基于模式觀的“等比數列的前n項和”教學設計

鐘志華 唐悅 凌皓嵐

[摘 ?要] 隨著人們對數學認識的不斷深化，“數學是關于模式的科學”這一觀點已經逐漸成為數學界的共識.因此，數學教學設計應該緊緊立足模式的觀點，這不僅有利于深化對數學教學本質的認識，而且有利于構建充分體現數學學科特點的數學教學設計理論.本設計以案例的形式揭示了基于模式觀的數學教學設計一般需要經歷：創設情境，識別特征;解構特征，發現猜想;驗證猜想，建構模式;轉換模式，深度發現;歸納發現，精制模式等過程.

[關鍵詞] 模式觀;數學教學設計;等比數列求和

自20世紀30年代著名哲學家A.N.懷特海提出模式論的數學觀以來，“數學是一門研究模式的科學”這一觀點已經逐漸成為數學界的共識，美國數學家斯蒂恩明確提出，數學是模式的科學.數學就是運用這些模式對于適用的自然現象進行描述、解釋和預言.《義務教育數學課程標準》也指出，數學是關于模式的科學，數學尋求盡可能簡單、普遍適用的模式來解決認識自然、發展社會以及數學自身世界的各種問題[1]. 不僅如此，模式觀在數學教學中也發揮著越來越重要的指導作用.美國著名數學家波利亞從數學問題解決角度對模式觀進行了深入研究，提出了問題解決的一般模式——“解題表”及問題解決的四種基本模式：雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式和疊加模式;而美國數學家斯蒂恩通過研究歸納出了模式的六項重要作用并認為，“基于模式的數學課程”可以整合“注重基本能力”和“問題解決”這兩種學習方式的優點，可以在夯實基礎的同時給學生以高層次思考技巧的挑戰;美國戴爾等人的一項研究也實證：1200名低成就水平中學生在實行了“基于模式的數學課程”后表現水平出現顯著進步，參與教學的32位教師一致認為，這種課程是喚起學生學習興趣最有效的方式[2]. 我國著名數學家徐利治先生和鄭毓信先生則進一步提出，數學教學的一個基本目標就在于幫助學生逐步建立與發展分析模式、應用模式、建構模式與鑒賞模式的能力.

綜上，“數學學習本質上就是建立數學模式的過程”這一觀點不僅已逐漸成為學界共識，而且也在實際教學中得到很好的踐行. 本文嘗試利用模式觀指導“等比數列前n項和”的教學設計.

[?] 教材地位與作用分析

等比數列是繼等差數列之后學習的又一類重要數列，作為一種重要的數學模型，等比數列在高中數學學習中具有非常廣泛的應用，比如許多數列的求和最終都要轉化為等比數列的求和問題;同時，等比數列還為高等數學的學習奠定了重要的知識基礎，如冪級數從本質上可以看作是等比數列的求和問題;另外，等比數列在現實生活中也具有非常廣泛的應用，諸如儲蓄、分期付款等問題研究的就是等比數列模型.

從等比數列求和公式的發現過程看，不僅滲透了類比、從特殊到一般、先猜后證等重要思想方法，而且還用到“錯位相減”這一重要解題方法，這些方法不僅對進一步的數學學習特別是數學問題的求解具有重要指導意義，而且對學生數學素養的形成也具有深遠的影響.

分析依據：從模式觀點看，教材地位分析主要研究新建模式與學生哪些已有模式或后續模式之間有聯系？有何聯系？這不僅為學情分析提供依據，而且為教學目標和教學重難點的確定指明方向，同時還可以為教學方法的選擇和教學過程的設計提供指導. 比如，如果認識到等比數列與等差數列之間具有并列關系，就有可能通過類比等差數列來引入等比數列;而如果以學生學過的特殊等比數列作為出發點，則適宜采用從特殊到一般的研究方法.

[?] 學情分析

學生雖然在此之前剛剛學過等差數列的求和公式，但是由于等比數列求和方法與等差數列之間很難直接通過類比得到，因此，在分析學生認知起點時還需要考慮有沒有其他更為合適的切入點. 考慮到學生之前有特殊等比數列（如公比為2的等比數列）的求和經驗，可以嘗試對學生的原有經驗進行開發并采用從特殊到一般的方法來探索一般等比數列的求和方法. 雖然公比為2的等比數列求和方法無法直接遷移到一般等比數列，但由該方法可以想到要“將等比數列前n項的求和問題轉化為求該數列的第n+1項”，這可以為問題的順利解決指明前進方向.

分析依據：學情分析包括學生學習新知識所具有的知識基礎、學生的思維特點、學習特點、心理特點和生理特點等.知識基礎重在準確把握學習新知識的認知起點，從模式的觀點看，就是要了解學生頭腦中是否真正具有構建新模式的舊模式（固著點）;學習特點主要了解學生通常采用哪些學習方法，這些方法是否適應新知識的學習等，從模式的觀點來看，就是要了解學生是否掌握了建構新模式的方法，如是否掌握了從特殊到一般、歸納與類比等方法;心理特點主要是了解學生是否具有探索并建構新模式的心向（奧蘇貝爾語）.

[?] 教學目標

1. 理解等比數列的求和公式，能運用公式解決簡單的數學問題與實際問題;

2. 經歷等比數列前n項和的探究過程，體會歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等數學思想方法，領會“錯位相減法”的基本原理，能結合等比數列的定義對其他推導方法進行適當探索;

3. 在等比數列求和公式的學習過程中感受模式觀點，在分享歷史上相關研究成果的同時，體會數學文化的博大精深，激發學生學好數學的興趣和積極性.

分析依據：從模式的觀點看，教學目標就是要建立數學模式.但數學模式不是“空中花園”，它需要建立在已有模式基礎上. 因此，在設計教學目標時不僅要根據學生頭腦中的已有模式來探索所能建構的模式（維果斯基將其稱為最近發展區），同時還需對所要建構的數學模式進行任務分析以確定數學模式的建構路徑. 就本節課而言，由于學生過去已有公比為2這一特殊等比數列的求和經驗，只要教師適當加以啟發引導，學生不難從公比為3、4、5…等特殊等比數列求和過程中歸納出等比數列的求和公式與求和方法，因此確定目標2對學生應該是合理的.至于為什么確定目標3，這一方面是為了充分體現普通高中數學課程標準所倡導的“數學建模”這一核心素養;另一方面則考慮到等比數列求和公式的歷史素材比較豐富，對這些素材進行深度開發可以充分體現因材施教的教學原則.

[?] 教學重難點

1. 教學重點：等比數列求和公式的發現及錯位相減法的理解.

2. 教學難點：等比數列求和公式的發現及錯位相減法的析出.

分析依據：美國心理學家約翰·D·布蘭斯福特研究發現，專家的知識不僅僅是對相關領域的事實和公式的羅列，相反它是圍繞核心概念或“大觀點”組織的，這些概念和觀點引導他們去思考自己的領域[3]. 這里的核心概念或大觀點實際上就是人們通常所說的重點知識.由于等比數列求和公式不僅在今后的數學學習中具有非常重要的作用，而且在生產實際中也具有非常廣泛的運用，同時公式的發現過程中涉及歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等諸多數學思想方法（“大觀點”），這些思想方法的運用不僅有助于培養學生的創新能力，而且可以提升學生的數學素養.因此將等比數列求和公式的發現作為教學重點;而之所以將錯位相減法作為教學重點是因為它在許多數列的求和中十分常用.

而將等比數列求和公式的發現及錯位相減法的析出作為教學難點是因為在探索過程中不僅需要對公比為3、4、5…等多個特殊等比數列之和進行觀察、歸納、猜想，而且需要運用歸納與類比、從特殊到一般、先猜后證等諸多數學思想方法，同時還需要教師適時、適度地啟發引導.

[?] 教法與學法

1. 本節課主要采用問題解決教學法.

分析依據：問題解決教學是教師通過創設問題情境，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程.數學課程標準將“問題情境—建構模式—問題解決與反思”作為數學課堂教學活動的基本形式[4]. 而從模式觀點看，就是要讓學生充分經歷“問題情境”“模式解構”“模式建構”“問題解決”“模式精制”“模式應用”等一系列過程來解決問題，同時在解決問題的過程中構建數學模式、掌握科學研究的一般方法、提升數學核心素養. 本節課中無論是公式的發現與證明，還是“錯位相減法”的產生都應該讓學生在充分探索的基礎上自然而然地產生出來，而不應該由教師強加給學生.要實現以上目標，需要教師在精心設計的基礎上由淺入深地構建“問題串”來啟發引導學生去探索、去發現.

2. 本節課的學法主要采用自主探究與合作學習相結合的方式.

[?] 教學過程

1. 創設情境，識別特征

國際象棋起源于古代印度，相傳國王要獎勵國際象棋的發明者，問他想要什么.發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子放上2顆麥粒，第3個格子放上4顆麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子. 請給我足夠麥粒以實現上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.請大家思考一下，這64個格子上到底應放多少粒麥子？

設計意圖：情境創設不僅是為了激發學生學習興趣，而且還要能引發學生的數學思考并進而提出數學問題，同時情境還需要為新知識的學習提供認知起點，并能有效促進新知識的生長. 等比數列求和公式的學習既可以類比等差數列求和公式來引入，也可以借助學生熟悉的生活經驗創設生活化的教學情境. 雖然類比等差數列求和公式時問題的提出比較自然，但由于兩者的推導方法有本質的不同，因此沒有采用;雖然學生對某些生活情境比較熟悉，比如可以從學生熟知的利率、人口增長等問題來引入，但由于這類問題的公比太過復雜，不利于充分暴露等比數列的本質屬性，也不宜采用. 本設計之所以采用大家熟知的“麥粒問題”，一方面是因為這個問題本身非常有趣，另一方面最主要的是可以為學生探究等比數列的求和公式找到一個很好的“踏腳石”，即可以從q=2這一特例開始通過不斷推廣循序漸進地推出一般等比數列的求和公式.

很不錯.大家能非常迅速地解出這個問題. 從這個問題的解決過程中大家能不能有什么新的發現？

設計意圖：這個問題的求解對高中學生來說應該不會存在太大困難，事實上，有許多學生在小學階段就知道可以通過加“1”再減“1”的方法來進行求和.但僅僅滿足于求解這一問題是遠遠不夠的，教師應該進一步引導學生通過深度思考對這個問題及其背后的解法進行深度開發，讓這個“老”問題煥發出新生機.比如，可以讓學生由這一問題進一步思考“這是什么問題？”“如何求更一般的等比數列的和？”“為什么要加‘1’再減‘1’？”“這種方法有沒有推廣價值？”等問題，從而自然而然地引出“如何得到等比數列的求和公式”這一課題.

2. 解構特征，發現猜想

剛才很多同學都想到了要研究等比數列的求和公式，看來大家很善于舉一反三.那下面我們就來進一步研究一般等比數列的求和公式，為了簡化問題，我們假設首項a=1，公比為q（q≠1）（下文中除非特別說明，一般都假定q≠1），則等比數列的前n項之和可以表示為S=1+q+q2+…+qn-1. 對于這一問題同學們有沒有什么想法？

設計意圖：對于這一問題，學生比較容易想到的可能是與等差數列求和公式的推導方法進行類比，有這種想法非常正常，教師不應抑制學生的思維，可以讓學生先嘗試一下，當學生發現“此路不通”以后自然會另辟蹊徑;也有學生可能會想到與“麥粒問題”進行聯系（因為老師剛剛講過這個問題）;還有學生可能會一籌莫展……. 如果學生能夠想到與“麥粒問題”進行聯系，那固然很好;如果學生沒有想法，教師可以通過適當啟發將學生的思維導向“麥粒問題”.

追問：剛才有同學想到將等比數列的前n項之和S=1+q+q2+…+qn-1與“麥粒問題”進行聯系，這個想法很有意思.那怎么利用求解“麥粒問題”的方法來計算S呢？

設計意圖：學生想到將等比數列的前n項之和S=1+q+q2+…+qn-1與“麥粒問題”進行聯系可能只是一種直覺或“朦朧”的想法，通過追問一方面可以將問題進一步明朗化;另一方面，則可以引發學生的深度思考.

但學生直接由“麥粒問題”推導出S=1+q+q2+…+qn-1的和還有困難，教師可以對學生進行啟發引導.

問題：看來這個問題有點難，那同學們能不能先求一些比較簡單的等比數列的前n項之和？如果可以，那準備先研究哪個數列呢？

設計意圖：美國著名教育家奧蘇伯爾在其名著《教育心理學——認知觀點》扉頁上這樣寫道：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么. 要探明這一點，并應據此進行教學.” 尋找認知起點固然重要，但它僅僅只是教學的第一步（盡管也是非常重要的一步），教學要取得成功還必須把認知起點作為新知識的生長點或新思想的生發點，并靈活運用各種策略來啟發學生從這些認知起點出發生成新知識、新思想、新方法. 著名數學家華羅庚在強調“以退為進”方法的重要性時指出：要“善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是學好數學的一個訣竅.”同時他還指出：“先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后由此向前推進.”提出這一問題是希望學生能從公比為2的等比數列前n項的求和方法這一認知起點出發，然后逐步向前推進，依次考察q=3，4，…，直到學生找到等比數列的求和規律為止.

追問：有不少同學想到先求q=3的等比數列的前n項的和，那怎么求呢？

設計意圖：這一問題既是上一問題的延續，同時又是從公比為2的等比數列向公比為任意值的等比數列過渡的關鍵一步.

如果學生能夠聯想到公比為2的情形，那可以進一步提問“剛才的問題對我們有沒有什么啟發？”如果學生聯想有困難，教師可以啟發學生“公比為2的等比數列的前n項之和是怎么求的？”“它對公比為3的等比數列有沒有什么啟發？”

問題：在對公比為2的等比數列的前n項求和時，我們采用的是將前n-1項之和加上“1”得到第n項的值，那對公比為3的等比數列能不能也通過加上某個數得到第n項的值呢？如果可以應該加什么數？

設計意圖：老師先總結公比為2的等比數列的前n項求和方法，目的是啟發學生通過類比去探索公比為3的等比數列的前n項求和方法.

很多同學都說不能，那請一位同學說說你的理由.

設計意圖：學生在探索過程中會發現求公比為2的等比數列的前n項和時只要加上“1”就行了，但求公比為3的等比數列的前n項和時對于不同的n需要加不同的值.讓學生闡述理由，一方面可以了解學生的真實想法，另一方面可以充分暴露學生思維中的漏洞并針對性地進行啟發.

追問：這位同學說公比為2的等比數列有規律，而公比為3的等比數列加的數沒有規律. 那你能不能具體說一下這里的規律到底指什么？

設計意圖：通過這樣的追問讓學生認識到他心中的“規律”實際上是加的數是不是固定值.

反問：哦！你說的規律原來是指加的數是固定值. 那如果加的數不是固定值，能不能就說沒有規律呢？

問題：既然不能.那我們就需要思考公比是3的等比數列所加的數到底有沒有規律？該怎么研究？

設計意圖：這一問題在糾正學生錯誤回答的同時為接下來的研究指明了方向.問題“該怎么研究？”希望學生從n=3開始通過歸納來分析所加項所具有的規律.在這里學生可能只關注所加項隨n變化的規律，而不容易想到它與前n-1項之間的關系. 此時，教師先讓學生做嘗試性探索，待學生碰壁以后再將學生的思維引向正確的方向.

問題：許多同學都想到了歸納方法，那我們一起來觀察n分別取1，2，3，4時所加的數到底有什么規律？

1+2=3，

（1+3）+5=9，

（1+3+9）+14=27，

（1+3+9+27）+41=81.

設計意圖：通過這樣的啟發和歸納，學生不難發現所加數與前n-1項之間的關系，即所加數等于前n-1項之和加“1”，從而得到（1+3+9+…+3n-1）×2+1=3n這一結論，變形以后即可得到1+3+9+…+3n-1=.

問題：把這個結論與一開始得到的結論比較一下，看看能不能發現什么規律？

設計意圖：由于這兩個式子中一個有分母，一個沒有分母，而且分母中的2也不容易與公比產生聯系，因此要從中找出共同規律對學生還有困難. 解決的辦法是再模仿q=3的情形對公比q=4，q=5進行研究.

問題：僅從這兩個式子還很難看出它們之間的聯系，看來還得再找幾個數試試，現在大家再取公比q=4，看看前n項和等于什么？

設計意圖：學生有了q=3的探索基礎，應該不難得到：

（1+4+16+…+4n-1）×3+1=4n或1+4+16+…+4n-1=.

問題：現在能不能從中發現共同規律？

設計意圖：學生經過這三次探索，一般應該能夠通過比較猜想出：

（1+q+…+qn-1）（q-1）+1=qn或1+q+…+qn-1=，如果還有困難可以再進一步探索公比q取其他整數的情形.

3. 驗證猜想，建構模式

問題：剛才我們通過歸納發現了等比數列的前n項和.

S=a+aq+aq2+…+aqn-1=（為敘述方便，這里直接給出了等比數列求和公式），但這個結論到底是否正確現在還不知道，看看有誰能證明或否定這個結論？

設計意圖：等比數列的求和公式有很多種證明方法，蔡東山等人在“HPM視角下的等比數列求和公式教學”一文給出了“等比定律法”“錯位相減法”“數學歸納法”“掐頭去尾法”“幾何推導法”等7種推導方法[5]. 這里提出這一問題，一方面是出于驗證猜想的需要;另一方面，則希望通過多種證明方法的探索來培養學生的數學發現能力，提升學生的數學核心素養. 就本設計而言，由于學生已經獲得猜想，要證明這一結論并不困難，學生比較容易想到的方法可能是將右邊分母中的1-q與左邊相乘，然后再與右邊的分子進行比較;或將等式左邊的分子分母同乘以1-q，然后將分子化簡再與右邊進行比較. 這里的難點是如何通過教師的啟發引導發現其他證明方法，特別是錯位相減這一重要方法.

同學們很快就給出了證明方法，很好.同學們都有反思的習慣，大家能不能從剛才的證明中通過反思進一步獲得新的發現？

設計意圖：錯位相減法不僅是本節課的教學重點，而且在今后的解題中也很常用. 很多教師在講錯位相減法時只是簡單告知，而很少會解釋其來歷. 提出這一問題一方面可以自然而然地引出錯位相減法，讓學生真正理解錯位相減法的由來，避免“違反教學理論的顛倒”（弗賴登塔爾語）[6]，另一方面則可以培養學生的反思能力. 如果學生沒有思路，教師可以通過“如果我們不知道這一結論，同學們能不能從剛才的證明過程發現等比數列的前n項和”這一問題來啟發學生想到通過將等式左邊的分子分母同乘以1-q來消去中間項;如果學生發現有困難，教師可以通過“剛才證明過程中采用了什么方法”“這種方法在證明過程中起到什么作用”“這種方法有沒有推廣價值”等問題啟發學生認識到這一方法的本質是把等比數列前n項和S整體乘以1-q消去中間項.

對于錯位相減法，教師可以這樣來引出：

等比數列前n項和S整體乘以1-q拆開看就是S-qS，為了更直觀地幫助大家理解這一方法，老師把他們寫成豎式形式：

S=a+aq+aq2+…+aqn-1 ①

qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②

①-②得：S-qS=a-aqn.

當q≠1時，兩邊同除以1-q得：S=.

由于在推導過程中先將原來的等式兩邊同時乘以q，然后再用原來的等式減去乘以q以后的等式，而在相減的過程中需要“錯位”才能相減，因此數學家給這種方法取了一個非常形象的名字“錯位相減法”.

至于其他證明方法的探索，一方面需要教師充分調動學生的積極性，另一方面，則需要教師善于啟發引導. 比如，對于“掐頭去尾法”，教師可以這樣啟發：“剛才的證明過程中通過兩式相減得到S=，還能不能進行其他變形？”“能不能將兩式相除？”“如果兩式相除會不會有新的發現？”通過這樣的啟發學生不難發現：

從而解出：S=.

4. 轉換模式，深度發現

問題：等差數列的前n項之和S既可以用首項a、公差d和項數n來表示，也可以用首項a、末項a和項數n來表示. 那么，等比數列的前n項之和S是否也可以用首項a、末項a和項數n來表示呢？如果可以，應該怎么表示？

設計意圖：模式轉換，簡單地說就是把一個模式轉換為另一個模式.布魯納曾經將轉換看作是學習的三個重要過程之一（這三個過程依次為獲得、轉換與評價）;著名數學家波利亞在介紹解題方法時曾有一句名言：“不斷地變換你的問題”. 模式轉換本質上就是變換問題，通過一再改變問題的敘述和形式，改變觀察分析問題的角度，使問題呈現出新的面貌，引發我們新的思考、新的聯想，從而使問題獲得解答.從方法論角度看，模式轉換是化歸思想在模式研究過程中的具體運用，它通過各種科學思維方法對數學問題進行轉化，將數學問題化生為熟、化繁為簡、化難為易，最終達到充分揭示數學問題本質之目的. 模式轉換的常見類型有語言轉換、句法轉換、邏輯轉換、方法轉換、視角轉換等多種形式[7].

這里提出“等比數列求和公式是否可以有其他表征形式”，這一問題不僅可以通過與等差數列求和公式進行類比培養學生的遷移能力，而且可以讓學生通過模式轉換深化對等比數列求和公式的認識，并進一步提高學生根據不同條件靈活運用公式的能力.

問題：等差數列的前n項之和S有幾何解釋，那等比數列的前n項之和S有沒有幾何解釋呢？

設計意圖：語言轉換是模式轉換的一種常見形式. 作為數學知識的表征形式，數學語言一般包括文字語言、圖形語言和符號語言這三種.而萊什則提出了知識的表征主要有書面符號表征、圖形表征、情境表征、操作性表征以及語言表征這五種，在此基礎上他進一步提出了這五者之間相互影響的表征系統模型[8]. 通過多種數學語言之間的轉換不僅有利于豐富學生對等比數列求和公式的認識，而且有利于提升學生靈活運用公式解決問題的能力. 學生在前面剛剛學過等差數列的求和公式而且知道其幾何意義，因此提出這一問題不僅符合學生的認知預期，而且有利于培養學生提出問題的能力. 但等比數列求和公式的幾何意義課本上沒有出現，這需要教師在課前做足“功課”，以防學生問到以后不知所措.

問題：等比數列從第m項到第n項（n>m）之和等于什么？

設計意圖：等比數列從第m項到第n項（n>m）之和是等比數列的前n項之和的推廣，雖然推導過程并不困難，但提出這一問題不僅有利于培養學生的探索發現能力，而且有利于學生深化對等比數列求和公式的理解.

5. 歸納發現，精制模式

問題：等比數列的求和方法與等差數列的求和方法有什么異同點？

設計意圖：雖然從表面上看，“錯位相減法”與“倒序相加法”完全不同，在等比數列求和時不能生搬硬套，但“消去中間項”這一核心思想還是相通的. 因此，在進行等比數列求和時應該類比“倒序相加法”的“魂”而不是“形”，即通過消去中間項來達到求和之目的. 有了這一思想，再聯系等比數列的后一項與前一項的比都等于公比q”這一本質特征，就容易理解為什么要通過乘以公比q來進行“錯位相減”了.

問題：公式的發現與證明過程中運用了哪些重要數學思想方法？

設計意圖：在公式的發現與證明過程中既用到歸納、類比等合情推理思想，還用到模式轉換、數形結合、“錯位相減法”等多種思想方法. 提出這一問題不僅可以讓學生有意識地梳理本節課中的重要數學思想方法，而且可以讓學生從數學思想方法的高度來理解等比數列求和公式及相關知識，同時還可以讓學生更好地掌握數學思想方法，提升學生的數學素養.

問題：公式有什么特點？公式的使用過程中需要注意什么問題？

設計意圖：提出這一問題一方面可以讓學生通過抓公式特點來深刻理解公式;另一方面則可以讓學生在解決問題過程中能更加準確、靈活地運用公式.

問題：這節課你有什么收獲？

設計意圖：這樣設計一方面可以讓學生通過回顧系統梳理本節課的知識要點，促進學生認知結構的優化;另一方面，可以培養學生善于反思、善于總結的習慣. 讓學生說出學習后的收獲與體會，學生既可以從等比數列求和公式的探索過程中所獲得的成就感和喜悅感等方面來闡述，也可以從“錯位相減法”的探索過程中感受數學家的所思所想，學會像數學家那樣去思考，激發數學研究的積極性. 由此提升學生的發散思維能力，培養學生良好的情感態度價值觀并在此基礎上進一步提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1] ?史寧中主編. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] ?鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3] ?約翰·D·布蘭斯福特，等. 人是如何學習的[M]. 程可拉等譯.上海：華東師大出版社，2003.

[4] ?史寧中，王尚志主編. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[5] ?蔡東山，等. HPM視角下的等比數列求和公式教學[J]. 數學教學，2019（09）.

[6] ?張奠宙主編. 數學教育研究導引[M]. 南京：江蘇教育出版社，1998.

[7] ?鐘志華. 模式觀與數學方法論[M]. 北京：化學工業出版社，2010.

[8] ?理查德·萊什，等. 數學概念和程序的獲得[M]. 孫昌識等譯. 濟南：山東教育出版社，1991.

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