高中生發(fā)散性思維的培養(yǎng)路徑

崔曉紅

[摘 ?要] 文章探討了發(fā)散性思維的含義與特征，并在此基礎(chǔ)上指出發(fā)散性思維的培養(yǎng)路徑主要有：一題多解，構(gòu)筑“發(fā)散”通道;數(shù)形結(jié)合，確定“發(fā)散”頻道;逆向思維，開辟“發(fā)散”跑道.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)散性思維;一題多解;數(shù)形結(jié)合;逆向思維;培養(yǎng)

隨著不斷深化的課程改革，現(xiàn)代化教育逐步將目標(biāo)轉(zhuǎn)移到創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)上來了，并將核心放置在發(fā)散性思維之上. 由此，發(fā)展和加強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散性思維已經(jīng)成為課堂教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo). 但是在部分教學(xué)活動(dòng)中，常常會(huì)因?yàn)槭軕?yīng)試教育的影響，或過于強(qiáng)調(diào)知識(shí)技能的習(xí)得，導(dǎo)致了思維的封閉性、表面化. 可見，不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式不僅會(huì)抹滅學(xué)生思維本性中蘊(yùn)含的靈活，還會(huì)使其本該擁有的發(fā)散變得封閉、靈活變得僵化. 故此，培養(yǎng)發(fā)散性思維的路徑值得探索. 在學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中加以培育既迎合了高中數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢，也便于學(xué)生智力的開發(fā)，同時(shí)有助于提高其綜合能力.

[?]發(fā)散性思維及其特征

思維就是人體大腦對于客觀事物的規(guī)律和特征作出的間接性和概括性的一種反應(yīng)過程，即在感知的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)一步認(rèn)識(shí)事物的過程. 思維可以理解為一種理性認(rèn)知的活動(dòng)，其可以推動(dòng)智力的發(fā)展，也可以推動(dòng)社會(huì)的發(fā)展. 何謂“發(fā)散性思維”，即思考者從不同的方向、角度出發(fā)分析、探索和設(shè)想，探求屬于自己的解決方案，并使得問題圓滿獲解的一種思維方式. 其特征為：將學(xué)生的聯(lián)想和想象發(fā)揮到極致，由一點(diǎn)向著四周輻射開去，并逐步?jīng)_破已有知識(shí)圈，在觀念和知識(shí)的重組和整合中找尋到更多的設(shè)想和方法. 很多時(shí)候，我們在考查學(xué)習(xí)者是否具有創(chuàng)造性時(shí)，常常介入發(fā)散性思維的考查進(jìn)行判斷.

筆者認(rèn)為學(xué)生發(fā)散性思維的孕育，可以在情感上予以啟迪，也可以在問題思考過程中予以培育，亦可以在解決問題上予以培養(yǎng)，不管以上哪種方式都是在進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的過程中發(fā)展起來的. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維會(huì)經(jīng)歷聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、想象、批判、擴(kuò)展等過程，提升思維靈性，進(jìn)而獲得全面發(fā)展.

[?]發(fā)散性思維的培養(yǎng)路徑

已有研究提出解決問題的過程是發(fā)展發(fā)散性思維的有效方式，那么日常教學(xué)中如何讓其自然滲透呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾方面探尋：

1. 一題多解，構(gòu)筑“發(fā)散”通道

一題多解就是啟發(fā)學(xué)生從不同角度，運(yùn)用不同方法，分析和解決同一個(gè)問題的活動(dòng)過程. 教師在教學(xué)中應(yīng)積極構(gòu)建平臺(tái)，誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的活動(dòng)，為學(xué)生構(gòu)筑“發(fā)散”的通道，使其養(yǎng)成良好的解題方法，最終使得創(chuàng)新思維得以發(fā)展.

例1：已知F1，F(xiàn)2為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，且點(diǎn)P為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，∠F1PF2=，則橢圓與雙曲線離心率的倒數(shù)之和的最大值是________.

解法1（判別式法）：如圖1，根據(jù)對稱性設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)橢圓長軸的長是2a，雙曲線實(shí)軸的長是2a，且F，F(xiàn)分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，PF=m，PF=n，據(jù)橢圓與雙曲線定義，可得m+n=2a，

m-n=2a.①

又因?yàn)椤螰PF=，據(jù)余弦定理，可得4c2=m2+n2-mn②，離心率的倒數(shù)之和是+=+. 根據(jù)①式，得出m=a+a，所以+==. 根據(jù)②式，可得-·+-4=0，將其視為以為變量的一元二次方程，從而判別式Δ≥0，即

≥0，進(jìn)一步解得≤. 取等號時(shí)，==，e=，e=，所以二者的離心率的倒數(shù)之和的最大值為.

解法2（配方法）：根據(jù)解法1，可得

+

====≤. 設(shè)m=2n時(shí)取得等號，所以+≤，所以最大值為.

解法3（數(shù)形結(jié)合法）：根據(jù)解法1中的①式，可得m=a+a，n=a-a，再代入②式，得出4c2=（a+a）2+（a-a）2-（a2-a），結(jié)合待求目標(biāo)整理得出+=4. 令=x2，=y2，則上式可化簡為x2+3y2=4. 令t=x+y，x>0，y>0，從而原題可以轉(zhuǎn)化為“如圖2，當(dāng)直線t=x+y與橢圓x2+3y2=4有公共點(diǎn)時(shí)，求直線在y軸上截距的最大值”. 進(jìn)一步可得，當(dāng)t取得最大值時(shí)，直線與橢圓相切，由y=-x+t，

x2+3y2=4消去y并整理，得出4x2-6tx+3t2-4=0. 根據(jù)Δ=0，t>0，可得t=，所以本題的答案是.

解法4（三角換元法）：根據(jù)解法3，得出+=4. 令=2cosθ，=sinθ，θ∈

0，

，則+=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ）≤，所以本題的答案是.

解法5（柯西不等式法）：根據(jù)解法3，可得+=4. 再由柯西不等式得出

，所以+≤=. 當(dāng)且僅當(dāng)1·=·，即=，=時(shí)等號成立，所以本題的答案是.

解法6（導(dǎo)數(shù)法）：令=λ·，λ>1，代入+=4，可得（3+λ2）·=4，所以=，則+=，則f′（λ）=. 由f′（λ）=0，可得λ=3. 當(dāng)λ<3時(shí)，f′（λ）>0，f（λ）單調(diào)遞增;當(dāng)λ>3時(shí)，f′（λ）<0，f（λ）單調(diào)遞減. 所以λ=3時(shí)，f（λ）取得最大值f（3）=，所以本題答案是.

設(shè)計(jì)意圖：高質(zhì)量的一題多解活動(dòng)可以激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的欲望，訓(xùn)練學(xué)生嫻熟運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，從而發(fā)展發(fā)散性思維. 本例中，教師以探究性問題精準(zhǔn)激發(fā)思維的“生長點(diǎn)”，讓學(xué)生廣開思路，生成各種解法，完成內(nèi)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“思維之舉”. 與此同時(shí)，在展示多種解法的過程中，進(jìn)一步復(fù)習(xí)題目所涉及的數(shù)學(xué)思想，并讓學(xué)生在對比區(qū)分解題策略的繁簡優(yōu)劣中體會(huì)到正確且快速完成解題才是高效解題的永恒追求，從而優(yōu)化解題方法.

2. 數(shù)形結(jié)合，確定“發(fā)散”頻道

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種有效的解題方法，它具備數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀兩大優(yōu)勢，借助數(shù)與形二者之間的關(guān)系完善解題路徑. 因此，教學(xué)過程中，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生靈活而巧妙地構(gòu)想，在數(shù)形結(jié)合中確定“發(fā)散”頻道，進(jìn)而快速而準(zhǔn)確地求解問題，發(fā)展發(fā)散性思維.

例2：試求出函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

略解1：易證f（x）=lnx+2x-6在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增. 又因?yàn)閒（1）·f（4）<0，所以函數(shù)f（x）=lnx+2x-6只有一個(gè)零點(diǎn).

略解2：探求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是求方程lnx+2x-6=0的解的個(gè)數(shù)，也就是求函數(shù)y=lnx與y=-2x+6圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過作圖易得只有一個(gè).

設(shè)計(jì)意圖：本例中，略解1是靈活運(yùn)用代數(shù)法來解決問題，是常規(guī)的解題思路;略解2則巧妙運(yùn)用幾何法，利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解決，讓發(fā)散思維“大展宏圖”. 之后再通過數(shù)形結(jié)合與常規(guī)方法進(jìn)行對比，讓學(xué)生更加直觀地感知到數(shù)形結(jié)合的快速與便捷，真正達(dá)到以幾何之“石”攻代數(shù)之“玉”的效果，從而活化學(xué)生的思維，彰顯學(xué)生的個(gè)性[1]. 同時(shí)，在解題中不斷總結(jié)數(shù)學(xué)思想和方法，應(yīng)用到其他問題的解集中去，成為解題的有力保障.

3. 逆向思維，開辟“發(fā)散”跑道

“逆向思維”就是對司空見慣的認(rèn)識(shí)或觀點(diǎn)進(jìn)行反向思考的一種思維方式. 換句話來說，就是當(dāng)思維受阻無法暢通時(shí)，不必再鉆牛角尖，轉(zhuǎn)換一個(gè)角度、改變一種方式、變換一個(gè)方向進(jìn)行思考，就可以獲得意想不到的效果，其本質(zhì)特征就是“另辟蹊徑”，它是一種靈活有效的思維方式，需要合理的想象力為基石[2]. 事實(shí)上，逆向思維與發(fā)散性思維是相互關(guān)聯(lián)且無法分割的，因此，訓(xùn)練逆向思維，可以開辟“發(fā)散”跑道，打通思維通道，建立靈活多樣的思維方式.

例3：已知函數(shù)f（x）=，若數(shù)列{a}滿足a=4，a=f（a）. 證明：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有a<3成立.

證明（反證法）：假設(shè)a≥3（n≥2），根據(jù)已知可得a=f（a）=，所以當(dāng)n≥2時(shí)，==·

=<1. 又易證a>0，所以當(dāng)n≥2時(shí)，a2時(shí)，a

設(shè)計(jì)意圖：教師要為學(xué)生設(shè)計(jì)逆向思維的機(jī)會(huì)，在解題中引導(dǎo)學(xué)生自覺、主動(dòng)地運(yùn)用逆向思維，讓其經(jīng)歷長久的思維監(jiān)控，以主動(dòng)發(fā)展自身的逆向思維，從而推動(dòng)發(fā)散性思維的前進(jìn). 本例中，學(xué)生自主探究，在思考中發(fā)現(xiàn)逆向思維的有效性，潛移默化地提升思維的發(fā)散性.

總之，高考是對學(xué)生能力的考查，而并非知識(shí)的復(fù)制，能力的培養(yǎng)并非一夕之功，需要教師一以貫之地加以訓(xùn)練. 發(fā)散性思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也并非完全獨(dú)立的，它可以貫穿人才培養(yǎng)的全過程，滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，并與其他思維疊合培養(yǎng). 但無論怎樣，探尋一題多解、數(shù)形結(jié)合與逆向思維應(yīng)是發(fā)散性思維能力提升的必然路徑.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?沈凌云. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（31）.

[2] ?師天元. 試論中學(xué)數(shù)學(xué)中逆向思維方法的應(yīng)用——以定義、定理、公式的逆用為例[J]. 蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（S4）.