關于垂徑定理與圓錐曲線的拓展探究

金鐵強

[摘 ?要] 圓的垂徑定理在圓錐曲線中有著廣泛的應用，可有效簡化解題過程，提高解題效率. 垂徑定理的應用探究建議采用知識拓展的方式，即引導學生理解圓的垂徑定理，開展關聯拓展，總結橢圓、雙曲線垂徑定理的模型結論，并結合實際問題進行應用強化. 文章開展定理分析，進行應用探究，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 垂徑定理;圓;圓錐曲線;斜率;模型

[?]定理分析

垂徑定理是圓的重要幾何定理，可用于判定直徑或半徑與圓中弦的特定關系，結合“線段垂直”與“直線斜率”可構建“l⊥l?k·k=-1”，這也是坐標系背景下垂徑定理的應用基礎，基于垂徑定理可在圓中構建如下三種模型.

模型背景：直線的斜率均存在.

模型一：如圖1所示，在圓O中，E為弦AB中點，則OE⊥AB，即k·k=-1;

模型二：如圖2所示，在圓O中，l與圓O相切于E點，則OE⊥l，即k·k=-1;

模型三：如圖3所示，AB為圓O直徑，E為圓上異于A，B兩點的動點，則BE⊥AE，k·k=-1.

解讀：上述基于直線與圓的位置關系，構建了垂徑定理的三種適用模型. 其中模型一中，弦AB與圓是相交關系，定理成立的基礎是“點E是弦AB的中點”;模型二中，直線l與圓是相切關系，點E是切點，若設定點E（x，y），則可得切線l的方程xx+yy=r2;模型三中構建了圓與三角形，是“直徑對直角”的應用體現.

[?]定理拓展

眾所周知，圓與橢圓有著緊密的聯系，可將橢圓視為是圓的擠壓變形，而在擠壓過程中圓的直徑會發生變化，直線之間的位置關系也隨之而變. 實際上垂徑定理在拓展中依然適用，只是發生了輕微變化，相關直線的斜率之積變為與橢圓特征參數相關的值，即-.

下面假設直線的斜率依然成立，則圓中垂徑定理模型的拓展情形如下.

（1）如圖4所示，橢圓C：+=1（a>b>0），E為弦AB的中點，則有如下結論：k·k=-.

對于該結論可采用點差法證明，設點A（x，y），B（x，y），點M坐標為（x，y），由中點坐標公式可得x=，y=，則弦AB的斜率為k=，OE的斜率為k=，將點A和B的坐標分別代入橢圓的方程中，可得+=1，+=1，兩式作差后可得+=0，整理可得·=-，即k·k=-.

（2）如圖5所示，橢圓C：+=1（a>b>0），l與橢圓相切于E點，則有如下結論：k·k=-;

對于該結論可以采用極限思想來證明，當圖4的點A無限接近點B時，則有圖5的情形;另外也可用導數法來證明.

（3）如圖6所示，l過中心O交橢圓于A，B兩點，E是橢圓上異于A，B點的動點，則有如下結論：k·k=-.

對于上面的結論，可取AE的中點為點M，連接OM，如圖7所示，則OM為△ABE的中位線，故OM∥BE，則直線OM的斜率與BE的相同. 設點A的坐標為（x，y），則點B的坐標為（-x，-y），設點E的坐標為（x，y）. 點A，B，E三點均位于橢圓上，則滿足橢圓方程，故有+=1，+=1，·=-，其中可表示直線BE的斜率，可表示直線AE的斜率，即k·k=-.

解讀：上述將圓的垂徑定理拓展到橢圓上，并總結了橢圓中三種模型的斜率之積結論. 結論成立的條件有兩點：一是相關直線的斜率存在;二是橢圓的焦點位于x軸上. 若橢圓的焦點位于y軸上，橢圓方程為+=1（a>b>0），則上述結論的斜率定值變為-，即k·k=k·k=k·k=-.

[?]應用探究

橢圓的垂徑定理拓展結論在解析相關問題中有著廣泛的應用，若問題圖像中可提取垂徑模型，則可以較為簡潔地推導直線斜率. 通常可按如下思路分析：第一步，根據題干條件理解圖像，把握其中的直線與橢圓、直線與直線之間的位置關系;第二步，根據圖像分析是否符合橢圓的垂徑模型，若符合直接根據模型結論推導條件;第三步，結合推導條件進行問題轉化，突破求解. 下面結合一道例題探究應用思路.

例1：如圖8所示，已知橢圓C的方程為+y2=1，點P是橢圓C的上頂點，過點P作斜率為k的直線l，與橢圓的另一交點設為點A，設點A關于原點O的對稱點為B，試回答下列問題.

（1）連接PB，試求△PAB面積的最大值;

（2）設線段PB的中垂線與y軸的交點為點N，如果點N位于橢圓的內部，試求斜率k的取值范圍.

解析：本題目可歸為圓錐曲線動態問題，其中直線l為過點P的動直線，已知橢圓C的方程為+y2=1，則a=2，b=1. 若設A的坐標為（x，y），點A和B關于原點O對稱，則點B的坐標為（-x，-y），后續探究如下.

（1）點P為橢圓的上頂點，則點P（0，1），OP=1，可將△PAB視為同底△APO和△POB的組合，則其面積可表示為S=S+S=·OP·

x-（

-x）=

x，顯然當

x取最大值時，△PAB的面積最大. 在橢圓中，當點A位于長軸端點處時，

x取得最大值，且最大值為2，故△PAB面積的最大值為2.

（2）該問題的突破有兩種解法：解法一是傳統的方程聯立，設而不求;解法二則是引入垂徑定理，從直線與橢圓的位置關系入手.

解法一：可設直線PA的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，可得

+y2=1，

y=kx+1，整理可得x[（4k2+1）x+8k]=0，方程有兩個根，分別為x=0或x=-. 點P和A是直線與橢圓的兩個交點，則x=-，可推知點B的坐標為

，

，則PB的中點坐標為

，

，PB的斜率就為k=-，故PB的中垂線方程為y=4k

x-+，可求得PB的中垂線與y軸的交點N的坐標為

0，-

. 由于點N位于橢圓內，則應滿足-1

-8k2+1>0，可求得不等式組的解集為-

-，0∪0

，.

解法二：已知AB過橢圓的原點O，點P位于橢圓上，滿足橢圓的垂徑定理，由定理可得kk=-=-，因為直線PA的斜率為k，則k=-，可求得直線PB的方程為y=-x+1. 與橢圓方程聯立，可推得點B坐標為

，. 設PB的中點為M，則點M的坐標為

，

，故PB的中垂線方程為y=4k

x-+，后續與解法一相同，略.

評析：上述探究直線斜率的取值范圍時采用了兩種解法，其中確定直線PB中垂線的方程是關鍵. 傳統解法需要聯立直線與橢圓方程，通過求根的方式來確定交點坐標，進而求直線斜率. 而引入橢圓的垂徑定理則可以直接確定直線的斜率，極大地簡化了解題過程，同時也避免了計算失誤.

[?]深度拓展

圓的垂徑定理不僅可以拓展到橢圓中，同樣可以拓展到雙曲線中，適用的模型也較為眾多，下面列舉其中常見的兩種.

模型一：如圖9所示，點E是弦AB的中點，則有結論k·k=;

模型二：過O點的直線l交雙曲線于A，B兩點，E是雙曲線上異于A，B兩點的動點，則k·k=.

實際解題時需要關注動點位置、直線與雙曲線的位置關系，然后對照模型推理斜率乘積條件. 往往垂徑定理的結論用于斜率條件的推導及轉化，后續還需借助圓錐曲線的相關知識加以計算，下面結合一道考題進行應用強化.

例2：已知雙曲線的方程為-=1（a>0，b>0），其左、右焦點分別為F和F，右頂點為A，點P是雙曲線右支上的一點，設PF與雙曲線的左支相交于點Q，與漸近線y=x的交點為R，線段PQ的中點為M. 如果RF⊥PF，AM⊥PF，則雙曲線的離心率為________.

解析：由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得OR=c，則點R（a，b），所以直線PQ的斜率為k=，由垂徑定理可得k·k=，可推得k=. 聯立直線PQ和OM的方程，

y=（x+c），

y=

x，可推得點M

，

，點A（a，0）. 由k=-=-可得2a2-c2+ac=0，即e2-e-2=0，可解得e=2.

評析：本題目求雙曲線離心率的難點主要集中在曲線與直線、三角形的性質解析上，上述充分利用雙曲線的垂徑定理推理直線的斜率，簡化了求直線方程的過程. 垂徑定理使用時需關注兩點：一是否滿足使用條件;二是確定對應的模型.

[?]反思總結

圓錐曲線中的垂徑定理有著廣泛的應用性，深刻理解定理，把握定理模型，總結應用技巧是探究學習的重點，同時也是教學的難點，下面提出幾點建議.

建議一：類比探究，理解定理

橢圓和雙曲線的垂徑定理又稱為第三定義，在理解上存在一定難度. 教學中建議采用類比探究的方式，即先引導學生理解圓中的垂徑定理，總結定理結論，然后拓展探究，將定理類比到橢圓和雙曲線中，幫助學生深刻理解，強化定理.

建議二：數形結合，模型總結

垂徑定理是基于一定的數學模型形成的規律結論，理解模型與結論的對應關系是關鍵，也是定理應用的基礎. 教學中建議采用數形結合、模型總結的方式，即引導學生探究定理成立的條件，提取所涉直線，基于曲線方程歸納結論. 從上述探究過程可知所涉模型較為眾多，教學中可重點歸納，總結模型特征，完善垂徑定理的模型體系.

建議三：總結策略，強化應用

垂徑定理有著極高的應用價值，指導學生掌握應用方法是教學重點. 學生在應用時存在一定的誤區，容易忽視定理成立的條件. 教學中有必要關注定理成立的條件，總結相應的應用策略，可構建“圖像解讀→條件探索→關聯模型→應用轉化→問題破解”的解題步驟，即引導學生先理解圖像，判斷定理是否可用，然后基于定理模型進行應用轉化，最后完成問題解答.