培養學生的數學核心素養
——以“方程的根與函數零點”教學為例

王 惠

(寧夏青銅峽市高級中學吳忠中學青銅峽分校 寧夏 青銅峽 751600)

引言

普通高中數學課程標準把“以學生發展為本，落實立德樹人的根本任務，培養和提高學生的數學核心素養”作為課程宗旨，明確提出了6個數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。如何在數學教學中落實數學核心素養，全面提升一線教師課堂教學效率，是我們需要研究的課題。教師結合學生的實際情況，在準確把握教材的基礎上，挖掘教材中潛在的營養成分與教育價值，通過組織形式多樣的教學活動，不斷豐富學生數學知識，不斷提升學生的數學核心素養?，F就高中數學人教版A版必修1第三章“函數的應用”第1節“方程的根與函數的零點”(第1課時)的教學實踐，談談如何挖掘教材，通過多種形式的數學活動培養學生的數學核心素養。

1.圍繞數學核心素養設計教學過程

1.1 創設情境，引入課題。

師：問題1求出下列一元二次方程的根并作出相應的二次函數的圖象，觀察二者有何聯系？

(1)方程x2-2x-3=0與函數y=x2-2x-3;

(2)方程x2-2x+1=0與函數y=x2-2x+1;

(3)方程x2-2x+3=0與函數y=x2-2x+3;

生：完成表格(學生通過導學案預習，展示學習效果)

判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的實數根函數y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函數圖象函數的圖象與x軸的交點

結論：方程的實數根與對應函數圖象與x軸交點的__________相等。

設計意圖：引導學生對初中所學一元二次方程知識進行回憶，對方程的根的求法與一元二次函數圖象確定函數與x軸交點，由舊知引導學生發現新知，為下一問題做準備。

1.2 抽象概括，建構概念。

師：問題2上述特殊一元二次方程推廣至一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)與相應的一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的關系，上述結論是否任然成立？

生：完成表格(學生通過導學案預習，展示學習效果)

判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象函數的圖象與x軸的交點

設計意圖：引導學生對初中所學的一元二次方程進行回憶，通過回顧得到一般一元二次函數圖象與x軸的交點與相應方程的根的關系。

師：問題3將上述結論推廣至一般方程f(x)=0與相應的函數y=f(x)又會有什么結論？請大家自己寫一個函數y=f(x),畫出函數圖象，求出對應方程f(x)=0的根，驗證上述結論是否成立？

設計意圖：教師引導學生總結一次函數、對數函數的函數圖象與x軸交點的橫坐標就是其對應方程的根，得出上述一般性的結論。

1.3 零點的定義。

對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0 的實數x叫做函數y=f(x)的零點?！?/p>

效能分析：結合定義，建立函數的零點與方程實根之間的關系：方程f(x)=0有根?函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)圖象與軸交點的橫坐標。

問題4：判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出。

(1)f(x)=x2+7x+6 (2)f(x)=1-log2(3+x)

效能分析: 使學生熟悉定義法求函數零點的求法，鞏固概念(即求相應方程的實數根)。函數零點不是一個點，而是一個實數。注意函數問題永遠定義域優先。

1.4 實驗探究函數零點存在性定理。

師：問題5 做實驗 ：如圖1，在平面直角坐標系xoy中，設A(a,f(a)),B(b,f(b))是函數y=f(x)在區間[a,b]上的兩點，試在A、B之間畫函數y=f(x)的圖象，判斷函數y=f(x)的圖象是否一定有零點？

(1)A,B兩點同在x軸上方：(2)A,B兩點同在x軸下方：(3)A,B兩點分別位于x軸的上、下兩邊：

圖1圖2圖3

生：學生活動：分小組討論實驗結果，由小組派代表展示實驗結果，讓學生自己主動探索零點存在的充分條件，培養學生分析，探索，解決問題的能力。

學生探索結論：通過(1)、(2)、(3)三種情況的實驗探索零點存在必須滿足：f(a).f(b)<0

師：引導學生探索函數有零點的另一個必要條件：函數y=f(x)在區間[a,b]內連續。

生：通過實驗探究函數零點存在必須滿足兩個條件： ①函數y=f(x)在[a,b]區間連續不斷；②f(a).f(b)<0;則函數y=f(x)在區間(a,b)內存在零點。

師：問題6滿足上述兩個條件，能否確定零點個數呢？

生：部分學生回答“能”，部分回答“不能”。學生探索零點存在性定理能不能確定零點個數。

師：問題7若函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，一定能得出f(a)·f(b)<0的結論嗎？

生：教師引導學生通過y=x2,x∈[-2,2] 明確零點存在性定理反之不成立。

師：問題8 函數f(x)=ex+x-2零點所在的一個區間是( )

A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)

設計意圖：判斷函數零點所在區間的方法：引導學生從零點存在性定理入手，連續只需從定義域考慮；然后求出區間(a,b)對應端點值f(a)和f(b),只要f(a)·f(b)<0， 那么區間(a,b)就是零點所在區間。零點存在性定理在區間(a,b)內產生零點需要的條件：連續且f(a)·f(b)<0 。

1.5 鞏固內化，提升高度。

問題9 求函數f(x)=Inx+2x-6的零點的個數。

師：法一：圖象法：

強調畫圖像基本步驟：列表、描點和連線。

生：畫圖確定零點個數

師：法二定義法通過變式Inx=-2x+6,加深學生對函數與方程關系的認識和理解滲透數形結合和轉化歸納思想，發展學生的數學運算和邏輯推理素養。法二把求函數零點轉化為求方程的解，當方程直接解不出時，又轉化為利用函數圖象交點的問題分析解決問題，體現了函數與方程之間密切聯系，也就是“函數與方程”的思想。

師：對方程x2=4x-4，2x(x-2)=-3解法探究，一題三解，培養學生解決問題，運用函數與方程思想解決問題的能力，培養學生的數學核心素養。

2.數學核心素養教學的思考

2.1 結合教材，培養學生的數學核心素養。教材是知識點的精華與濃縮，對有些過程沒有詳細說明，因此學生可能會產生思維障礙，教師只有對教材進行深入研究，為學生的思維“搭橋”，對所呈現的思維進行“拓展”，才能讓教材變得容易讓學生接受，數學課堂才能發出高效的魅力。新、舊知識之間只有一層窗戶紙，教師搭橋引導學生把它捅破，通過不同的教學設計體現了教師的教學理念與教學藝術。在引導學生探索定理的過程中，把原本難以理解的思考，順理成章的歸納，概括出問題的本質屬性，生成了零點的存在性定理。不僅鍛煉了學生的探究能力，而且培養了學生的數學核心素養。

2.2 通過問題，啟迪學生思維，助數學核心素養生根。數學教學的實質是“數學思維活動過程”的教學，教師應在學生“最近發展區”內精心重組教學內容，啟迪學生思維的深層參與。只有引領學生在觀察中分析，在操作中思考，在探究中思辨，在比較中歸納，在合作中交流，學生的思維與認知才能得到完善與提升。“函數的零點”的建構既是一個數學建模的過程，也是一個思考的過程。教師站在學生思維的角度，搭建問題的階梯，對知識由淺入深引導學生探究，注意知識之間銜接，把知識簡單化。教師精心設計“問題串”留給學生自己探究的時間，獨立的思考使學生思維得到了發展，數學的思想方法不斷升華，數學核心素養得到提升。深入研究教材，體會函數與方程“形”與“數”的內在聯系，體會發現的快樂，數學核心素養的培養落地生根。