關于勾股定理與網格圖形的問題探究

朱繼娜

[摘? 要] 勾股定理在網格問題中有著廣泛的應用，可用于線段及距離的推導，也可用于圖形設計及點的位置確定. 網格與勾股定理問題的形式較為多樣，問題突破要充分利用勾股定理的特征，建立起格點、距離或線段、圖形形狀三者之間的關聯.

[關鍵詞] 勾股定理;網格;三角函數;形狀判斷;作圖設計

網格問題因其獨特的形式一直都是中考的常考題型，網格所具有的幾何特性及長度信息是問題突破的關鍵. 勾股定理作為中學數學極為重要的定理，可與網格完美融合. 網格與勾股定理問題不僅有著新穎的外表，而且其隱含的建模方法和轉化策略還具有極高的研究價值.

問題導入

問題：如圖1所示，已知網格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點位于格點處，且CD⊥AB，垂足為點D，則CD=__________.

總結拓展

上述以網格為背景求線段長，其中勾股定理是求線段長的核心定理，故可將其歸為網格圖形與勾股定理問題. 網格特性是突破的關鍵，下面總結方法，探索問題的拓展方向.

方法點睛：對于其中的線段或距離問題，需要充分結合網格性質與長度關系，參考上述問題的構建思路，總結如下轉化策略.

策略1：求網格圖中的斜線段，若線段端點均在格點上，則可視為是某直角三角形的斜邊，可通過勾股定理求斜線段的長. 如圖3中的斜線段AB，可直接構造Rt△ABC.

問題拓展：網格與勾股定理是中考的重點考查內容，問題的構建形式極為多樣，常見形式有如下幾種：①把握三角函數與直角三角形的關系，求網格中的三角函數值;②基于勾股定理與作圖方法，開展構圖設計;③基于勾股定理的逆定理，進行三角形形狀判斷或角度推導.

拓展探究

網格與勾股定理具有良好的契合性，問題形式雖變化繁多，但其核心知識、破題方法是一致的，實際解題時可把握網格特性，從勾股定理出發來逐步推導，下面舉例探究.

1. 網格中求三角函數值

初中階段常將三角函數放置于直角三角形中，利用三角形的邊長比例來求三角函數值. 對于網格中的線段長，則可利用勾股定理來求解.

例1 如圖4所示，已知網格中所有小正方形的邊長均為1，點A，B，C均位于網格的格點處，則∠ABC的余弦值為____.

評析 本題以網格為背景求角的余弦值，顯然構造直角三角形是解題的關鍵，而利用勾股定理求線段長是重要的方法. 題目中角的頂點在格點處，故可直接構造直角三角形求解. 對于不處于格點處的角，則可以采用等角轉化的方式求解. 同時等面積法也是求線段長的重要方法，需重點掌握.

2. 網格中的作圖設計

在網格中作圖設計是初中幾何常見的考查方式，也是量化圖形的重要手段，有利于幫助學生建立幾何與代數之間的關聯. 作圖設計中同樣可充分利用勾股定理來計算線段長，建立線段之間的平行、垂直關系.

例2 ？搖如圖5所示，正方形網格的每個小正方形的邊長均為1，且每個小正方形的頂點均為“格點”，下面以格點為頂點分別按要求作圖.

（1）作出鈍角三角形，且使其面積為4，并計算作出的三角形的三邊長;

（2）作出面積為10的正方形;

評析 上述為網格作圖題，其中第（1）問和第（2）問為限定面積條件下的繪制圖形. 由于圖形的頂點需位于格點處，故由面積公式將幾何面積條件轉化為格點間距是突破的關鍵，而勾股定理有助于格點間斜直線的長度推導.

3. 網格中圖形特征判斷

網格三角形的特征判斷是常見的問題類型，利用勾股定理的逆定理可以推斷三角形是否為直角三角形. 基本策略是依次計算邊長的平方，分析是否滿足勾股定理即可，同時利用該判定思路可確定三角形是否為銳角或鈍角三角形.

例3 如圖9所示，在8×6的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長均為1，且△ABC的頂點均位于網格的格點上，回答下列問題.

評析 上述第（1）問為三角形形狀判斷題，其考查的核心是勾股定理的逆定理，滿足該定理的三角形就為直角三角形. 實際上對于其他情形的判斷，可參考如下思路：第一步，確定最長邊;第二步，關系比較. 假設BC為最長邊，若AB2+AC2<BC2，則△ABC為鈍角三角形;若AB2+AC2>BC2，則△ABC為銳角三角形.

總結思考

勾股定理與網格在幾何中可充分融合，這點在正方形網格中體現得尤為突出，利用勾股定理可求線段長、確定圖形格點位置、判斷三角形的形狀等. 在解題探究時，我們需要關注以下兩點.

1. 關注轉化策略，總結轉化思路

網格與勾股定理問題的命題形式較為多樣，但最終均要歸結為求線段長與距離，故解析探究時需要關注其轉化策略，總結轉化思路. 如利用勾股定理求斜格點之間的距離，通過計算三邊長是否滿足勾股定理來判斷三角形的形狀;同時利用勾股定理可實現線段的等量轉化，判斷線段之間的長度關系. 而在實際教學中，教師要引導學生從幾何視角來看待網格，提取網格中的特殊圖形，建立圖形特性與幾何定理之間的關聯.

2. 關注數學思想，提升綜合素養

網格與勾股定理問題中涉及眾多的思想方法，掌握思想方法，提升作圖能力對于解題十分關鍵. 如利用割補思想來求面積最值，利用轉化思想來求線段長，利用建模技巧來繪制圖形等，其中的建模思想、轉化思想可培養學生的數學思維. 教學中，教師要從思想上引導學生探索問題，思考構建策略，尤其是作圖問題中，可基于面積公式將面積轉化為線段長，利用勾股定理將邊長轉化為格點位置的判斷. 必要時，教師可開展多解研究或變式探究，充分拓展學生的思維，提升學生的數學素養.

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