一道二次根式比較大小問題的解法探究與推廣

陽曉慧 白雪峰

[摘? 要] 文章針對一道二次根式比較大小的問題展開解法探究，基于問題深度解析，給出多種解題思路和具體方法;基于題后回顧反思，點評解法，指出學(xué)生思維障礙點，提出初中數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)和解題教學(xué)具體建議;基于總結(jié)與拓展，闡明一題多解、解法比較、解法優(yōu)化以及拓展思考等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的育人價值.

[關(guān)鍵詞] 二次根式;比較大小;一題多解

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，比較兩個實數(shù)的大小是一類典型問題，涉及的知識點多、思路面廣、方法靈活，內(nèi)容可以涵蓋整式、分式和二次根式等. 而比較兩個二次根式大小的方法多達(dá)十余種，且是二次根式學(xué)習(xí)中的一個難點[1]. 學(xué)生除了需要掌握二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則外，還要根據(jù)問題中具體二次根式的結(jié)構(gòu)特征，多角度地探索思考，靈活選用不同的思維方法進(jìn)行解題[2]. 因此，學(xué)生在遇到這類問題時，常常感到困難而無從下手. 下面筆者就以北京市朝陽區(qū)八年級下冊數(shù)學(xué)目標(biāo)檢測中的一道綜合實踐問題為例展開解法探究.

問題與解析

問題解析 這是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“二次根式”一章后，在綜合實踐活動中給出的一道比較兩個實數(shù)大小的問題，要求學(xué)生進(jìn)行多種解法的探究. 事實上，比較兩個實數(shù)大小的方法是明確的，主要包括作差和作商等基本方法;解題步驟是清晰的，具體包括作差（商），變形，與0（或1）比較，進(jìn)而得出結(jié)論. 但是，由于本題中所給兩個實數(shù)的形式相對來說較為復(fù)雜，所以解決本題的難點在于需要反復(fù)利用作差（或商）比較法，或者利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法，將原數(shù)轉(zhuǎn)化為較為容易比較的兩個數(shù). 這種方法的活用與轉(zhuǎn)化的思想常常是學(xué)生想不到的.

思路與解法

這個問題對于多數(shù)學(xué)生來說是很具有挑戰(zhàn)性的. 通過教師的持續(xù)鼓勵與小組的合作學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生在解法探究過程中表現(xiàn)積極，思維活躍，敢于提出不同的思路，堅持進(jìn)行各種嘗試. 在獲得多種解法的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維品質(zhì)和解題能力均得到了鍛煉與提升.

方法1：作差比較法

思路分析 作差比較法是最基本也是最核心的方法.在初一下冊“不等式”一章的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生已經(jīng)初步接觸該方法，其具體步驟是兩數(shù)作差、變形，再與0比較大小.

方法2：作商比較法

思路分析 對于兩個正數(shù)而言，作商比較法也是一種最基本、最核心的方法.借助正數(shù)的特性，通過作商法與1進(jìn)行比較，來判斷兩數(shù)的大小.第一次作商以后，將分子中的四個數(shù)分成兩組，分別比較它們與1的大小，從而達(dá)到比較分子與2的大小的目的.

題后反思 作商法比較大小，思路雖簡單，但操作起來并不容易.其難點在于分母有理化后，所得分式的分子是含有四項的式子. 四個數(shù)的加減法直接用平方法去根號操作起來比較困難. 這里需要學(xué)生認(rèn)真觀察并合理分組，在每組數(shù)中比較與1的大小，利用轉(zhuǎn)化和化歸的思想化繁為簡，獲得答案. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意使用作商比較法的基本條件.

方法3：直接平方法

思路分析 直接平方法是比較無理數(shù)大小時常用的方法，是將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，將兩個數(shù)進(jìn)行“同化”的有效手段. 在實際操作時往往需要先平方，再作差與0比較大小，從而達(dá)到比較兩個數(shù)的大小的目的.筆者在這里先平方，然后作差，再平方，最后作差比較大小（中間有一個估算放縮的過程）.

題后反思 在本解法中，學(xué)生本能性地會直接平方，但很快發(fā)現(xiàn)平方后的兩數(shù)依然無法比較大小，從而陷入困境，有些學(xué)生就此放棄了平方這條路.本解法的關(guān)鍵在于要處理好“二次作差”的環(huán)節(jié)，在教學(xué)實踐中，教師要善于鼓勵學(xué)生“不妨再算一次”，培養(yǎng)學(xué)生堅持不懈、勇于挑戰(zhàn)的品質(zhì).

方法4：取倒數(shù)比較法

思路分析 兩個正數(shù)比較大小，可以先比較其倒數(shù)的大小，從而得到原數(shù)的大小關(guān)系.倒數(shù)大的反而小，倒數(shù)小的反而大.

方法5：化為值相等的式子

思路分析 借助本題中兩數(shù)都是正數(shù)這一特性，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩組被開方數(shù)的數(shù)字之間都相差2，據(jù)此可以構(gòu)造兩個乘式，通過比較兩個乘式中一對因數(shù)的大小，得到另一對因數(shù)的大小關(guān)系.

題后反思 當(dāng)觀察到數(shù)字具有一定的規(guī)律或者共性時，通過構(gòu)造新數(shù)，往往可以起到“化腐朽為神奇”的效果.因此，仔細(xì)觀察、歸納特征、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是產(chǎn)生聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)解題思路的不二法門.

方法6：構(gòu)造新數(shù)比較法

思路分析 根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，等式（或不等式）左右兩邊同時乘一個正數(shù)，結(jié)果（或方向）不變.利用正數(shù)的這一特性，可以通過兩數(shù)同時乘以某個正數(shù)，或者兩數(shù)同時加上某個正數(shù)再平方，將問題轉(zhuǎn)化為比較新數(shù)的大小，進(jìn)而得到原數(shù)的大小關(guān)系.筆者在這里提供幾種構(gòu)造新數(shù)的方法.

題后反思 同樣是利用原數(shù)的非負(fù)性以及所加數(shù)的非負(fù)性，并通過巧妙的變形來實現(xiàn)比較大小的目的.需要注意的是，如果原數(shù)不是非負(fù)數(shù)，此種方法也就不可行了.

總結(jié)與拓展

數(shù)學(xué)研究往往聚焦于研究對象之間的共性和差異性，根據(jù)事物間的共性尋找規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律產(chǎn)生聯(lián)想，提煉解決問題的方法，并用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)該方法. 因此，我們不能止步于此，還要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考能否將問題進(jìn)行推廣，形成更一般化的解題方法.

（一）探尋問題的一般化推廣

由特殊到一般的推廣，對于開闊解題思路、增強(qiáng)符號意識、提高數(shù)學(xué)的抽象推理和語言表達(dá)能力具有十分重要的意義. 對此，筆者給出上述問題的兩種推廣方式：

事實上，上述其他解法也都可以用于證明推廣2的問題. 由此可見，從特殊到一般、由具體到抽象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條必經(jīng)之路. 針對一個具體的問題尋找一般性的解決方法，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益.

（二）探尋問題的直觀化解釋

眾所周知，數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體，往往數(shù)不離形，形不離數(shù)，數(shù)和形相互依存，你中有我，我中有你. 因此，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的基本思想方法，也貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 下面，筆者給出原問題的兩種幾何直觀解釋.

事實上，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入以及數(shù)學(xué)知識的逐漸豐富，學(xué)生今后還可以從函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的角度來看待和解決這道題. 彼時，此類問題的解題思路會更加開闊，學(xué)生對問題本質(zhì)的理解也會更加深刻.

數(shù)學(xué)題目種類繁多，千變?nèi)f化. 師生如何從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來？如何通過探究一道題，打通一類題？如何通過一個好問題，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？相信，這道比較大小的“小問題”，一定會帶給同行更多的啟發(fā). 總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要注重設(shè)計具有一定挑戰(zhàn)性的任務(wù)，善于通過小組合作與問題解決的方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題、探究思路、執(zhí)行解法、回顧反思，也要基于深度實踐和充分交流，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉蘊(yùn)含在問題解決過程中的基本思想方法和基本活動經(jīng)驗. 長此以往，學(xué)生必然會在不斷地觀察、分析、猜想、探索、求解或證明等一系列研究活動中提升解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

參考文獻(xiàn)：

[1] 侯國興. 比較二次根式大小的若干方法[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003（S2）.

[2] 趙冬梅. 怎樣比較二次根式的大小[J]. 語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2021（01）.

[3] 白雪峰，張彥伶. 經(jīng)典問題演變拓展，推理素養(yǎng)落地生根——以一道常見幾何問題的溯源拓展為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（08）.

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