雙層最值問題的解法探秘

浙江省嘉善第二高級中學 (314100) 魯和平

雙層最值問題是指在一個最值問題中又包含一個最值問題.它大致可分為四大類：求最大值中的最小值；求最小值中的最大值；求最大值中的最大值；求最小值中的最小值.尤以前面兩類問題居多.這類問題在高考模擬卷和競賽卷中會經常出現，常以選擇題或填空題的方式呈現.最值問題，歷來就是高中數學的熱點和難點問題，而雙層最值更加大了最值問題的理解難度.因此，大部分學生見到此類問題都是望風披靡，視為若猛虎.其實，只要認真歸納總結，還是可以找出此類問題的一般解題規律的.

一、相乘策略

將已知問題轉化為幾個同向不等式，再將這幾個不等式相乘，綜合運用不等式相關知識即可求解.

二、相加策略

根據已知條件，得出幾個同向不等式，將這幾個同向不等式相加，再以不等式知識綜合求解

例3 對于任意實數a,b，不等式max{|a+b|, |a-b|,|2006-b|}≥c恒成立，則常數c的最大值是.

解：設M=max{|a+b|,|a-b|,|2006-b|} ，則M≥|a+b|,M≥|a-b|,M≥|2006-b|，從而4M≥|a+b|+|a-b|+2|2006-b|≥|(a+b)+(b-a)+2(2006-b)|=4012，所以M≥1003所以c≤1003，故常數c的最大值為1003.

三、構造策略

將問題轉化為若干個已知得不等式，對這幾個不等式進行重組拓展，構造出新的不等式，解這個新的不等式即可求解.

例8 設x>1,y>1，s=min{logx2,log2y,logy(8x2)}，則s的最大值為.(2006年陜西高中數學聯賽題)

例10 已知a,b,c∈R+且a+b+c=12,ab+bc+ca=45,求minmax{a,b,c}.

解：不妨設a=max{a,b,c} ，由a+b+c=12可得12≤3a,即a≥4,則a≥b,a≥c?(a-b)(a-c)≥0?a2-(b+c)a+bc≥0?a2-(12-a)a+bc≥0?bc≥12a-2a2,又45=ab+bc+ca=bc+a(b+c)=bc+a(12-a)≥12a-2a2+a(12-a)?a2-8a+15≥0?a≥5,當且僅當a=b=5,c=2時，得minmax{a,b,c} =5.

例11 已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=1,求minmax{a,b,c} 的值.

四、畫圖策略

運用數形結合思想，因數構形，以形助數.通過觀察圖形，找出最值中蘊含的最值.

圖1

例12 對于每個實數x，設f(x)=min{4x+1,x+2,4-2x}，則f(x)的最大值是.