一道經(jīng)典三角高考題的多角度思考

田發(fā)勝

(山東省淄博四中 255100)

這是一道起點(diǎn)低，入口寬，既注重考查基礎(chǔ)知識(shí)，又側(cè)重于考查思維能力的好題.該題從不同的角度入手，有著多種不同的解法，且各種解法難易，繁簡程度差別很大，充分體現(xiàn)了各種不同的思維層次，有著較高的選拔功能.

思路1求三角函數(shù)值，關(guān)鍵是求出sinα,cosα的值，因此，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式與已知條件結(jié)合，有如下解法：

點(diǎn)評這種解法思路清晰，自然，但計(jì)算量較大.

思路2求tan2α的值，若能求得tanα的值，再利用二倍角公式，就能輕松獲解.由此有下面的解法.

點(diǎn)評這種解法把已知條件進(jìn)行平方，得到了我們熟悉的“齊次式”結(jié)構(gòu)，直接求得了tanα，使得解題過程得以簡化，這是一種整體意識(shí)，思維上比解法1進(jìn)了一步.

思路3已知條件中的角是α，而要求解的問題中的角是2α.因此，求tan2α的值，把已知條件中的角向2α轉(zhuǎn)化.

點(diǎn)評這種解法從角的不同入手，首先想到變換角度，把角統(tǒng)一起來，使得計(jì)算過程大大簡化.在三角變換中，優(yōu)先考慮角的變化是解三角題的重要思路.

思路4觀察sinα+2cosα的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到輔助角公式，利用輔助角公式獲解.

點(diǎn)評輔助角變換是逆用三角變換公式的一種重要形式.利用輔助角變換，把要求解問題中的角用引入的輔助角表示出來，使得問題得以獲解.

思路5這是一個(gè)選擇題，解選擇題應(yīng)“不擇手段”，仔細(xì)觀察題目的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)字信息，直接獲得sinα,cosα的值，使得問題獲解.

點(diǎn)評解選擇題以快為上，不需要過程，因此，特殊值法是一種重要的解題方法.但需要同學(xué)們有敏銳的觀察能力，在三角函數(shù)中，利用勾股數(shù)類比sin2α+cos2α=1是重要的法寶.

三角函數(shù)公式眾多，靈活多變，許多同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中陷入其中，繞不出來.實(shí)際上，解三角題時(shí)，同學(xué)們只要抓住弦切的互化，公式的靈活運(yùn)用，角是否有變化等基本規(guī)律，然后仔細(xì)觀察題目中的結(jié)構(gòu)特征，數(shù)字信息，找出已知條件和求解的問題之間的差異與聯(lián)系，抓住角度是否發(fā)生了變化這個(gè)關(guān)鍵，再選擇合適的公式，消除角度的差異，函數(shù)名稱的差異，就能獲得解題思路，使得問題得以解決.

咱們再來看一個(gè)例子.

本例與上面的例子相比較，給出了角的范圍，因此，在解題過程中不要忽視角的范圍，應(yīng)注意根據(jù)給出的數(shù)字的大小，適當(dāng)?shù)乜s小角的范圍，或者對求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

下面再提供幾題，作為練習(xí)，請同學(xué)們仔細(xì)觀察題目中條件的結(jié)構(gòu)特征，給出的數(shù)字信息，從多個(gè)角度入手，給出不同的解法，并認(rèn)真比較，尋求最優(yōu)解答，以期能啟迪同學(xué)們的思維，開闊同學(xué)的眼界，獲得靈活處理問題的思維方法.