步步為營探究，“退”“進”結合突破

孫仕英

[摘? 要] 遞進式幾何探究題在中考中十分常見，過程解析要利用類比探究的方法，同時合理運用“步步為營，以退為進”的策略，穩步分析，全面總結，“退”“進”有度，合理參考引用. 文章深入分析問題，并結合實例加以探究，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 幾何;探究;遞進;類比;模型

遞進式探究是幾何常見的考查方式，常作為壓軸題在中考中出現. 把握問題特點，掌握解法策略，親歷解題過程，自主解題感悟，既是解題探究的要求，也是素質提升的重要途徑，下面具體分析.

問題分析與解法探究

遞進式幾何探究題往往以層層遞進的方式來呈現問題，涉及探索發現、類比探究、解決問題等環節，解析過程大多需要經歷模型建立、模型探究和模型應用三個階段. 遞進式幾何探究題往往具有小落點、深分析的特點，問題解法前后關聯，融合了從特殊到一般的思想方法，能夠引導學生掌握數學探究的方法，提升學生的綜合能力.

解決此類探究題，需要掌握一定的技巧. 問題的圖形往往較為復雜，讀圖、識圖是解題過程中的重要環節，可以其中的基本圖形作為突破口，觀察問題圖形中是否含有基本圖形或模型，以基本圖形的性質結論作為探究起點. 另外，問題常以遞進設問、類比構造的方式呈現，特別注重構造全等或相似三角形以及引出輔助圓等. 問題解析建議采用“步步為營，以退為進”的策略，即遞進式幾何探究題一般分設三小問，解析時要深刻理解每一問的信息條件，總結問題解法，后續分析沒有思路時，可退回上一問，總結解題要點，這也是該類問題探究引導的特點所在.

實例解讀與評析總結

遞進式幾何探究題的類型眾多，關注解析過程，感悟解題方法是探究的重點，下面對一道實例加以探究.

問題：在△ABC中，已知CA=CB，∠ACB=α. 點P是平面內的任意一點（與點A和C均不重合）. 連接AP，將線段AP繞著點P逆時針旋轉α，可得線段DP，再連接AD，BD，CP.

分析：本題是以三角形為背景的幾何探究題，主要探究不同情形下線段比值、兩線夾角等. 首先需要理解圖形結構，△ABC是以點C為頂點的等腰三角形，而點P是三角形內的動點，由旋轉過程可知∠APD=∠ACB=α，且△APD是以點P為頂點的等腰三角形. 顯然圖形中存在一組相似三角形△ACB∽△APD，后續探究可充分利用相似特性.

過程探究：（1）該問設定α=60°，顯然△ABC和△APD均為等邊三角形，求BD與CP的線段比值以及兩線相交所成較小角的度數. 可將其放置于對應三角形中，采用“補形—性質分析”的思路.

求直線BD與CP所成較小角的度數，就是求∠BEO的大小. 根據上述全等性質可得∠ACP=∠ABD，又知∠AOC=∠BOE，則可推得∠BEO=∠CAO=60°，即直線BD與CP所成的較小角的度數為60°.

思路總結：求問題中的線段比值和所成角的大小，可充分利用問題中的全等或相似關系，提取其中的等角關系，進而推導角度大小.

（2）該問直接設定α=90°，則△ABC和△APD均為等腰直角三角形，可設BD交AC于點O，BD交PC于點E，如圖5所示.

評析總結：上述探究幾何圖形中的線段比值以及所成角的大小，主要有三大特點，一是依托幾何旋轉構建了兩個相似三角形，并可視為是旋轉縮放關系;二是采用遞進設問的方式，由60°角形成的等邊三角形，遞進到90°角形成的等腰直角三角形，再遞進到形成共線、平行等特殊情形.

解后思考與教學建議

遞進式幾何探究題兼具綜合性與探究性，實際教學中教師要指導學生掌握解題方法，培養良好的解題習慣，提升學生的綜合素養. 下面筆者提出幾點教學建議.

1. 關注圖形變換，強化作圖能力

遞進式幾何探究題的結構可概括為“核心框架突出”與“圖形靈活變換”相結合，即問題主干不變，適度進行圖形變換，如點動、翻折、平移等，故讀圖審題十分重要，也是解題的關鍵一步. 這就要求學生具備扎實的作圖功底，能夠深刻理解條件精髓，準確作圖. 幾何教學中，教師需要培養學生的語言轉化能力，引導學生掌握幾何語言與文字語言的對應關系，靈活轉換;同時總結幾何關系的構建方式，包括作垂線、平行線、角平分線等，強化學生的作圖能力.

2. 學習類比探究，感悟“向上看”的策略

類比探究是突破遞進式幾何探究題的核心方法，解題時建議配合使用“步步為營，以退為進”的策略，簡單來說就是多總結、向上看，即完成第一問的解析后，注意對其加以總結，后續解析出現思維障礙時，可參照上一問的思路進行模型、方法、思路的遷移. 教學中可精選典型問題，從問題圖形、核心條件、知識考點、方法思路等角度加以分析，引導學生掌握類比探究的方法.

3. 滲透思想方法，注重學科素養的提升

類比探究中隱含了類比思想，其中的思想核心是教學的重點，對于學生的素養提升極為重要. 因此，教學遞進式幾何探究題要注重思想方法的講解，合理滲透類比思想，讓學生感悟其中的思想內涵，掌握類比探究的技巧. 同時，解題過程還涉及模型思想、數形結合、分類討論等，教學時可將思想方法進行綜合，基于數學思想構建解題思路. 以思想方法的教學為核心，發展學生的數學思維，全面提升學生的學科素養.

3269501908255