關注變換方法，解題應用探究

吳淑玲

[摘? 要] 圖形變換法在幾何問題中有著廣泛的應用，通過圖形變換可將分散條件聚集，串聯條件構建思路. 圖形變換法往往與幾何模型結合緊密，變換后所構模型的特性是破題的關鍵. 文章深入探索圖形變換法，舉例應用并開展教學反思，提出相應的建議.

[關鍵詞] 變換法;平移;旋轉;翻折;思想方法

方法綜述

對于條件較為分散的幾何問題，可通過合理變換圖形來聚集圖形特征，串聯問題條件，從而挖掘問題本質，獲得突破的切入點. 圖形變換包括平移、旋轉、翻折等全等變換，而相似變換也可視為是一種圖形變換. 下面結合一道例題來具體講解.

問題：如圖1所示的△ABC中，點D，E，F分別為BC，AC和AB的中點，試證明以△ABC三條中線所構的三角形的面積為△ABC面積的.

分析 △ABC的三條中線較為分散，利用AD，EB和FC三條中線來構建三角形，顯然需要通過圖形變換將三者集中在同一三角形中. 下面固定中線FC，通過平移AD和BE來構造三角形.

評析 上述證明三角形中線所構三角形與原三角形的面積關系，問題解析充分利用了平移變換的方法，是從變化、運動觀點處理孤立條件的一種思想方法. 該方法將分散的線段拼接在一起，形成相關聯的圖形. 其基本思路是首先平移變換，構造圖形，再結合特性證明. 其中利用了“倍長中線”的特性，形成了平行四邊形.

應用探究

圖形變換法在幾何問題中有著廣泛的應用，是串聯條件的重要方式. 平移、旋轉、翻折，實則是全等變換、相似變換的過程，在該過程中會產生相應的幾何模型，如“半角”模型、“一線三等角”模型、“手拉手”模型、“中點”模型等，合理利用模型結論可極大地提升解題效率.

圖形變換法一：平移變換

平移后圖形的位置關系更為集中，可形成基本圖形. 問題解析要關注兩點：一是確定平移的方向和距離;二是關注平移后的模型特征.

例1 如圖3所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，點M是BC上的點，且MB=AC，點N是邊AC上的點，且AN=MC. 設AM和BN的交點為P，試證明∠BPM=45°.

解析 本題求證∠BPM=45°，圖像中存在兩組等線段條件，但不易構建與角度的關系，需要將其聚焦在一起，故平移變換是解題的核心方法.

如圖3所示，將線段MB平移至AG處，構造平行四邊形BMAG，再連接GN，與AM的交點設為H. 則圖中存在“一線三等角”模型（陰影部分），由模型特點可得Rt△ACM≌Rt△GAN，由全等特性可得GN=AM=GB，可推知∠BGN=∠PHN=90°，所以△BGN為等腰直角三角形，故∠BPM=∠GBN=45°.

圖形變換法二：旋轉變換

旋轉變換通常有兩種構建策略：一是旋轉全等，即使得旋轉后的圖形與原圖形為全等關系;二是旋轉相似，即旋轉后的圖形與原圖形為相似關系，也可視為是“旋轉+放縮”兩個過程的結合.

例2 如圖5所示，四邊形ABCD為正方形，點P是正方形ABCD外的一點，已知PA=3，PB=4，試求PC的最大值.

解析 該問題求線段PC的最大值，涉及了幾何動點，而與點P相關的線段PA和PB為定值，顯然限制了點P的移動，問題解析需要串聯點P與正方形特性，故可考慮使用幾何旋轉法.

圖形變換法三：翻折變換

利用翻折同樣可以實現幾何條件的轉換. 利用翻折作輔助線解題時，不能簡單地說是圖形翻折得到圖形，而應從軸對稱視角來分析. 該方法適用于涉及角平分線、等角或半角的問題，同時該方法常與“將軍飲馬模型”配合使用求線段最值.

例3 如圖7所示，線段AC和BD位于AB的同側，已知AC=2，BD=AB=8，點M是AB的中點，如果∠CMD=120°，則CD的最大值為______.

解析 本題求CD的最大值，可通過翻折變換來串聯條件，從構造視角來看是軸對稱變換，具體如下.

作點A關于CM的對稱點A′，作點B關于DM的對稱點B′，連接A′B′，如圖7所示. 可將△A′CM視為是△ACM沿著CM翻折所得，△B′DM視為是△BDM沿著DM翻折所得. 由于∠CMD=120°，可證∠A′MB′=∠CMD-（∠CMA′+∠DMB′）=60°. 由于點M是AB的中點，故AM=BM=4，進而可知A′M=B′M=4，從而可證△A′MB′為等邊三角形. 由三角形的三邊關系可得CD≤CA′+A′B′+B′D=14，所以CD的最大值為14.

評析 上述利用名義上的翻折來作輔助線，即作點關于線段的對稱點，形成對稱圖形，將線段條件串聯. 翻折變換與平移、旋轉變換法的構建策略一致，均是在保留原有圖形的特性基礎上聚集條件，等量轉化思想是方法的本質.

教學建議

圖形變換法是破解幾何問題的重要方法，下面開展教學反思，提出幾點建議.

1. 理解方法內涵，挖掘方法本質

圖形變換是外在表現的動態形式，其中還隱含了數學內涵. 探究教學時建議分兩階段進行：第一階段，開展圖形變換構圖教學，引導學生把握圖形變換的要素，如旋轉變換中的旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度;第二階段，開展圖形變換內涵探究，引導學生從數學原理角度來分析，如翻折變換中的軸對稱變化、旋轉變換中的全等或相似等.

2. 關注變換模型，總結模型特性

圖形變換法解題往往分兩步進行：第一步實施圖形變換，構建特殊模型;第二步，利用模型特性轉化或串聯條件. 在實際教學中建議引導學生總結與圖形變換聯系緊密的圖形，如平移變換與“一線三等角”模型，旋轉變換與“手拉手”模型，翻折變換與“將軍飲馬”模型等. 同時總結模型特性，讓學生掌握模型結論，形成相應的解題策略.

3. 滲透數學思想，提升綜合素養

利用圖形變換法可串聯幾何條件，實現幾何問題的高效求解，而變換法背后隱含的卻是數學的思想方法，如模型思想、等量轉化思想等. 實際教學時建議立足數學思想，開展思路構建，引導學生分析圖形變換的方法技巧，探索轉換條件的思路，同時拓展學生思維，從不同方法和視角來探索問題，促進學生的素養提升.

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