芻議問題引導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計理論與實踐

周祝光 張揚

[摘 ?要] 隨著時代的發(fā)展，問題導(dǎo)向的教學(xué)已成為基礎(chǔ)教育新課程提倡的教學(xué)方式之一. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，把某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)思想和方法整合成“關(guān)鍵問題”呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生隨后對其進行積極探索和分析研究. 主要的教學(xué)策略有：生活化處理教材，用主問題激發(fā)學(xué)生興趣，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián);創(chuàng)設(shè)最佳問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與體驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與境遇的關(guān)聯(lián);培養(yǎng)“問題意識”，提高解決問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與問題意識的關(guān)聯(lián).

[關(guān)鍵詞] 問題教學(xué);活動體驗;教學(xué)策略

隨著時代的發(fā)展，問題導(dǎo)向的教學(xué)已成為基礎(chǔ)教育新課程提倡的教學(xué)方式之一，也是新一輪基礎(chǔ)教育課程改革中關(guān)注的熱點. 問題導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)近幾年來在全國各地均已開展了大量的理論、實踐研究，提倡運用問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識.

教學(xué)是教師的教和學(xué)生的學(xué)所組成的人才培養(yǎng)活動，這種活動是由一個個功能不同、相互聯(lián)系、前后銜接的環(huán)節(jié)構(gòu)成的. 為實現(xiàn)人才培養(yǎng)的目標，在教學(xué)活動中需采取一定的行為方式與教學(xué)策略幫助學(xué)生結(jié)果性目標與體驗性目標的有效達成.

生活化處理教材，用問題激發(fā)學(xué)生興趣，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)

新課程標準的數(shù)學(xué)教材已經(jīng)在問題的設(shè)置上有較好的體現(xiàn)，但教師仍需具有創(chuàng)新的意識與行為，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中結(jié)合學(xué)生的認知水平能動處理教材內(nèi)容，對教學(xué)內(nèi)容實施生活化處理，可以對教材進行再次修改，利用增補、刪減、調(diào)節(jié)重新聚合出主問題. 這樣設(shè)計的問題和學(xué)生個人生活緊密關(guān)聯(lián)，可以提高學(xué)生的積極性，激發(fā)他們的獨立思考，利用對主問題的探索和解決，鍛煉思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)造性，通過反思、歸納生成新的知識和方法，提高運用知識解決問題的能力.

如“橢圓及其標準方程”（下稱橢圓）中的主問題可定為“分享生活中的圓錐曲線，探究用代數(shù)語言描述橢圓”.

設(shè)計分析：本節(jié)課是“圓錐曲線與方程”的第一節(jié)課，學(xué)生通過對圓的學(xué)習(xí)和分析，對怎樣分析平面曲線具有相應(yīng)的緘默知識. 同時具備對橢圓的認知源自現(xiàn)實生活經(jīng)驗，學(xué)生從現(xiàn)實生活中了解得到橢圓圖形，對橢圓對稱性和圓扁情況產(chǎn)生大致的模糊了解，且可以依照直觀感知，刻畫橢圓草圖. 但還無法使用數(shù)學(xué)眼光去了解橢圓，對橢圓的基本特征還無法得知，也就無法使用精準的數(shù)學(xué)語言刻畫橢圓. 這個主問題的設(shè)計源于學(xué)生實際和教材，又能激發(fā)學(xué)生的興趣，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).

探究策略：本課在探究和解決主問題時，使用逐層遞進的方式，主要從學(xué)生了解現(xiàn)實中的橢圓圖片著手，主要課程基于怎樣“描述橢圓”的問題進行. 因此課堂教學(xué)被劃分成三個部分，第一部分是：畫圖形——正確刻畫圖形.此部分還被劃分成三步，第一步，讓學(xué)生描繪出內(nèi)心中的橢圓，且暢談對橢圓的大致了解. 第二步，教師準備合適的工具，正確作圖形——形象化了解橢圓，依照學(xué)生自身刻畫得到的橢圓，尋找橢圓上的點具備的幾何屬性. 第三步，學(xué)生三畫橢圓，修改、健全之前得到的結(jié)果. 第二部分：確定概念——定性敘述橢圓. 依照上述得到的結(jié)果，使用規(guī)范、簡單的文字語言來敘述橢圓，此外修正、充實學(xué)生的緘默知識. 第三部分：尋求方程——定量代表橢圓. 依照上述得到的橢圓概念，讓學(xué)生挑選合適的平面直角坐標系，尋求橢圓的標準方程，定量表述橢圓. 從而達到了從不同角度，多種層次解決描述橢圓的問題，最后反思解決主問題的過程，歸納總結(jié)生成高中數(shù)學(xué)解析幾何研究曲線方程的認知程序、操作方法、思維模式，同時也提高了學(xué)生解決問題的能力.

優(yōu)化問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與體驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與境遇的關(guān)聯(lián)

問題的科學(xué)呈現(xiàn)、最優(yōu)化與最佳情境的建設(shè)，都是要把學(xué)生引導(dǎo)進入和問題有關(guān)的情境中，最終激發(fā)、提高學(xué)生的創(chuàng)新水平，營造良好的內(nèi)部問題情境. 所以，教學(xué)中要技巧性地改善問題的呈現(xiàn)模式，建設(shè)最合理的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生有更多的機會主動參與到教學(xué)中去，多角度聯(lián)想、思考、探究、體驗，利用看、想、聽、說、做等形式，讓學(xué)習(xí)過程行為化，營造出敢于學(xué)習(xí)、敢于嘗試、敢于探索的積極環(huán)境. 由此提升學(xué)生使用知識處理現(xiàn)實問題的能力，提高他們的創(chuàng)新水平和自我探究水平，高效完成教學(xué)目標.

如“雙曲線及其標準方程”（下稱雙曲線）中可構(gòu)建“回顧橢圓的研究過程，探究雙曲線定義與標準方程”的問題情境.

設(shè)計研究：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)橢圓的前提下，全面分析、學(xué)習(xí)雙曲線的概念、方程與幾何屬性，類比橢圓的學(xué)習(xí)方式和思維模式研究，但過程中也有雙曲線的特征和難度.此外，學(xué)生對如何研究平面曲線有了一定的緘默知識，但對生活中的雙曲線的現(xiàn)實模型和動態(tài)的雙曲線的軌跡的印象很少，最近發(fā)展區(qū)只能依托反比例函數(shù)的圖像，和類比橢圓那樣研究和學(xué)習(xí)雙曲線. 所以本節(jié)課的重難點是探究雙曲線定義的產(chǎn)生、發(fā)展和歸納的過程，進一步再推導(dǎo)雙曲線的標準方程.

探究策略：本課在問題情境的創(chuàng)設(shè)中，首先讓學(xué)生聽一段難得的數(shù)學(xué)歌曲《悲傷雙曲線》. 開篇就給學(xué)生帶來認知沖突和學(xué)習(xí)欲望，營造良好的學(xué)習(xí)情景.不失時機地進行問題情境再優(yōu)化，“回顧橢圓的研究過程，探究雙曲線定義與標準方程”. 課程中，首先展示和介紹由教師和學(xué)生共同收集的雙曲線圖片，喚醒學(xué)生的雙曲線現(xiàn)實模型的模糊記憶;然后，回顧雙曲線的研究歷史，學(xué)生試著用拉鏈拉雙曲線，并嘗試畫出雙曲線，展示和交流畫法與成果;接著由師生共同展示和完成拉鏈拉雙曲線的方法，但學(xué)生可能仍然無法得到雙曲線上的點所滿足的幾何條件，教師再通過幾何畫板模擬拉鏈拉動的過程，準確形象直觀地展現(xiàn)雙曲線的畫法，并能直觀感知到雙曲線上的每一個點的軌跡特點，這樣有利于學(xué)生深刻理解和領(lǐng)會雙曲線定義的產(chǎn)生發(fā)展過程，從而歸納出雙曲線的幾何特征和定義.

接下來，學(xué)生類比推導(dǎo)橢圓方程的活動經(jīng)驗、探究方法和研究程序，推導(dǎo)雙曲線的標準方程. 同時設(shè)計的另一個重點應(yīng)放在類比橢圓與雙曲線標準方程的特征和類比反比例函數(shù)圖像與雙曲線圖像特征，既有利于舊知識的回憶鞏固，又能與新知識有比較，印象更深刻，學(xué)生從相互的聯(lián)系與區(qū)別中認識到事物的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化.

培養(yǎng)“問題意識”，提高解決問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)與問題意識的關(guān)聯(lián)

“問題意識”表示某個人基于認知對象時形成的環(huán)境、困擾、分析的心理意識. 問題是思維產(chǎn)生的結(jié)果，還是發(fā)展動力以及創(chuàng)新根源，敢于提問、善用提問在一定程度上影響學(xué)生是否具備創(chuàng)造性理念與創(chuàng)造能力. 勇敢提出問題、處理問題就是善于研究問題與處理問題的基礎(chǔ). 首先可以讓學(xué)生“無中生有”“有中生異”“拾級而上”等，讓學(xué)生產(chǎn)生提問的興趣，進而提高問題的質(zhì)量，然后培養(yǎng)學(xué)生“類比提問”“探源提問”“聚合提問”，引導(dǎo)學(xué)生由此及彼、觸類旁通、追根究底、發(fā)散思維等. 依照問題特征類型，培育學(xué)生“問題觀念”的目標是提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的水平，且在教師的指導(dǎo)下尋找處理問題的方式，了解處理問題的渠道，得到處理問題的能力. 要將部分課堂上想要處理的問題與能力（比如審題水平、綜合水平、比較水平、語言概括水平、文字表達水平、獲取信息水平等）內(nèi)化，讓學(xué)生可以靈活運用，付諸實踐.

如“拋物線及其標準方程”（下稱拋物線）中的探究問題定為“探究平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡，探究曲線方程”.

設(shè)計分析：本課是在學(xué)習(xí)了圓、橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)上探求拋物線的方程，學(xué)生對怎樣研究圓錐曲線已經(jīng)有了明確的知識、方法及程序等，特別是橢圓和雙曲線的第一和第二定義的學(xué)習(xí)與研究經(jīng)驗，讓學(xué)生對“坐標法”研究圓錐曲線的軌跡方程有較為深刻的認識，易類比提出問題“對平面內(nèi)到一個定點的距離與到一條定直線的距離的比為1的點的軌跡是什么”. 但對拋物線的認識還是感性的，沒能上升到理性的高度去認識，沒有深入地研究拋物線的幾何性質(zhì)，所以對“畫出其軌跡”這一問題仍存在障礙，對探究其“標準”方程也存在細節(jié)處的困惑. 認識圓錐曲線的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)和標準方程的內(nèi)在關(guān)系，尤其是尋求一個易于研究拋物線的幾何性質(zhì)的標準方程，也是多數(shù)學(xué)生感到棘手的問題.

探究策略：拋物線是圓錐曲線的最后一種類型，如果再沿用橢圓和雙曲線的教學(xué)模式，就沒有什么新意，學(xué)生會產(chǎn)生認知疲倦感，而學(xué)生的認知水平和研究問題的能力隨著前面兩種圓錐曲線的學(xué)習(xí)明顯有較大的提高，所以這樣設(shè)置也不符合學(xué)生的認知規(guī)律. 因此，在對到一個定點F的距離和定直線l的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當0<e<1時是橢圓，當e>1時是雙曲線，學(xué)生自然會產(chǎn)生疑問：當e=1時軌跡是什么呢？它的方程又是什么形式呢？探求方程的過程又是怎樣的？能不能像描述橢圓和雙曲線那樣的過程進行描述？對這一連串的問題，學(xué)生自己能夠感知甚至主動提出. 于是設(shè)計時采用欲擒故縱的方式，先讓學(xué)生帶著自己的問題探求平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡方程，由于學(xué)生建立的坐標系不同，得到的曲線的方程也有區(qū)別，學(xué)生頓時產(chǎn)生了疑惑，迫切想找到這種區(qū)別的根本原因所在，從而學(xué)生可以建構(gòu)出拋物線的定義，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)美學(xué)的角度去分析如何建立坐標系能使曲線更對稱、方程更簡單，調(diào)動學(xué)生更主動地去領(lǐng)悟方法，總結(jié)歸納出拋物線的標準方程.

數(shù)學(xué)新課程標準提出，教學(xué)目標不能只停留在“教過”或“教懂”“教會”的層面上，而要實現(xiàn)“會學(xué)”“會用”的第二次飛躍，這才是教學(xué)的最終目的. 因此，在全面發(fā)掘教材之后，教師應(yīng)尋找合適的解決角度、方式，進一步優(yōu)化問題的綜合性、研究性，設(shè)計與之相關(guān)的探究性、開放性問題，幫助學(xué)生從多個角度分析問題，以此加深體驗. 利用設(shè)疑、釋疑、比較、類比等方式進行獨立探索或合作討論交流等尋找問題解決的辦法，呈現(xiàn)不同的解決辦法、方式和結(jié)果，在不同的解決層次的交鋒碰撞下，歸納和掌握新的知識與方法，獲得不同的情感體驗，提高綜合能力.

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