關(guān)于等積變換法的剖析與應(yīng)用探究

李琳

[摘? 要] 等積變換是轉(zhuǎn)化圖形時常用的一種方法，是基于面積關(guān)系所形成的轉(zhuǎn)化法，可用于解決面積、線段、距離、點(diǎn)位置等相關(guān)問題. 方法探究要從本質(zhì)入手，關(guān)注轉(zhuǎn)化模型，總結(jié)常規(guī)問題的突破思路.

[關(guān)鍵詞] 等積變換;幾何;網(wǎng)格;函數(shù);模型

方法綜述

等積變換是解決幾何問題時常用的思想方法，其基本原理是等底等高、等底同高、同底等高的三角形的面積相等.利用該方法可實(shí)現(xiàn)不同形狀的圖形之間的面積轉(zhuǎn)化，同時可建構(gòu)面積的等量關(guān)系，用于解決面積、線段、距離、點(diǎn)位置等相關(guān)問題. 另外，基于等積變換原理，生成了兩種常見的模型，具體如下.

模型1：等高三角形的面積之比

如果兩個三角形的高相等，那么它們的面積之比等于底邊之比;如果兩個三角形的底邊相等，那么它們的面積之比等于高之比.

模型2：平行線之間等積交換

可對夾在一組平行線之間的三角形進(jìn)行無限的等積變換：若平行線之間的兩個三角形共底，則其面積相等.

應(yīng)用探究

等積變換廣泛應(yīng)用于幾何問題中，常見三種問題形式：一是常規(guī)的幾何綜合類，考查的重點(diǎn)是基本圖形的特性;二是網(wǎng)格圖形類，考查的重點(diǎn)是網(wǎng)格的特性及作圖方法;三是函數(shù)與幾何綜合類，考查的重點(diǎn)是幾何與函數(shù)曲線的綜合. 下面結(jié)合具體問題探究等積變換的運(yùn)用思路.

類型1：等積變換與幾何綜合

幾何綜合類問題常常使用等積變換法，解題思路主要有兩種：一是通過等積變換建構(gòu)關(guān)于幾何面積的方程，形成求解線段長的條件;二是利用等積變換求解一般圖形的面積. 解析時需要關(guān)注圖形的頂點(diǎn)和底邊上的高，利用幾何性質(zhì)分析線段的長或點(diǎn)的距離.

評析 上述問題以函數(shù)曲線為背景，建構(gòu)了三角形的等積問題，從等積的角度來看，實(shí)質(zhì)就是建構(gòu)等積模型，即將相等面積的三角形轉(zhuǎn)化為同底等高的三角形，其中隱含了等積變換. 解析時要充分利用等積變換研究線段的關(guān)系，推導(dǎo)點(diǎn)的坐標(biāo).

總之，等積變換是一種轉(zhuǎn)化圖形面積的重要方法，可有效應(yīng)用于多種幾何問題. 另外，方法探究要關(guān)注兩點(diǎn)：一是方法原理，深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì);二是變換模型，總結(jié)常見的數(shù)學(xué)模型，并靈活應(yīng)用. 解析題目需要充分結(jié)合條件，合理引入模型，巧妙變換.

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