讓事實走向概念性的理解

胡存宏

[摘? 要] 小數可以看成是十進分數的特殊形式，它的意義非常抽象。對于學生來講，小數既熟悉也陌生。熟悉的是小數在現實生活中的真實存在，也就是對小數的事實性理解;而陌生的是小數究竟表示什么意義，與十進分數又有著怎樣千絲萬縷的聯系。部分學生不是真正的理解與掌握，遠沒有達到概念性理解的程度。如何才能幫助學生更好地理解小數，讓他們對小數的本質有深刻的認識，最關鍵的就是要真正了解學生對該知識點已經掌握了多少，他們最感困惑的地方又在哪里。文章經過精心設計問題對學生進行前測，基于前測統計結果，中肯地提出教學建議，值得一線教師借鑒。

[關鍵詞] 前測;十進分數;事實性理解;概念性理解;意義建構

一、究竟什么是小數

小數，微數也。

“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細……”這是劉微在《九章算術》中對小數的論述，也是世界上最早的關于小數的記載文字。

而《辭海》中對小數的解釋是：小數，分母是10、100、1000……的真分數，可以改寫成不帶分母的形式，這種形式的數，稱之為“十進位小數”，簡稱“小數”。

以上闡釋不難看出，二者是同出一轍的，從中可以發掘小數最為本源的意義所在。

由此，讓學生了解小數與1之間有著怎樣千絲萬縷的聯系，尤其是怎樣通過具體的情境創設豐富的實踐活動，讓學生經歷從實物操作到小數意義抽象概括的全部過程，借此溝通小數與十進分數之間廣泛而豐富的正向認知聯系（本節課內容是一位小數與十分之幾之間的聯系），感知小數的來龍去脈，這才是學生在正式認識小數的第一階段學習中最需要也是必須掌握的地方。

二、學生已有的認知

“小數的初步認識”是蘇教版三年級下冊的教學內容，是學生第一次正式認識小數，那么這一學段的學生對于小數會有哪些了解呢？按照我們的預設，應該會有下面幾種認識途徑。

途徑1：商場、超市里面的商品價格標簽，學生耳熟能詳。

途徑2：體育課上的身高測量、車站里面的身高標識牌，與每個學生密切相關。

途徑3：從小學一年級就開始與學生形影不離的考試成績，也經常會出現小數，比如92.5分、89.5分等。

……

上述的認識只能說明，到了三年級，學生對于小數應該會有直觀的感知，頭腦中有了小數的模型，小數作為事實的存在已經在學生的頭腦中留下了印記。因此，我們知道學生對于小數有了印象，但這可能只是孤單且零碎的存在，對于什么是小數，它與整數、分數等之間究竟有著怎樣的聯系，可能還需要我們進一步去調查與了解。

三、前測的意圖以及測試題

從上述的分析來看，對于小數，學生有著較為豐富的直觀感知以及一定的認知儲備;但是就每個學生理解的程度而言，小數的認識是否都達到了整齊劃一的高度？這與我們教師的認識之間有著怎樣的鴻溝？為了更好地幫助學生理解小數的意義，我們希望通過前測了解學生真正的知識基礎，這也是我們后續教學最為可靠的依據。

在前測中，我們試圖從以下三個方面去打開發現之門，并精心設計與之配套、相對應的前測習題（見表1）。

首先，生活中有哪些小數是學生印象最深刻的？（對應“前測題1”）

其次，他們對這些本已熟知的小數表示的意義有著怎樣的解釋與說明？（對應“前測題2”）

再次，身處既熟悉又陌生的現實情境中，對于教師提供的小數，他們又是怎樣理解的呢？（對應“前測題3”中的3個小題）

四、測試結果的統計與分析

（1）你印象最深的一個小數是什么？

當今社會，信息高度發達的情況下，我們有理由相信學生已經不是一張知識白紙。他們在學習本單元教材之前，對小數已經有了一定的認識。當然，有悖于我們常理的是，對于他們來講，印象最深的除了公認的商品價格標簽以及長度單位外，在考試中經常出現的89.5分、92.5分和94.5分等成績對他們也顯得尤為重要，也是認識小數的一個很重要的途徑。筆者猜想，正是這個考試成績中看似不起眼的0.5分，也就是“半分”中的“半”字，深深地影響著學生后面了解“0.5拃”表示的結果。

（2）你知道上題中所寫的小數表示什么意義嗎？你是怎么知道的？（回答的統計結果見表3）

很明顯，從表格數據中可以看到學生在接受新知的過程中，家長及校外的教師起了很大的作用，接近80%的學生在假期對所學知識進行了預習，其中接近一半的學生是通過家長對小數的意義有了初步的認識，但“沒有學習過”的22%是一個不容忽視的數據。

了解不等于理解。對于每位學生自己所寫出來的小數的意義，全班能夠理解（包括部分理解）的僅占22%，即五分之一左右。統計顯示，更多的學生在表示小數的意義時，特別是對“考試成績的89.5分”，都認為是考試中的題目只做對了一半，所以是89.5分，在此將“半分”與“半題”很清晰地畫上了等號，這是我們始料不及的，也是必須高度重視的地方。

（3）①下面最長線段的長度是1米，你能表示出0.4米嗎？（回答的統計結果見表4）

對于教材的例題，學生掌握的程度更好一些，理解得更加透徹一些。對于這一題，我們可以看出正確率是出奇的高，達到了78%;如果加上數錯的3名學生，這一題的正確率將超過80%。這是我們教師一直堅定地認為學生對小數已經有所了解的根源所在。究其原因，是這一題中已經很明確地將1米進行了平均分，并且正好是10份，無形中已經將小數與十進分數畫上了等號。正如學生即將爬坡的時候，從上面伸下來一個扶梯，學生何樂而不為呢？這樣也就大大降低了解題的難度，學生做對就是理所當然的事情。

倒是統計結果中有3名學生將1米重新平均分成了4份，然后再取出其中的一份，這非常耐人尋味。在一些學生的心目中以為，平均分成多少份就是表示零點幾，這種思路在這一題中得到了驗證。這也是我們教師一直以為的學生對于小數的理解只是一種事實的存在而沒有深入地進行理解與認識的依據。依葫蘆畫瓢，讓小數與十進分數在此完全脫節了。

②這是老師一拃的長度，你能表示出0.5拃嗎？（回答的統計結果見表5）

原以為這題與前面一題同出一轍，正確率應該不相上下;但是數據是最真實的，從前一題的正確率78%下降到這題的46%，不得不引起我們的思考。最重要的可能是這里將“0.4米”換成了“0.5拃”的緣故。可以看到，一共有8名學生在表示“0.5拃”的時候很小心謹慎地取了“半份”。為什么？實際上前面已經講到，因為考試成績在學生的心目中是根深蒂固的印象——“0.5分”表示的就是“半分”，所以這里的“0.5拃”表示“半份”無疑是正確的，也是有著必然的聯系的——因此才有不少學生認為這里的“0.5拃”就是相當于圖中的半小格（與此相對應的，他們可能也會把“1小格”代表為考試成績中的“1分”），并與此直接無縫對接。這種現象，教學中理當引起教師的高度重視，看似不符合常理，實際上就是學生認識中真實的存在。

③如果下面的長方形表示1元，你能表示0.3元嗎？（回答的統計結果見表6）

統計這一題一共出現了4種不同的結果，每個結果都占到了四分之一左右，緣由在哪里？我們暫且不去看正確的結果（占調查學生人數的32%），先關注一下不正確中前面的兩個結果：數據很明確地告訴我們，對于學生來講，有相當一部分的學生（占調查學生人數的24%）將其理解成了“零點幾就是表示平均分成幾份”，與我們期待的“平均分成10份后再數出其中的幾份”完全不在一個軌道上面;還有相當一些學生（占調查學生人數的22%）認為“零點幾就是表示有幾份”，至于是不是平均分成了10份，對他們來講似乎并沒有任何關系。這就是學生對于小數的認識完全沒有達到概念的關鍵之所在。

事后，筆者臨時又增加了一題：“這條線段的長度正好是1分米（如圖1），請你表示0.1分米、0.2分米和0.3分米。”讓全班的學生進行了第二次測試。

果然不出所料，統計之后，發現全班50名學生中有18名（占到全班人數的36%）學生是下面的這兩種結果（如圖2）。

山還是那座山。對于相當一部分學生來講，盡管我們千方百計地將小數與十進分數講授了有效的正向聯系，但是他們中仍有不少人對小數的確沒有深入地認識，只是浮于表面接觸的直觀感知，這正是我們需要在課堂上精心準備的地方。

五、教學建議

（1）找準認知起點生長知識。這是一節建構意義的教學內容，必須建立在充分理解的基礎上，僅僅依靠不斷地識記是解決不了問題的。不少教師認為，只要讓學生把教材中的知識點進行多次識記就可以了，所以在很多課堂上，我們都不情愿地看到不少教師反復地帶領學生朗讀：4分米是1米的■，也就是■米，米寫成小數是0.4米。這樣的識記解決不了任何問題。對于教師來講，要基于學生學習的真實起點，弄清楚已經走到了哪里;要充分地暴露學生對小數最原生態的理解，即起點在哪里，然后再精準設計教學;讓他們靜靜地去思考課堂上出現的每個小數，然后帶著問題去討論、交流并碰撞，最終抽象概念的本質。這樣的課堂才真正具有生長性元素。

（2）基于多元表征深化理解。課堂教學中，小數的意義非常抽象，幾何直觀則是最合適的載體之一，可以讓學生經歷一個從具體情境到抽象意義的過程。課堂上，一定要反復通過動手操作，基于本質大膽想象，將小數進行多元表征，逐步抽象、概括，從而深刻理解小數的本質含義。教師可以提供不同的素材，比如線段、長方形、圓等，與學生一起研究，運用多種不同的方法表征所呈現的小數的真正含義。在這樣的表征過程中，透過這些不同具象的圖形，自然能夠抽象出背后真正的本源，即小數與十進分數之間的最本質的勾連。經歷這樣一個完整的學習過程，學生才能夠真正領悟到，小數其實不僅僅是用來讀的，每個小數后面都有著豐富的內涵，這個內涵就是十進分數。同時，在教學過程中，還要不斷地進行變式練習，加強對比，突出十進分數與一般分數的本質區別，借此豐富學生的認知。更重要的是，通過這樣的訓練打破學生的思維定式，“并不是平均分成幾份就是表示零點幾”，也不是“取了幾份就是表示零點幾”，一切都要回到原點，即所提供的分數是不是分母為10。這樣的學習不僅僅學習到了知識，而且數學核心素養自然得到了充分的體現。

（3）特殊的小數要引起重視。一些特殊的小數如0.5等，要引起我們每位教師的高度重視。學生的理解與我們教師的固有思維之間有出入，這里一定要通過對比強調“是10份中的5份，而非半份”。我們可以多重對比，比如0.5分米、0.5元、0.5千克等，讓學生自己發現問題之所在，實際上這也是生活與數學之間的一個交集。出現這樣的問題不必慌張，源頭找到了，剩下的就是讓學生將自己真實的想法表達出來，表達的過程也就是一個更好的消化與吸收知識的過程。能消化、善吸收，加以教師的適時點撥，知識的建構也就不成問題了。

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