透視解法策略，探究突破思路

王敏敏 張大偉

[摘? 要] 二次函數中的角度存在性問題可從幾何與函數兩大視角突破解法思路，幾何分析時依托角度構建模型，函數分析時關注直線與角度正切值的關系. 文章深入剖析了該類問題的解法策略，并結合實例進行了解法初探和綜合探究，提出了幾點教學建議.

[關鍵詞] 二次函數;角度;存在性;幾何;函數;思想方法

二次函數中的角度存在性問題需要學生重點掌握. 問題常以二次函數為背景，探究角度是否存在，或探究角度存在時某點的坐標. 從問題的本質來看，探究的內容是一致的，均需要在拋物線中構建角度模型. 下面分析幾個方法，探究并構建相應的思路.

方法綜述

二次函數中的角度存在性問題主要分為兩類：一是特殊角存在性問題，如30°，45°，60°，90°等;二是一般角存在性問題. 在實際考查中，特殊角存在性問題最常見，而涉及一般角時則可以通過角度的組合來構造特殊角. 該類問題的解法較特殊，可從幾何或函數的視角來構建思路.

1. 幾何法

幾何法主要是利用特殊角來構造直角三角形，利用直角三角形的特殊比例關系來轉化求解. 如若某問題涉及45°角，則可依托該角構造等腰直角三角形;若出現的是30°角或60°角，則可構造直角三角形，30°角對應的邊是斜邊的一半;若出現的是90°角，則可將直角三角形傾斜放置，構造“一線三垂直”模型，如圖1所示.

2. 函數解析法

函數解析法需要利用直線斜率與角度正切值的關系，即對于直線l，設其與x軸正方向的夾角為θ，則該直線的解析式可表示為y=tanθ·x+m，因此后續探究只需要聯立直線的解析式和拋物線的解析式，直接確定兩者的交點即可.

解法初探

無論是利用幾何法構造含所涉角的直角三角形，還是利用解析法分析直線與曲線的交點，解題時均需有序過程，把握要點. 第一步，讀題審題，理解題意;第二步，把握特征，有序思考;第三步，把握關鍵點，合理作圖;第四步，數形結合，轉化破題. 下面結合一道簡單的例題來探究解題過程.

例1 在平面直角坐標系xOy中，已知點P為拋物線y=x2上的一個動點，若點A的坐標為（4，2），且滿足∠AOP=45°，則點P的坐標為______.

分析 本題探究的是∠AOP=45°時點P的坐標，可按照上述的步驟逐步構建思路.

第一步，讀題審題，理解題意. 本題的核心條件有兩個：一是點A的坐標為（4，2）和拋物線的解析式為y=x2;二是∠AOP=45°.

第二步，把握特征，有序思考. 點A為定點，點P為動點，可知在射線OA上方的拋物線上有滿足條件的點P，即在拋物線上存在點P使得∠AOP=45°.

第三步，把握關鍵點，合理作圖. 求點P的坐標，可充分利用條件∠AOP=45°，將其放置在直角三角形中，以點A為直角頂點構造直角三角形.

第四步，數形結合，轉化破題. 利用直角三角形的性質求解線段長，推導直線OP上其他點的坐標，同時可將所得的結果代入圖形，分析其是否合理，還要結合圖形分析是否存在其他情形.

評析 以二次函數作為背景探究特定角是否存在，涉及了直線旋轉，解析時需要充分利用旋轉的條件推導角度，所呈現的兩種解法各具代表性和優勢. 函數解析法注重直線斜率與角度正切值的關系，利用直線與函數曲線相交來求解點的坐標;幾何模型法則注重幾何模型的構建，利用幾何性質來推導線段的長，進而確定點的坐標. 整體上都采用了“假設—驗證”的思路，順推解析，相悖否定.

總結反思

二次函數中的角度存在性問題具有兩大特征：一是以二次函數為背景，具有函數屬性，利用函數的性質可推導點的坐標，研究最值;二是同幾何圖形相結合，幾何屬性顯著，常依托函數曲線上的關鍵點構建幾何模型，可利用幾何性質求解線段長. 從問題屬性的角度探究解法，可生成函數分析和幾何分析兩大突破思路，下面就此提出兩點教學建議.

建議1：把握問題本質，總結轉化策略. 二次函數中的角度存在性問題的本質是函數曲線與幾何模型的性質和特征的綜合，教學探究時要引導學生關注問題的本質、屬性，掌握常見的轉化策略. 引導學生從幾何視角構建模型，探究角度與邊長的聯系;從函數視角分析直線斜率與角度的關聯，通過曲線與直線相交來定位關鍵點;同時應注重常見模型的歸納和總結，培養模型解題的良好習慣.

建議2：領悟數學思想，構建解析思路. 角度存在性問題的解析過程實則是思想和方法綜合運用的過程，其中隱含了眾多的數學思想：作圖建模隱含了建模思想，條件轉化隱含了化歸與轉化思想，條件討論隱含了分類討論思想……無論是從圖形的角度進行分析，還是從函數的角度進行突破，均隱含了數形結合思想. 實際教學中建議立足數學思想開展問題探討，提升學生解題能力的同時培養學生的核心素養.

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