例談如何在數學教學中提升學生的觀察能力

沈凱

[摘 ?要] 教學中要引導學生從數學的視角去觀察生活，充分體驗數學的應用價值，從而激發數學學習熱情. 為實現這一目標需要培養學生的觀察能力. 文章從觀察能力培養的重要性出發，以期通過正確的觀察方法來全面提升學生的綜合素質.

[關鍵詞] 觀察能力;觀察方法;綜合素質

培養學生的觀察能力是重要的教學目標之一，是提高學生解題能力的需要，也是提高學生綜合素質的需要. 筆者就如何讓學生學會觀察提出了一些淺見，以期共鑒.

[?]培養觀察能力的重要性

觀察是解決問題的前提，任何題目都蘊含著豐富的內涵，隱藏著解題方法和解題策略，只有認真觀察題目特征，才能發現其內在聯系和本質屬性，從而結合已學知識有效解決問題[1]. 因此，在解決問題時，要認真地觀察，找出已知與結論之間的聯系，解決問題也就變得水到渠成了.

例1：如圖1，橢圓的中心原點為O，離心率e=，其一條準線的方程為x=2.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）設動點P滿足=+2，點M，N為橢圓上的點，直線OM與ON的斜率乘積為-. 是否存在兩個定點F，F，使得PF+PF為定值？若存在，請求出F和F的坐標;若不存在，請說明理由.

題目分析：（1）由離心率e==，由準線方程=2，求得a=2，c=，所以b=. 由此可得橢圓的標準方程為+=1.

（2）設點P（x，y），M（x，y），N（x，y），由=+2可得P（x+2x，y+2y）. 又因為M，N為橢圓上的點，且OM與ON的斜率乘積為-，所以+=1，+=1，·=-. 根據已知條件，學生可以很輕松寫出這些關系式，然而下面如果將這些已知條件進行有效的串聯呢？大部分學生顯得有些無從下手. 要使隱藏條件被解讀，教師需要引導學生關注結論“存在兩個定點F，F，使得PF+PF為定值”，學生發現其實為關于點P的軌跡方程，該軌跡方程為橢圓. 接下來根據橢圓標準方程的結構特點，從代數的角度進行求解得x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x+2y）+4（x+2y）+（4x1x2+8y1y2）=20，即點P所在的橢圓方程的焦點是F1（-，0），F2（，0），這兩點即為所求的定點.

本題第（1）問直接根據橢圓的相關性質可以順利得到答案. 在解第（2）問時學生也可以通過所學知識寫出已知條件符合的關系式，然而因未充分考慮結論使得在求解過程中出現了思維障礙，這時教師有效地引導，讓其關注結論，通過觀察數形特點并挖掘已知與結論的內在聯系，從而找到解決問題的方法. 觀察在本題求解過程中起到了鋪路架橋的作用. 因此，在解決問題時要善于觀察，通過觀察找到問題的本質特征，從而使得問題迎刃而解.

[?]培養觀察能力的方法

學生認識到了觀察的重要性后，要培養學生如何觀察，怎樣觀察才是有效的. 正確的觀察方法是培養學生觀察能力的重要組成內容[2]. 筆者認為，可以從關鍵詞出發，找到各對象之間的對應關系，通過數形結合等有效手段找到內在規律和結構特征，從而形成解決問題的思路.

1. 觀察關鍵詞

通過觀察關鍵詞，可以掌握題目的整體脈絡，通過猜測對象之間的數量關系，聯系已有認知和已有經驗來解決問題.

例2：若等比數列{a}滿足：a+a+a+a+a=3，a+a+a+a+a=12，則a-a+a-a+a的值是________.

題目分析：分析代數式并結合已知可以得出：a+a+a+a+a是等比數列{a}的前5項之和，那么a+a+a+a+a和a-a+a-a+a是否也可以看作是某數列的前5項之和呢？通過觀察它們的特點，結合通項及等比數列的性質，可以將a+a+a+a+a看作是等比數列{a}的前5項之和，a-a+a-a+a看作是等比數列{（-1）n+1a}的前5項之和. 若設等比數列{a}的公比為q，則等比數列{a}的公比為q2，等比數列{（-1）n+1a}的公比為 -q，找到了公比之間存在的數量關系，可以根據等比數列前n項求和公式進行求解.

求解過程：根據分析可知q≠1，由等比數列前n項求和公式可得a+a+a+a+a==3，a+a+a+a+a==3·=12，即=4. 所以a-a+a-a+a==4.

在本題求解過程中，根據題目的特點分析出其都為某等比數列的前5項之和，通過公比q存在的數量關系而進行求解. 在解決問題時有時候要根據觀察進行大膽猜測，在運算過程中再觀察從而找到對應關系. 仔細觀察，大膽嘗試是解決問題的有效手段.

2. 觀察結構特征

很多問題在求解時不能直接預判解題過程，需要根據式子的結構特征，邊觀察，邊分析，邊聯想，從而結合所學知識找到最終的解決方案.

例3：已知f（x）是定義在[-2，2]上的函數，且對任意實數x，x（x≠x），恒有>0，且f（x）的最大值為1，則滿足f（logx）<1的解集為________.

題目分析：根據已知條件無法求出f（x）的具體表達式，因此若要求解必須利用函數f（x）的單調性. 那么從已知條件>0中，是否可以找到關于函數f（x）的單調性成了解答此題的關鍵. 由>0進行分析，若x-x>0，則f（x）-f（x）>0;若x-x<0，則f（x）-f（x）<0，由此可以得出f（x）在定義域內是增函數.

求解過程：由>0可知，函數f（x）在[-2，2]上是增函數. 因為f（x）的最大值為1，即f（2）=1，所以不等式f（logx）<1，可以轉化為f（logx）

x<2，

-2≤log

x≤2，解得≤x<4，所以f（logx）<1的解集為

，4.

在本題的求解過程中，根據已知條件分析出求解本題需從函數的單調性入手，從而根據所學知識得出函數f（x）單調遞增，單調性求出后結合函數的定義域一邊計算一邊觀察，最終求得答案.

3. 觀察內在規律

若想解決問題需要通過觀察問題發現其內在規律，深入挖掘已知條件和結論，從而根據已學知識進行有效的轉化，進而解決復雜的問題.

例4：若f（a+b）=f（a）·f（b），且f（1）=2，則+++…+=________.

題目分析：觀察后發現，，…，是數列

的項，因此+++…+即為數列

的前2010項中1005項的和，若要解答此題則需要尋找數列的通項. 由已知f（a+b）=f（a）·f（b），f（1）=2，令a=n，b=1，則f（n+1）=f（n）· f（1）=2f（n），即=2，所以+++…+=2×1005=2010.

題目乍看起來感覺無從下手，但經過對結論的仔細觀察和分析從而得到找數列的通項的方法，題目也就迎刃而解了. 這樣帶著明確的目的去已知條件中尋找和構建，使得解題變得輕松自然了.

4. 觀察圖形特征

圖形中往往蘊含著豐富的數量關系，而如何找到這些數量關系就需要學生的觀察能力. 通過觀察圖形特征，聯系幾何性質，可以將題目中的數量關系用更加直觀的圖形語言進行表達，這樣不僅可以簡化解題過程，也使得抽象的問題更加形象化，增加學生解題的信心.

例5：在平面直角坐標系xOy中，圓C是圓心在第二象限，半徑為2的圓，該圓與直線y=x相切于坐標原點O. 圓C與橢圓+=1相交于一點，其到橢圓左焦點F及右焦點F的距離之和為10.

（1）求圓C的方程;

（2）圓C上是否存在這樣的一點Q（異于原點），使得QF=OF. 若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

題目解析：第（1）問根據已知條件很容易求得圓C的方程為（x+2）2+（y-2）2=8. 在解答第（2）問時，容易發現存在這樣的點Q，使得QF=OF. 點F（4，0），設Q（x，y），根據待定系數法列方程組（x-4）2+y2=16，

（x+2）2+（y-2）2=8，解得x=，y=，或x=0，y=0. 因為點Q異于原點，因此得點Q

該方法思路簡單，但是計算復雜，本題是否可以根據圖形特征，通過數形結合來簡化計算過程呢？為了通過數形結合來尋找更優的方案，首先根據已知條件及圓的方程繪制圖形（如圖2）. 觀察圖形可知，在四邊形COFQ中，CO=CQ，OF=QF，因此CF垂直且平分OQ，因此點O與點Q關于直線CF對稱，即將點Q轉化為點O關于直線CF的對稱點.

由已知可以求得橢圓的方程為+=1，F（4，0）. 直線CF的方程為y-2= -（x+2），即x+3y-4=0. 設點Q（x，y），則

=3，

+-4=0，解得x=，y=. 所以存在這樣的Q點，且其坐標為

通過數形結合，將代數問題與幾何問題完美地融合，大大地降低了計算量，這樣不僅降低了因復雜計算而出錯的概率，也大大提升了解題效率. 同時，通過數形結合，將在圓C上的點Q轉化為點O關于直線CF2對稱的問題. 多種方法的應用，不僅找到了最優的方案，也使得學生的思維得到了有效的拓展，提升了思維的活力.

[?]對培養觀察能力的思考

學生觀察能力的培養在教學中的意義是不言而喻的，那么在培養觀察能力的時候應注意什么呢？

首先，要培養學生的觀察意識. 在教學中要結合教學實例，讓學生通過對比、數形結合、類比等方法，感受觀察為解題帶來的簡便快捷，從而調動學生觀察的興趣. 學生觀察的興趣被調動了，其學習也就變得更加主動了，觀察的意識也就被激發了，觀察能力會在不斷的積累中日益提升.

其次，引導學生有目的性地觀察. 若毫無目的地觀察，只是盲目地將已知條件及隱含條件一個個羅列，會大大增加觀察和解題的負擔，解題效率會降低. 只有帶有目的性地觀察，學生才能根據條件和結論有意識、有選擇地搜索與之相關的知識點，結合知識點之間的特征和規律來提高觀察效率和解題效率.

最后，引導學生進行歸納和總結. 觀察能力的培養是一個長期積累的過程，在日常教學中，教師要引導學生養成總結、歸納的習慣，將觀察經驗和心得等分類匯總，使得觀察更加深刻、全面和準確，這將是學生寶貴的知識財富.

總之，觀察能力的培養不能急于求成，要在日常的教學中不斷地滲透并堅持不懈地對其進行行之有效的訓練，進而使學生養成愛觀察、會觀察的好習慣，形成良好的觀察品質.

參考文獻：

[1] ?張麗，付慶龍. 如何有效實施高中數學教學[J]. 中國教育技術裝備，2010（07）.

[2] ?劉術青，田炳娟. 轉變高中數學教學理念，激發學生創新意識[J]. 才智，2011（08）.