借助“巧解”實現課堂效率最大化

崔克瓊

[摘 ?要] 高中數學學習的目的并非簡單地應對高考，其主要目標是培養學生良好的學習習慣和思維習慣，為此，在教學中要摒棄簡單機械的套用，要重視學習能力的提升. 在解題教學中，除了培養學生的“雙基”外，要重視解題技巧的探究，引導學生多角度觀察，根據不同的題型實施不同的解決方案，巧妙地應用概念、題設、數形結合等多種解題策略“巧解”問題，進而實現課堂效果的最大化.

[關鍵詞] 學習習慣;思維習慣;巧解

談到數學學習就不得不談解題教學，其是數學教學的重要組成部分，是“用數學”的重要表現形式. 在素質教育的影響下，現行高考更側重于考查學生“用數學”的能力，即應用數學基本知識和基本思想解決現實問題的能力，因此，培養學生的“雙基”是解決問題的前提和保障. 然而，在培養“雙基”的基礎上不能忽視解題效率的提升，眾所周知，高考數學題量大、題目新，若解題時不重視方法和技巧，將不利于學生縝密和靈活性思維的培養，那么學生在面對靈活多變的高考題目時勢必會出現畏難情緒，進而影響學生“用數學”的積極性. 為此，在日常教學中，除了重視基礎知識和基本方法的積累，也要關注解題技巧，引導學生學會“巧用”數學，使解題過程由繁變簡，進而提升解題的成功率. 筆者選取了幾道典型性的案例進行剖析，展示“巧解”在鍛煉學生思維能力，提升學生解題能力的妙用，以期激發學生探究“巧解”的熱情.

[?]巧用概念，化繁為簡

數學概念是數學學習的基石，是數學知識的交匯點，是數學知識體系的重要組成部分，全面地、準確地掌握概念有利于“雙基”的提升. 但在現實教學中，學生對概念的把握僅限于熟背，缺乏對概念內涵和外延的挖掘，以至于對概念的理解缺乏深刻性和靈活性，進而學生在面對應用概念直接求解的問題時顯得束手無策，從而影響了解題效率.

例1：已知拋物線x2=2px（p>0）上存在A，B兩個動點，且滿足AB=l（l≥2p），試求線段AB的中點M到x軸的最小垂直距離時M的縱坐標.

分析：本題在求解時大多數學生都是構造線段中點M到x軸的最小垂直距離的方程f（x，y）=0，再求y的值，雖然這樣求解思路簡單，但其運算過程煩瑣，運算量大，若要順利求解不僅要有較強的運算能力而且需要消耗更多的時間，這樣勢必會影響解題的準確率和解題效率. 為了規避煩瑣的運算，在解題時可以嘗試回歸概念，調動最原始的認知重新審視題目，也許有意外的收獲. 本題根據拋物線的相關概念可以構造出如圖1所示的圖形，在梯形ACDB中，ME=，即y+=. 由拋物線的定義可知，AC=AF，BD=BF，則AC+BD=AF+BF. 在△AFB中，AF+BF≥AB，則y+≥=，即y≥-，當AB經過焦點F時，y的最小值為-（l≥2p）.

點評：本題求解中靈活應用概念構造出了圖1，通過應用拋物線的定義得到AC=AF，BD=BF，從而將梯形問題轉化為三角形問題，轉化后直接應用三角形三邊知識得出了答案. 從上面的解題過程可以看出，應用概念求解并不需要復雜的計算，同時思路更加清晰，步驟更加簡潔，解題更加高效. 可見，在解題時巧用概念可以有效簡化解題過程，有利于解題效率的提升，因此，在日常學習中一定要注意深化對概念的理解，進而解題時可以靈活應用，從而化繁為簡，提升解題效率.

[?]巧用題設，優化解題策略

學生在解題時常急于求成，看到熟悉的題目就直接生搬硬套原有的解題思路，不重視觀察題設信息，這樣稀里糊涂盲目套用往往容易造成思路中斷，不僅未能成功解決問題，而且浪費了寶貴的時間，因此，在解題前應先仔細觀察題設信息，注意題設隱含信息的挖掘和提取，從而獲得解題的捷徑.

例2：已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0的兩根相等，試證明，，是等差數列.

分析：本題在求解時很多學生僅關注“兩根相等”這一信息，解題時直接利用方程“Δ=0”，即（bc-ab）2-4（ac-bc）（ab-ac）=0，顯然若要化簡要經歷開方、配方等復雜的過程，而且在計算前并不能預判此方法是否能獲得解題信息，解題處于“走一步算一步”的狀態，缺乏對整體解題思路的把控，進而難以保障解題的準確率. 此題在動手前應先觀察，看看除了“Δ=0”這一信息外是否還隱藏著其他已知條件. 經過觀察方程的系數知曉“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”，由此可知方程的兩個相等的根為“1”，分析至此，完整的解題思路就形成了，求解也就水到渠成了.

根據韋達定理可知：=2，即2ac=ab+bc，=+，所以，，是等差數列.

點評：本題解題時通過觀察獲得了“（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0”這一重要信息，成功地找到了解決問題的突破口，有效規避了常規解題思路所帶來的復雜運算過程，使解題效率大大提升. 要知道，高考重點考查學生的運算能力，但運算絕非簡單機械的套用，其更主要的是考查學生是否能夠根據題設條件尋求最合理、最簡潔的運算途徑，進而實現“巧算”. 為此，在教學中教師要避免解題機械化、模式化，要引導學生仔細觀察題設的外部結構，尋找個性化解題方案，進而優化解題策略，提升學生的解題能力.

[?]巧用數形結合，捕捉問題切入點

數形結合是一個老生常談卻不得不談的問題，因為借助“數”的嚴謹，“形”的直觀往往可以收獲許多意外的驚喜. 有時在解題時若單一從“數”或單一從“形”的角度出發，絞盡腦汁也難以求解，而將二者相結合不僅容易找到解題的突破口，而且可以避免煩瑣冗長的計算，進而提高解題效率.

例3：已知方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩個實根為x，x，滿足0

分析：根據題設信息學生很容易從代數的角度出發，調用解一元二次方程的經驗，根據韋達定理和根的取值范圍進行求解，顯然，應用該方案不僅求解困難，而且思路容易混亂，很難求解，若將其轉化為二次函數，借助函數圖像的直觀性更容易找到解題的切入點，方便求解.

令f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，根據方程的兩個實根為x，x，滿足0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0，即k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

由k2-k-2>0得k<-1或k>2;由k2-2k-8<0得-20得k<0或k>3. 將結果用數軸表示（如圖3），則k的取值范圍為（-2，-1）或（3，4）.

點評：本題求解時將方程、函數、不等式等問題相串聯，先將方程轉化為函數，根據方程根“0

[?]巧妙轉化，規避分類討論

分類討論其實質就是根據題設條件將含有不確定因素的大問題拆分成若干小問題來解決，其可使解題思路更加清晰，但應用分類討論其解題過程往往會較為煩瑣，這也是分類討論無法回避的一個問題，同時，有時因分類不清可能也會增加錯解的風險，因此，在解題時，有時將問題巧妙轉化往往可以有效規避分類風險.

例4：已知集合A={x

ax2+3x+2=0，x∈R}，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.

分析：A中元素有三種情況：0個、1個、2個，但要滿足“至多一個元素”，則需要分兩類進行討論，即0個和1個，顯然若求出A中有兩個元素的情況，再應用補集則可以規避分類，進而減少運算過程. 對于a而言，不論a取任何實數，集合A都有意義，所以全集=R.

假設A中有兩個元素，即ax2+3x+2=0有兩個不同的實根，則a≠0，Δ=9-8a>0，解得a<，且a≠0. 求出A后，根據補集的思路可得a的取值范圍為{0}∪

，+∞

.

評注：本題求解過程中利用“補集”有效地規避了分類討論. 有時解題時若順勢分析可能會有多種情況，不妨逆向而上，往往可以優化解題策略. 雖然分類討論有明顯的優勢，但有時巧妙地規避，也會有意外驚喜.

當然，數學中的“巧解”不拘泥于這幾類，其分散于教學的每個角落，為此，教師要注意各個環節進行滲透，讓學生在掌握“雙基”的基礎上可以跳一跳，根據不同的知識點、不同的題設結構、不同的題型采取不同的解決策略，進而實現化繁為簡、簡化流程，最終提升解題效率的目的.