體驗突破過程 生成解題模板

仲菲 劉希武

[摘 ?要] 解析幾何探究題教學時要注重思路分析、方法總結，必要時可形成相應的解題模板輔助學生解題. 文章以一道直線與橢圓問題為例，探究解題過程，提煉問題解法，生成解題模板，同時反思教學，提出相應的建議.

[關鍵詞] 解析幾何;橢圓;直線;模板;思想方法

直線與圓錐曲線方程是高中的重要考查內容，問題設問形式也較為多樣，如參數范圍、線段最值、弦長中點、幾何面積等，問題的解析思路及分析運算是突破的難點所在，也是解題的關鍵. 實際上解題過程存在一些高效的模板，按照模板分步突破，構建思路可提高解題效率，下面進行解題探索.

[?]問題呈現

問題：設橢圓C的方程為+=1（a>b>0），點O為坐標的原點，點A是橢圓的上頂點，點B（，0）為橢圓的右焦點，AB的中點為點D，且OD⊥AB，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程.

（2）直線l過原點，且斜率為正數，與橢圓C交于點P和Q，分別作PE⊥x軸，QF⊥x軸，設垂足分別為點E和F，連接QE和PF并延長，與橢圓C交于點M和N.

①試判斷△PQM的形狀;

②試求四邊形PMQN面積的最大值.

[?]突破解析

上述是一道以橢圓為背景的解析幾何綜合題，共分兩問. 第一問為傳統的求圓錐曲線方程，采用待定系數法即可;第二問融合橢圓與幾何圖形，分為兩小問，分別從幾何形狀和面積屬性進行探究，解析的關鍵是聯系函數與幾何知識，根據對應問題的解題模板構建思路.

（1）可設橢圓的半焦距為c，由題意可得OD⊥AB，點D為AB的中點，所以b=c=，則a2=b2+c2=4，故橢圓的方程為+=1.

（2）①該問探究△PQM的形狀，初步判斷為直角三角形，則三角形兩條直角邊的斜率之積為-1，故可從直線斜率入手來構建思路. 聯立直線與橢圓方程，計算相關交點坐標，推導對應直線的斜率，進而完成三角形形狀判斷，具體過程如下.

[?]解后反思

解析幾何是高中數學的重點內容，上述基于一道直線與橢圓綜合題開展解題探究，并總結了相應的解題模板，整個探究過程有著一定的教學價值，有助于學生整合知識，總結解法策略，下面基于教學實踐，提出幾點建議.

1. 基于屬性探究解題策略

高中數學知識的內容十分豐富，問題類型也多樣，針對不同類型的問題需要基于本質屬性開展策略探究，形成相應的解題模板. 如解析幾何的核心內容是數形結合，利用代數方程求解幾何問題是常用的方法策略，可利用解析法探究圖形性質. 分析時將圖形置于坐標系中，讓“形”與“數”對應互動，即將點轉化為坐標，將曲線變為代數方程，充分挖掘坐標系圖形中的幾何特征，利用數式和數量關系具體化求解，具體步驟如圖1. 如上述在探究圖形形狀時，從斜率入手，聯立方程推導直線斜率，利用斜率之積為-1的幾何意義確定了圖形的特征. 教學時建議采用數形結合的方法，引導學生觀察直觀圖形，思考圖形特征，引導學生從代數角度進行關聯論證，逐步培養學生的空間幾何觀和推理論證能力.

2. 基于思路研究基礎方法

解題探究需要關注解析過程中的一些常見方法、技巧，注重概括解法步驟、計算公式、優化方法等. 如探究解析幾何問題時使用函數與方程思想，對于曲線上的動點，根據變化過程的相關聯系來構建函數關系，將問題轉化為研究變化參數的函數問題. 對于多情形或位置關系不確定的問題，合理使用分類討論思想，深入討論直線的斜率是否存在、直線的位置關系等. 探究解析幾何中的不明直線與曲線時，采用參數構造法，基于直線斜率、曲線方程、點位置設定參數，利用參數范圍刻畫曲線或直線的變化范圍，從而將研究對象轉化為含有參數的函數、方程或不等式等. 教學中建議探究基礎方法時立足方法思想，讓學生理解其中的思想內涵，掌握方法精髓，培養學生的數學思想，提升學生的解題能力.