培養學生推理能力三步走：猜想、驗證、歸納

朱習冰

[摘 要]新課標指出，推理能力的培養應貫穿整個教學過程。推理是基本的數學思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。教師應注重在數學課堂中培養學生推理能力的基本方法，即創設情境，引發合理猜想;實驗驗證，注重推理過程;歸納總結，導出推理結論。

[關鍵詞]推理;圓錐;體積;猜想;驗證

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0077-02

新課標指出：“推理能力的培養應貫穿整個教學過程。推理是基本的數學思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。”在小學階段，合情推理是最常用的推理方法，其進一步分為歸納推理和類比推理。在教學中，教師既應注重傳授給學生基本知識和技能，也要注意培養學生的推理能力，在潛移默化中引導學生以推理的思維發現問題、分析問題和解決問題，從而為學生的長遠發展打下堅實的基礎。筆者以“圓錐的體積”教學為例，論述了在小學數學課堂中培養學生推理能力的基本方法，期望能給各位教師以啟發。

一、創設情境，引發合理猜想

創設問題情境，引導學生積極思考、主動參與推理活動是引發合理猜想的前提。在教學中，教師應創設生動的問題情境，給予學生有趣的數學材料，通過問題引發認知沖突，為學生進行合理猜想創造條件。猜想是推理的前提，猜想為推理提供了方向。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現！”新課標也明確指出：“要讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，讓他們有條理地、清晰地闡述自己的觀點。”數學猜想是人的思維在探索數學本質時的一種認知策略，它是學生在已有知識儲備和認知經驗上運用非邏輯手段而獲得的一種假設。數學猜想能縮短解題時間，為數學發現提供了更多可能，是鍛煉人的數學思維的重要方式。在教學中，教師要充分利用學生已有的知識儲備和認知經驗，讓學生去猜想、驗證，并在猜想與驗證中進行推理。

師：笑笑家里的小麥豐收了，小麥堆成了一座小山。這時，爺爺給笑笑出了一道難題——你知道這堆小麥的體積大約是多少立方米嗎？這可讓笑笑為難了。同學們，能幫笑笑解決這道難題嗎？

生1：麥堆的形狀近似圓錐。

生2：我們還沒有學過圓錐的體積公式呢。

師：想一想，我們在推導幾何圖形的面積和體積公式時，最常用的方法是什么呢？

生3：我們常用到轉化的方法。比如我們把圓柱轉化成了長方體，從長方體體積公式推導出了圓柱的體積公式。

生4：或許我們可以把圓錐轉化成圓柱。

生5：不行，它們的形狀差別很大，轉化起來并不容易。

師：如果把圓錐轉化成長方體呢？

生6：也不行。長方體六個面都是平面，圓錐有一個曲面。

師：那我們是不是應該轉換一下思路呢？

（學生討論）

師：為什么把圓柱轉化成長方體，能夠順利地推導出圓柱的體積公式呢？

生7：因為轉化前后圓柱的體積和長方體的體積相同，而且圓柱和長方體等底等高。

師：那我們是不是也可以找一個和圓錐等底等高的圓柱（如右圖所示），來找出二者之間的關系呢？

生8：可以，這樣就間接地實現了圖形的轉化。

生9：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的2倍。

生10：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍。

生11：我猜圓柱的體積是與之等底等高的圓錐體積的4倍。

在教學中，教師結合生活實際，創設了“計算麥堆的體積”的情境，激發了學生的學習興趣，學生在思考中意識到現有的知識無法解決新的問題，進而引發了認知沖突，為下一步探索奠定了基調。如何引導學生進行合理猜想是教學的關鍵，尤其是教師怎樣引導學生將圓錐和與其等底等高的圓柱的體積進行比較更是關鍵中的關鍵。在教學中，教師從學生已有的探究經驗出發，啟發學生根據把圓柱轉化成長方體的經驗，找出一個與圓錐等底等高的圓柱，然后猜想二者之間的體積關系。如此，學生對于“‘等底等高是怎樣想到的？”“為什么要把圓錐和等底等高的圓柱體積相比較？”等問題就了然于胸，同時，在此基礎上，學生自然會猜想圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的幾倍。

二、實驗驗證，注重推理過程

數學知識具有抽象性，而小學生的思維以形象思維為主，要找到把抽象知識轉化為形象知識的媒介，實驗操作是不二選擇，而且實驗活動可以有效激發學生的求知欲。在數學實驗中，學生親自動手操作，從直觀動作出發，歷經觀察、分析等過程，最終獲得真知、提升能力。實驗本身具有較強的嚴謹性，這就要求學生在做實驗時要從細節處著手，關注實驗的每一個環節，盡量減小實驗誤差。在實驗過程中學生可以培養嚴謹細致的習慣。

在實驗中，教師可把學生分為四大組，每一組都有等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個，其中，第一、第二組以大豆為實驗材料，第三、第四組以沙子為實驗材料。學生往圓錐形容器里裝滿大豆或沙子，然后把大豆或沙子倒進圓柱形容器里，看看倒幾次能把圓柱形容器裝滿，以此來判定二者之間的體積關系。

第一組學生：我們發現倒了兩次的時候圓柱形容器還沒滿，但是倒第三次時，圓錐形容器里就會剩下一些大豆，因此我們認為圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的2.5倍。

第三組學生：我們倒了三次剛好把圓柱形容器倒滿，因此我們得出“圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍”的結論。

師：為什么不同組的實驗會得出不同的結論呢？

生1：因為與沙子相比，大豆的顆粒更大些，所以大豆與大豆之間的空隙也比較大，影響了實驗的精度，這樣實驗的誤差就增大了度。

生2：而沙子與沙子之間比較“緊實”，所以用沙子做實驗材料更加準確。

師：做實驗時我們應該如何減小誤差呢？

生3：應該選擇合理的實驗材料。

生4：如果條件允許，我們應該多做幾次實驗，這樣就能得出比較準確的數據。

生5：實驗操作一定要細心，比如倒沙子在圓錐形容器時要倒滿，但也不能溢出，與圓錐的“口”持平即可，不要把沙子撒到容器外。

通過數學實驗驗證猜想是獲得數學結論、實現數學推理的重要手段。教學中，教師引導學生采取了對比實驗法，使學生通過對比意識到科學選擇實驗工具和材料的重要性。有了對比，學生才真正了解了實驗當中有哪些需要注意的地方，怎樣做才能最大限度地減小實驗誤差。在實驗中，學生經歷了實驗設計、實驗操作、實驗反思的完整過程，最終得出了科學的結論，并在這個過程中培養了嚴謹求實的品質。

三、歸納總結，導出推理結論

通過合理猜想和實驗驗證兩個環節，學生距離最終的結論越來越近。教師要及時引導學生總結實驗結果，并通過歸納推理得出最終結論，由此完成推理過程。在這個過程中，教師要注意引導學生分析實驗結果是否具有普遍性，只有經歷了這樣的分析和思考過程，學生才能對推理結論更加信服。

師：通過實驗，我們得出“圓柱體積是與之等底等高的圓錐體積的3倍”的結論，換句話說就是，圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的[13]。如果用V表示圓錐的體積，S表示底面積，h表示高，你能寫出圓錐體積的公式嗎？

生1：V=[13]Sh。

師：要計算圓錐的體積，需要知道哪些條件？

生2：要知道圓錐的底面半徑或直徑和高。

師：讓我們回到笑笑爺爺出的問題，現在，你能幫助笑笑解決這個問題了嗎？

生3：可以用纏繞法量出麥堆底面的周長，然后求出其半徑，進一步求得底面積，再量麥堆的高，這樣就能求出麥堆的體積了。

有了前面實驗分析的鋪墊，學生理解“圓錐的體積是與之等底等高的圓柱體積的[13]”這一結論并非難事，學生也就水到渠成地據此推導出圓錐的體積公式了。在這一環節中，教師發揮了學生的主體作用，讓學生自己得出結論，從而使學生體驗了合理猜想、實驗驗證、歸納推理的完整過程。

推理能力是數學核心素養的重要組成部分。然而，推理的過程是環環相扣的，猜想、驗證、歸納都是推理不可或缺的重要環節。因此，教師要在教學中融入推理活動的各環節，引導學生在原有認知上大膽猜想，進行驗證，并在這個過程中發展學生的推理能力。

（責編 黃 露）