0 K時的倫敦深度λ0= 220 nm。

由圖2易知，在確定的溫度下，在某一波長處nR和nI均為0。定義該波長為閾值波長λth。由圖2可以看出，當波長小于λth時，nR為實數，且隨著波長的增大，nR逐漸減小。而在大于λth的波段范圍內，超導材料表現為零折射率材料。由圖2還可看出，溫度越高，λth就越大。

圖2 超導材料YBCO的折射率隨波長的變化曲線Fig.2 Wavelength-dependent refractive index of YBCO at 7.7 K and 80 K

2 數值結果與分析

基于上述計算模型，圖3和圖4分別給出了S波和P波入射時不同波長下的GH位移隨入射角的變化曲線。計算中溫度取為7.7 K，此時閾值波長λth約為1 382.34 nm。計算中超導層和電介質層的厚度均取為60 nm，其他參數同圖2。由圖3和圖4分可以看出，類似于文獻[6]所討論的三層結構，在掠入射時，GH位移在量值上均隨著入射角的增大而急劇增大，所不同的是GH位移的符號存在一定的差異，對S波，GH位移為負值，而對P波，GH位移的正負與結構和入射光波長有關。由于在以較大入射角入射時，GH位移的變化較為簡單，后續將主要討論小角度入射時GH位移的變化規律。

非掠入射時，GH位移隨入射角的變化也與結構和入射光波長有關。由圖3(a)和(b)可知，在近零折射率區，對S波，各波長下的GH位移隨入射角的變化較為一致。隨著入射角的增大，對SD結構，由圖3(a)可知，GH位移是先增大，達到正的極值后再減小，在減小的過程中由正值變為負值。而對DS結構，由圖3(b)可知，各波長下的GH位移保持為負值，且隨著入射角的增大而逐漸減小，在量值上則是隨著入射角的增大而逐漸增大。由圖3(a)和(b)還可看出，此時，GH位移隨波長的變化與結構相關。對SD結構，隨著波長的增大GH位移逐漸增大，而對DS結構則正好相反。但在量值上二者是一致的，均是隨著波長的增大而逐漸增大。

(a)SD結構

對P波，由圖4(a)和(b)可知，在近零折射率區，各波長下的GH位移隨入射角的變化較為復雜。對SD結構，圖4(a)可知，當以閾值波長λth入射時，GH位移基本保持為某一常數而不隨入射角變化。當入射光波長小于λth時，GH位移為正值。隨著入射角的增大，GH位移基本是先增大后減小而后又增大。當入射光波長大于λth時，GH位移的情況恰好相反。此時，GH位移為負值，且隨著入射角的增大，是先減小后增大而后又減小。當小角度入射時，在確定的入射角下，GH位移隨波長的變化是一致的，無論入射光波長大于λth還是小于λth，GH位移均是隨著波長的增大而逐漸增大，但GH位移在量值上的變化正好相反。

(a) SD結構

類似于SD結構，對DS結構，當P波入射時，GH位移隨入射角的變化也以λth為分界波長。但此時以λth入射時，GH位移不再保持為某一常數，而是隨著入射角的增大而逐漸增大。當入射光波長大于λth時，GH位移隨入射角的增大是先增大后減小而后又增大。當入射光波長小于λth時，若入射光波長瀕臨λth，GH位移隨入射角的增大是先減小后增大，達到極值后又先減小后增大。若入射光波長遠離λth，GH位移則隨入射角的增大是先減小后增大。小角度入射時，無論入射光波長大于λth還是小于λth，GH位移均是隨著波長的增大而逐漸減小，但在GH位移在量值上的變化正好相反。

綜合圖4(c)和(d)的結果可知，對P波，小角度入射時，無論是SD結構還是DS結構，入射光波長越接近λth，對應波長的GH位移在量值上就越大。此外，在小角度入射時，瀕臨λth的各入射光波長下GH位移隨入射角變化時有一個或兩個極值。如對DS結構，以波長1 370 nm入射時，在入射角約為5°和18°附近，GH位移曲線有兩個極值。需要說明的是，當入射光波長遠離λth時，GH位移的變化規律將與上述結果會有所不同。

上述計算中，超導層和電介質層的厚度dS和dD固定為60 nm，而它們的取值對GH位移有很大影響。由上述計算結果可知，相對而言，P波入射時DS結構的GH位移隨入射角的變化較為復雜，因此后續將主要研究P波小角度入射時，DS結構的GH位移隨dS和dD的變化情況。

(a) 入射光波長1 370 nm

對DS結構，圖5給出了P偏振光入射時，入射光波長分別為1 370 nm (小于λth)和1 390 nm (大于λth)的光波的GH位移在小角度入射時隨超導層厚度dS變化情況。圖中GH位移量值的表示以λth為單位，下同。計算中，電介質層的厚度dD保持為60 nm不變，其他參數同圖3。由圖5可知，dS對兩個波長下GH位移的影響存在一定的差異。由于小角度入射時第二個極值的GH位移相對于第一個極值要小很多，后續將主要討論第一個極值的變化情況。由圖5(b)可知，當入射光波長為1 370 nm時，隨著的dS增大，第一個極值向大角度方向移動，且dS越大，GH位移在量值上就越大，在dS為400 nm時GH位移的大小約為10λth。由圖5(b)可知，當入射光波長為1 390 nm時，兩個極值隨dS的變化基本一致，均隨著dS的增大向小角度方向移動，GH位移的極值均是先增大后減小，因此存在相應的最佳dS分別使得兩極值達到最大。

(a) 入射光波長1 370 nm

類似于圖5、圖6給出了小角度入射時兩不同入射波長下的GH位移隨電介質層厚度dD的變化情況。由圖6(a)可以看出，在所計算的dD的變化范圍內，波長1 370 nm的GH位移的第一個極值隨著dD的增加向小角度方向偏移，且隨著dD的增大而逐漸減小。可以看出，在近零折射率區，要得到較大的GH位移，dD的取值應為零，也即不加載電介質層。計算表明，當dD取值為零時GH位移可達280λth。為清晰顯示GH的變化趨勢，圖6(a)中GH位移取值較大的區域和色柱的范圍做了一定的處理。進一步的計算表明，當入射光波長遠離λth時，要得到較大的GH位移，dD不能為零。入射光波長為1 390 nm時，GH位移隨的變化與上述情況不同。由圖6(b)可以看出，隨著dD的增大，第一極值首先向大角度方向移動而后偏向小角度方向。第一極值隨著dD的增大是先增大后減小，存在一個最佳的dD使得GH位移最大。

在小角度入射時，對比圖5和圖6所給出的GH位移曲線第一個極值隨dS和dD變化情況可以看出，當入射光波長小于λth時，要使第一個極值的量值盡可能大，需要dS盡可能大，而dD要盡可能小。而當入射光波長大于λth時，dS和dD則存在最佳的取值使得GH位移在某一入射角下達到最大。

圖7 溫度對GH位移的影響Fig.7 The effect of temperature on the GH shift

超導材料的折射率是溫度的函數，對圖1所示結構也可進一步討論溫度對GH位移的影響。圖7給出了波長為1 380 nm的P波在小角度入射時，DS結構的GH位移隨溫度的變化情況。計算中，dS和dD的取值分別為100 nm和35 nm。由圖可以看出，隨著溫度的增加，GH位移的極值均逐漸減小，且向大角度方向移動。由圖2可知，溫度變，λth也隨之變化，近零折射率區也隨之變化，因此圖7的計算結果已超出本文計劃討論的范圍。但由圖7可知在合理選擇相關參數的情況下，圖1所示的含超導材料的雙層結構可以有較大的可以實現實際檢測的GH位移，如圖7所示計算結果中最大可達12λth，這對實際中基于GH位移實現超低溫情況下溫度的傳感測量具有一定的參考作用。

3 結論

在近零折射率區，理論研究了由超導材料和電介質材料構成的雙層結構的GH位移。結果表明，當入射光掠入射時，該雙層結構GH位移隨著入射角的增大而急劇增大，而非掠入射時，GH位移與入射光的偏振狀態密切相關。S波入射時，GH位移隨相關參數的變化較為簡單。對SD結構，GH位移隨著入射角的增大是先增大后減小。對DS結構，GH位移隨著入射角的增大而逐漸減小。P波入射時，GH位移以閾值波長λth為分界波長表現出不同的變化規律。但無論是DS結構還是SD結構，當小角度入射時，入射光波長越接近λth，GH位移的極值在量值上就越大。研究還表明，小角度入射時，對DS結構，P波的GH位移隨兩介質層厚度dS和dD的變化與入射光波長相關。當入射光波長小于λth時，要使GH位移盡可能大，dS要盡可能大，而dD要盡可能小。當入射光波長大于λth時，dS和dD則存在最佳的取值使得GH位移達到最大。超導材料在光子學領域具有廣泛的應用，計算結果為基于超導材料的新型光子學器件研究開發提供了參考。