數(shù)學(xué)啟蒙活動(dòng)

郭澄東

數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)科，但是另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更象一門實(shí)驗(yàn)性的學(xué)科”，實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)教學(xué)是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的教學(xué)的發(fā)展和充實(shí)，在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、探究能力、創(chuàng)新意識(shí)等方面，實(shí)驗(yàn)教學(xué)有著其它傳統(tǒng)教學(xué)手段無法實(shí)現(xiàn)的功效。而折紙是學(xué)生最熟悉的游戲之一。利用折紙可以做成許許多多我們熟悉的幾何圖形。可以說是一種數(shù)學(xué)啟蒙活動(dòng)。

下面就談一談如何用矩形紙片折一些常見的幾何圖形。

一、折正方形

找一張長方形紙片ABCD

（1）把紙片折一個(gè)角，使DA邊落在DC上，折痕為DE，如圖（1）

（2）過點(diǎn)E將ABCD對(duì)折，折痕為EA/，得正方形ADA/E，如圖（2）

證明：由折疊知 ，

又∵ ， 。

二、折正三角形

找一張矩形紙片ABCD

（1）先把矩形ABCD對(duì)折，使BC邊與AD邊重合。折痕為MN，如圖（3）

（2）把紙片折一個(gè)角，使B點(diǎn)落在折痕MN上，折痕為AE，如圖（4）

（3）把梯形紙片AECD沿EB線折疊，折痕為EF，如圖（5），則△EAF為正三角形。

證明：由折疊知BC∥MN∥AD，Rt△ABE≌Rt△AB/E，∴∠1=∠3

由平行線等分線段定理，∵CN=DN，∴EB/=FB/

∴Rt△AEB/≌Rt△AFB/（SAS），∴AE=AF，∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3

∴∠1=∠2=∠3=30°∴∠EAF=60°，又∵AE=AF，

∴△EAF為正三角形。

三、折正六邊形

找一張正三角形紙片△ABC

（1）先把正三角形△ABC對(duì)折，使點(diǎn)B，C重合，折痕為AD，展開后再對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，折痕為BE，兩折痕的交點(diǎn)為O

（2）折疊∠A，使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，折痕為FK，

（3）折疊∠B，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，折痕為GH，

（4）折疊∠C，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，折痕為IJ，則六邊形FGHIJK為正六邊形。

證明：由作圖知，O為△ABC的重心，

假設(shè) AB=AC=BC=a，則 ，

由折疊知 ，△AFK為等邊三角形。

易證： ，同理

所以六邊形FGHIJK為正六邊形。

四、折黃金矩形

黃金矩形就是長寬比為 的矩形，它在建筑上、美學(xué)上有很多的應(yīng)用。

找一張矩形紙片ABCD

（1）把紙片折一個(gè)角，使DA邊落在DC上，折痕為DE，如圖（8）

（2）過點(diǎn)E把ABCD對(duì)折，得正方形ADFE，折痕為EF，如圖（9）

（3）把正方形ADFE沿EB線折疊，使AD與EF重合，折痕為GH，如圖（10）

（4）把矩形HCBG折一個(gè)角，使HC過E點(diǎn)，HC與E點(diǎn)重合的點(diǎn)記為J，如圖（11）

（5）過點(diǎn)J對(duì)折矩形，折痕為IJ，如圖（12），

則矩形AIJD是一個(gè)黃金矩形。

證明：正方形ADFE中，設(shè) ，由折疊知

圖（11）中，

矩形ADJI中，

∴矩形AIJD是一個(gè)黃金矩形。

五、折黃金三角形

黃金三角形是指底腰比為 的等腰三角形，它在建筑上和美學(xué)上有著重要和廣泛的應(yīng)用。

找一張黃金矩形紙片ABCD

（1）將AB翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上A/處，折痕為BG，

（2）將矩形A/GDC對(duì)折，折痕為EF，

（3）把矩形ABCD對(duì)折一個(gè)角，使點(diǎn)C恰好落在折痕EF上的點(diǎn)C/處，折痕為BH，則△BCC/為黃金三角形。如圖（13）

證明：設(shè)

∵ABCD為黃金矩形，

，（13）

，

∽ ，

，即△BCC/為黃金三角形。

通過折紙游戲，讓學(xué)生在思考中，在想象中，在表演中，在動(dòng)手中，在觀察中感到數(shù)學(xué)的無處不在，感到數(shù)學(xué)的奇妙無窮，喚起他們潛在的好奇心與學(xué)習(xí)探究渴望，更為重要的是，讓數(shù)學(xué)的抽象概念與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)做如此的連續(xù)鏈接，調(diào)動(dòng)學(xué)生潛在的經(jīng)驗(yàn)性理解，這有助于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中更好地，更深刻地理解概念。