2021年高考“立體幾何”專(zhuān)題解題分析

黃仙萍 洪武定

摘? 要：對(duì)2021年的10份高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行整理與分析，從考點(diǎn)、解題方法角度進(jìn)行梳理，基于學(xué)生解題出現(xiàn)困惑的原因，在分析高考試題的基礎(chǔ)上，對(duì)解題教學(xué)提出建議.

關(guān)鍵詞：2021年高考;立體幾何;解題分析

立體幾何問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力的重要載體. 2021年的高考數(shù)學(xué)試卷共有10份：全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、浙江卷、天津卷. 其中，涉及的立體幾何試題多為基礎(chǔ)題或中檔題，主要考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，結(jié)合生活實(shí)際，關(guān)注科技發(fā)展和進(jìn)步，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 下面主要圍繞全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷，并兼顧北京卷、上海卷、浙江卷等進(jìn)行立體幾何高考試題的解題分析.

一、試題分析

1. 題型、題量、題序分布合理，難度穩(wěn)定

在2021年的高考數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何部分基本上每份試卷都有兩道客觀題和一道主觀題，題序位于第4 ～ 19題，分值穩(wěn)定在22分左右，占比約15%. 題型、題量、題序和難度與2020年基本保持一致. 每種題型都有，且在2021年新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了立體幾何的多項(xiàng)選擇題. 高考立體幾何試題多以規(guī)則且常見(jiàn)的錐體、柱體為載體，相似度較高，分文、理科的數(shù)學(xué)試卷中以姊妹題的形式呈現(xiàn)，以相同的立體圖形為載體，但是文科試題的難度比理科試題略低. 對(duì)于該專(zhuān)題的考查要求來(lái)說(shuō)，學(xué)生可達(dá)成度較高.

2. 核心知識(shí)重點(diǎn)考查，覆蓋面廣

2021年高考中，立體幾何試題考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋了基本立體圖形、三視圖與直觀圖、表面積與體積、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（平行與垂直、角度與距離），以及利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題等，聚焦核心知識(shí)進(jìn)行考查. 因此，在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中要突破各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（平行與垂直、角度與距離）要強(qiáng)化訓(xùn)練，嘗試一題多解.

3. 結(jié)合生活實(shí)際，關(guān)注科技進(jìn)步

將降雨量、三角高程測(cè)量法及衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)作為試題情境，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活、生產(chǎn)、科技發(fā)展密不可分，潛移默化地讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的，且是其他學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)，考查學(xué)生的閱讀理解能力，以及直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 因此，在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，要多關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，提高他們的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模能力.

二、 解法分析

1. 三視圖，緊抓數(shù)量與位置關(guān)系、借助基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征還原出直觀圖

三視圖在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要的作用，試題一般都給出三視圖或部分，讓學(xué)生還原出直觀圖或者補(bǔ)全剩余的三視圖. 在解題過(guò)程中，學(xué)生容易忘記結(jié)合數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系聯(lián)系地去看三視圖，或者聯(lián)想對(duì)應(yīng)的空間幾何體并進(jìn)行切割，從而還原三視圖.

例1 （全國(guó)乙卷·文 / 理16）以圖1（1）為正視圖，在圖1（2） ～ 圖1（5）中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為? ? ? .（填符合要求的一組答案即可.）

簡(jiǎn)解：由提供的三視圖可知，還原的直觀圖應(yīng)該是從長(zhǎng)方體中截出來(lái)的，如圖2和圖3所示. 在長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=BC=2，BB1=1]，[E，F(xiàn)]分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn). 選擇側(cè)視圖為圖1（3），俯視圖為圖1（4），對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐[E-ADF]，如圖2所示. 或選擇側(cè)視圖為圖1（2），俯視圖為圖1（5），對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐[E-BFC]，如圖3所示.

【評(píng)析】此題已知三視圖的可能情況，聯(lián)想到相應(yīng)的直觀圖是從長(zhǎng)方體中截出來(lái)的，這樣能降低思維的難度. 抓住三視圖的實(shí)線、虛線，以及長(zhǎng)、寬、高的數(shù)量關(guān)系和線與面的位置關(guān)系，對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行分割，得到多組答案，要求學(xué)生能夠靈活選擇. 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，并基于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系分析、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使他們不僅能夠大膽猜想空間幾何體，也能夠擁有修正、完善空間幾何體的意識(shí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高思維能力.

2. 體積與表面積，緊扣幾何體的結(jié)構(gòu)特征求出關(guān)鍵的幾何量

以生活、科技等為情境的試題越來(lái)越受到青睞. 這類(lèi)試題對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查要求不高，學(xué)生卻經(jīng)常遇到困難. 究其原因，主要是試題文字表述長(zhǎng)且專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)多，學(xué)生不能透徹理解題意. 尤其是對(duì)于沒(méi)有給出圖形的試題，學(xué)生自己畫(huà)圖的難度較大. 求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要先讓學(xué)生讀懂題意，然后根據(jù)題意畫(huà)出圖形，明確問(wèn)題描述的幾何量或求出關(guān)鍵的幾何量.

例2 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·4）衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為[36 000 km]（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）. 把地球看成一個(gè)球心為[O]、半徑為[6 400 km]的球，其上點(diǎn)[A]的緯度是指[OA]與赤道所在平面所成角的度數(shù). 地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為[α]，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積[S=2πr21-cosα]（單位：[km2]），則[S]占地球表面積的百分比為（? ? ）.

（A）26%? （B）34%? （C）42%? （D）50%

簡(jiǎn)解：如圖4，設(shè)地球的半徑為[r]，軌道高度為[h]，則有[cosα=rr+h]，[S=2πr21-cosα=2πr2hr+h]. 由此可得，[2πr2hr+h4πr2=36 000236 000+6 400≈0.42]. 故答案選C.

【評(píng)析】此題以衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為載體，文字信息量比較大，只給文字不給圖形，學(xué)生在理解軌道高度和點(diǎn)[A]的緯度時(shí)比較困難. 同時(shí)，該題涉及信號(hào)覆蓋的地球表面積和地球表面積，學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言時(shí)會(huì)感到困難. 因此，在日常教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要用好教材及教材中的閱讀與思考欄目，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和理解能力，還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神.

3. 外接球問(wèn)題，確定球心位置、挖掘截面圓性質(zhì)

球體是一種很重要的幾何體. 在高考試題中，主要考查球體與其他幾何體的接和切. 畫(huà)組合體的直觀圖是學(xué)生解題時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，需要學(xué)生不僅有降維思想，還要明確相關(guān)的幾何性質(zhì).

例3 （全國(guó)甲卷·理11）已知[A，B，C]是半徑為[1]的球[O]的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且[AC⊥BC]，[AC=BC=1]，則三棱錐[O-ABC]的體積為（? ? ）.

（A）[212] ? （B）[312]? （C）[24]? （D）[34]

簡(jiǎn)解：如圖5，因?yàn)閇AC⊥BC]，[AC=BC=1]，所以[△ABC]為等腰直角三角形，所以[AB=2]. 故[△ABC]外接圓的半徑為[22]. 設(shè)點(diǎn)[O]到平面[ABC]的距離為[d]. 因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以[d=12-222=22]. 由此可得，[VO-ABC=13S△ABCd=13×12×1×1×22=212]. 故答案選A.

【評(píng)析】此題是考查球內(nèi)幾何體的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系. 在多面體外接球的表面積或體積問(wèn)題中，還有一種是多面體是從長(zhǎng)方體或者正方體中切割出來(lái)的，解題時(shí)需要將多面體還原到相應(yīng)的長(zhǎng)方體或正方體中，從而可得體對(duì)角線的長(zhǎng)便是多面體外接球的直徑. 這種多面體通常是有公共頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直，或者相對(duì)的棱長(zhǎng)相等，或者是正四面體. 由此可見(jiàn)，在復(fù)習(xí)備考時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從宏觀和微觀角度認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征尤為重要.

4. 平行、垂直關(guān)系的判斷，直線與平面的靈活轉(zhuǎn)化是核心

直線與平面平行、垂直的判斷與證明能很好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力. 解題的核心是運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)直線與平面的靈活轉(zhuǎn)化，難點(diǎn)是如何尋找與轉(zhuǎn)化.

例4 （浙江卷·6）如圖6，已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]，[M，N]分別是[A1D，D1B]的中點(diǎn)，則（? ? ）.

簡(jiǎn)解：如圖7，連接[AD1]，由[A1D⊥]平面[ABD1]，得直線[A1D]與直線[D1B]垂直. 因?yàn)閇MN∥AB]，[MN][?]平面[ABCD]，所以[MN∥∥]平面[ABCD]. 故答案選A.

【評(píng)析】此題以正方體為載體，考查異面直線位置關(guān)系的判斷，線面垂直的定義和判定定理，以及線面平行的判定定理. 判斷線面垂直，一般有幾何法和代數(shù)法. 幾何法轉(zhuǎn)化成線線垂直，或者由面面垂直獲得，或者平移直線計(jì)算異面直線所成的角為[90°];代數(shù)法用空間向量計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與平面的法向量共線. 判斷線面平行可以借助線線平行（通常借助平行四邊形或者三角形的中位線），也可以借助面面平行（構(gòu)造輔助的平行平面，通常是尋找第三個(gè)頂點(diǎn)，它與已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)連線都與已知平面內(nèi)的兩條直線平行）. 當(dāng)然，用空間向量計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量垂直也可以. 復(fù)習(xí)過(guò)程中，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度看待同一個(gè)問(wèn)題，靈活轉(zhuǎn)化，還要讓學(xué)生做到推理有據(jù)，書(shū)寫(xiě)有序.

5. 定值問(wèn)題，以靜制動(dòng)

在立體幾何問(wèn)題中，在有些立體圖形的變化過(guò)程中，某些元素的幾何量保持不變，或者性質(zhì)、位置關(guān)系保持不變，我們把這樣的問(wèn)題叫做定值問(wèn)題. 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是化動(dòng)為靜，挖掘出不變量. 如果只看到動(dòng)，卻看不到動(dòng)點(diǎn)形成定線、動(dòng)線形成定面、動(dòng)中不變的位置關(guān)系，就會(huì)影響解題.

例5 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=AA1=1]，點(diǎn)[P]滿(mǎn)足[BP=λBC+][μBB1]，其中[λ∈0，1]，[μ∈0，1]，則（? ? ）.

（A）當(dāng)[λ=1]時(shí)，[△AB1P]的周長(zhǎng)為定值

（B）當(dāng)[μ=1]時(shí)，三棱錐[P-A1BC]的體積為定值

（C）當(dāng)[λ=12]時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)[P]，使得[A1P⊥BP]

（D）當(dāng)[μ=12]時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)[P]，使得[A1B⊥⊥]平面[AB1P]

簡(jiǎn)解：對(duì)于選項(xiàng)A，如圖8，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[CC1]，設(shè)[CP=t]，則[AP+B1P=1+t2+1+1-t2]，顯然不是定值.

對(duì)于選項(xiàng)B，如圖9，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[B1C1]. 因?yàn)閇B1C1∥]平面[A1BC]，所以[B1C1]上任意點(diǎn)到平面[A1BC]的距離都相等. 因?yàn)閇△A1BC]的面積是定值，所以三棱錐[P-A1BC]的體積也為定值.

對(duì)于選項(xiàng)C，如圖10，分別取[BC，B1C1]的中點(diǎn)[M，N]，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[MN]. 設(shè)[MP=m]，則[BP2=][14+m2，A1P2=34+1-m2]. 當(dāng)[14+m2+34+1-m2=2]，即[m=0]或[m=1]時(shí)，[A1P⊥BP]. 此時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)[P].

對(duì)于選項(xiàng)D，如圖11，分別取[BB1，CC1]的中點(diǎn)[K，S]，點(diǎn)[P]的軌跡是線段[KS]. 取線段[B1C1]的中點(diǎn)[Q]，連接[BQ，A1Q]，則[A1B]在平面[BC1]上的射影為[BQ]. 若[B1P⊥BQ]時(shí)[B1P⊥A1B]，那么此時(shí)有唯一的點(diǎn)[P]為線段[CC1]的中點(diǎn)[S]. 又因?yàn)閇A1B⊥AB1]，所以[A1B⊥⊥]平面[AB1P]. 故答案選BD.

【評(píng)析】研究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律及形成的軌跡是用幾何法解決定值、最值問(wèn)題的關(guān)鍵. 該題要先根據(jù)向量的線性關(guān)系式確定動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡. 選項(xiàng)A和選項(xiàng)B是立體幾何中的定值問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)[P]引起[△AB1P]和三棱錐[P-A1BC]的變化. 有些學(xué)生不能正確解答，是因?yàn)橹煌Ａ粼凇皠?dòng)”的表面，沒(méi)有挖掘“動(dòng)”背后的“定”. 至于周長(zhǎng)、體積是否隨著動(dòng)點(diǎn)[P]的變化而變化，還是要看基本量的長(zhǎng)度、高度是否有變化. 因此，解題的本質(zhì)還是看動(dòng)點(diǎn)形成定線或定面后是否保持不變的位置關(guān)系，即變中的不變性. 選項(xiàng)C關(guān)于線線垂直，可以用勾股定理進(jìn)行求解. 選項(xiàng)D將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題進(jìn)行判斷. 當(dāng)然，這種類(lèi)型的問(wèn)題也可以借助空間向量解決，但是解決立體幾何客觀題提倡用幾何法.

6. 空間角，善轉(zhuǎn)化，三角形里去求解

空間角是刻畫(huà)線線、線面、面面之間位置關(guān)系的基本量，在每一份高考數(shù)學(xué)試卷中都有出現(xiàn). 對(duì)于線面角和面面角，學(xué)生用幾何法求解的易錯(cuò)點(diǎn)是找不到平面的垂線，借助空間向量法求解的易錯(cuò)點(diǎn)是容易計(jì)算錯(cuò)誤.

（1）求異面直線所成的角，平移成三角形的內(nèi)角或者補(bǔ)角.

例6 （全國(guó)乙卷[·]文10 / 理5）在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P]為[B1D1]的中點(diǎn)，則直線[PB]與[AD1]所成的角為（? ? ）.

（A）[π2]? ?（B）[π3]? ?（C）[π4]? ?（D）[π6]

簡(jiǎn)解：（方法1）如圖12，連接[BC1，PC1]，求解[Rt△BC1P]中的[∠PBC1]，具體過(guò)程略.

（方法2）如圖13，連接[BC1，A1C1，A1B]. 因?yàn)閇AD1∥][BC1]，所以[∠PBC1]或其補(bǔ)角為直線[PB]與[AD1]所成的角. 由[△A1BC1]是正三角形，可知[∠PBC1=π6]. 故答案選D.

【評(píng)析】此題是求異面直線所成角的問(wèn)題，通常是通過(guò)平移直線把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角或者補(bǔ)角. 如果在題目給出的幾何體中平移直線不方便，也可以先補(bǔ)形然后再平移直線. 當(dāng)然，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，借助兩個(gè)向量的夾角確定異面直線所成的角，但是這種方法運(yùn)算量比較大，學(xué)生容易算錯(cuò). 不妨借助常規(guī)圖形，把關(guān)注的角轉(zhuǎn)化到三角形中去研究，很快即可求解. 因此，要讓學(xué)生樹(shù)立長(zhǎng)方體和正方體是個(gè)“聚寶盆”的觀念.

（2）求線面角或面面角，幾何法與向量法是基礎(chǔ).

例7 （浙江卷[·]19）如圖14，在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是平行四邊形，[∠ABC=120°，AB=1，][BC=4]，[PA=15]，[M]，[N]分別為[BC，PC]的中點(diǎn)，[PD⊥][DC，PM⊥MD].

（1）證明：[AB⊥PM];

（2）求直線[AN]與平面[PDM]所成角的正弦值.

（1）證明：在[△DCM]中，[∠DCM=60°?]，[DC=1]，[CM=2]. 由余弦定理，得[DM=3]. 所以[DM2+][DC2=CM2]. 所以[DM⊥DC]. 由題意，知[DC⊥PD]且[PD?][DM=D]. 所以[DC⊥]平面[PDM]. 而[PM?]平面[PDM]，所以[DC⊥PM]. 又因?yàn)閇AB∥DC]，所以[AB⊥PM].

（2）簡(jiǎn)解：（方法1）空間向量法. 建立空間直角坐標(biāo)系如圖15所示，具體過(guò)程略.

（方法2）幾何法. 延長(zhǎng)[AB]交直線[DM]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[H]，如圖16所示. 因?yàn)閇CD∥AB，CD⊥DM]，所以[AH⊥DM]. 又由第（1）小題知[PM⊥]平面[ABCD]，[PM?]平面[PDH]，所以平面[PDH⊥]平面[ABCD]. 所以[AH⊥]平面[PDH]，即點(diǎn)[A]到平面[PDH]的距離為[AH]的長(zhǎng)度. 而[AH=2]，點(diǎn)[C]到平面[PDH]的距離[CD]的長(zhǎng)度為1，那么點(diǎn)[N]到平面[PDH]的距離為[12]. 取[CM]的中點(diǎn)[K]，連接[NK，AK]，由[NK∥PM]，知[NK⊥]平面[ABCD]，[NK=][12PM=2]，[AK2=AB2+BK2-2 · AB · BK · cos120°=13]，所以[AN=][NK2+AK2=15]. 設(shè)[AN]與平面[PDM]所成的角為[θ]，則[sinθ=2+1215=156].

（方法3）如圖17，取[CM]的中點(diǎn)[K]，[CD]的中點(diǎn)[T]，連接[NK，NT，TK]. 易證平面[PDM∥]平面[NTK]. 延長(zhǎng)[TK]與[AB]交于點(diǎn)[R]. 由方法2，知[AR⊥DM]，[DM∥TK]，則[AR⊥TR]. 再由[AR⊥]平面[PMD]，得[AR⊥]平面[NTR]. 所以[∠ANR]的大小為所求線面角的大小.

如圖18，在[△NRT]中，[NK=12PM=2]，[TK=][12DM=32]，[NT=NK2+KT2=112]，[KR=3TK=332]. 則[NR=NK2+KR2=2+274=352]. 因?yàn)閇AR=52]，所以[tan∠ANR=ARNR=52352=357]. 則[sin∠ANR=3584=156.]

【評(píng)析】此題是線面角問(wèn)題，這是立體幾何中的核心問(wèn)題之一，通常有多種解法. 學(xué)生的困惑是，若用幾何法，平面[PDM]的垂線及斜足都沒(méi)有明確;若用空間向量法，兩兩互相垂直需要證明，運(yùn)算也容易出錯(cuò). 事實(shí)上，難點(diǎn)的突破方法還是常規(guī)的，尋找平面[PDM]的垂線一定要用好輔助的垂面[ABCD]，斜足的尋找可以平移平面或平移直線或找斜線與平面的交點(diǎn)（可以構(gòu)造經(jīng)過(guò)直線的平面與該平面的交線）. 當(dāng)然，如果找到了斜足，不一定非得把平面的垂線作出來(lái)，能計(jì)算出斜線上不是斜足的點(diǎn)到平面的距離即可（可以采用等體積法）. 空間向量法需要強(qiáng)化證明兩兩互相垂直，然后仔細(xì)計(jì)算.

7. 探索性問(wèn)題，不妨假設(shè)存在后再求解

立體幾何中的探索性問(wèn)題是對(duì)平行、垂直的探究，一般的設(shè)問(wèn)方式是“是否存在這樣的點(diǎn)，使得……如果存在，給予證明;如果不存在，給予說(shuō)明”，或者“當(dāng)……時(shí)，使得……”.

例8 （全國(guó)甲卷·理19）如圖19，已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，側(cè)面[AA1B1B]為正方形，[AB=BC=2]，[E，F(xiàn)]分別為[AC]和[CC1]的中點(diǎn)，[D]為棱[A1B1]上的點(diǎn)，[BF⊥A1B1].

（1）證明：[BF⊥DE];

（2）當(dāng)[B1D]為何值時(shí)，面[BB1C1C]與面[DEF]所成的二面角的正弦值為最小？

（1）證明：因?yàn)槿庵鵞ABC-A1B1C1]是直三棱柱，所以[BB1⊥]底面[ABC]. 所以[BB1⊥AB]. 因?yàn)閇A1B1∥AB]，[BF⊥A1B1]，所以[BF⊥AB]. 又因?yàn)閇BB1?BF=B]，所以[AB⊥]平面[BB1C1C]. 所以[BA，BC，BB1]兩兩垂直.

如圖20，以點(diǎn)[B]為原點(diǎn)，分別以[BA，BC，BB1]所在直線為[x]軸、[y]軸和[z]軸建立空間直角坐標(biāo)系，則[B0，0，0]，[A2，0，0]，[C0，2，0]，[B10，0，2]，[A12，0，2]，[C10，2，2]，[E1，1，0]，[F0，2，1].

由題設(shè)，知[Da，0，2]（[0≤a≤2]）.

因?yàn)閇BF=0，2，1]，[DE=1-a，1，-2]，所以[BF · DE=0 · 1-a+2 · 1+1 · -2=0]. 故[BF⊥DE].

（2）簡(jiǎn)解：設(shè)平面[DFE]的法向量為[m=x，y，z]. 由[EF=-1，1，1， DE=1-a，1，-2]，得[m · EF=0，m · DE=0.]所以[-x+y+z=0，1-ax+y-2z=0.] 令[z=2-a]，可以得到[m=][3，1+a，2-a]. 設(shè)平面[BB1C1C]與平面[DEF]的二面角的平面角為[θ]. 因?yàn)槠矫鎇BB1C1C]的法向量為[BA=][2，0，0]，則有[cosθ=m · BAmBA=622a2-2a+14=][32a2-2a+14]. 當(dāng)[a=12]時(shí)，[2a2-2a+14]取最小值，最小值為[272]，此時(shí)[cosθ]取最大值，最大值為[3272=63]. 所以[sinθmin=1-632=33]. 此時(shí)[B1D=12].

【評(píng)析】此類(lèi)問(wèn)題一般是假設(shè)符合條件的圖形存在，然后通過(guò)推理求解或論證說(shuō)明. 它是幾何問(wèn)題數(shù)量化的典型題型之一，一般采用空間向量法求解. 若未知點(diǎn)是特殊位置（如中點(diǎn)），用幾何法求解也是不錯(cuò)的選擇.

三、試題解法欣賞

對(duì)于同一道立體幾何問(wèn)題，我們從多個(gè)角度進(jìn)行觀察，可以獲得不同的解法. 一題多解，可以幫助學(xué)生拓寬解題思路，有利于培養(yǎng)他們的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.

例9 （全國(guó)乙卷·理18）如圖9，四棱錐[P-ABCD]的底面是矩形，[PD⊥]底面[ABCD]，[PD=DC=1]，[M]為[BC]的中點(diǎn)，且[PB⊥AM].

（1）求[BC];

（2）求二面角[A-PM-B]的正弦值.

簡(jiǎn)解：（1）該題既可以用空間向量法求解，也可以用幾何法求解. 具體過(guò)程略.

（2）（方法1）空間向量法，具體過(guò)程略.

（方法2）如圖22，平面[PMB]與平面[PMBG]是同一個(gè)平面. 過(guò)點(diǎn)[A]作[AF⊥BG]于點(diǎn)[F]，過(guò)點(diǎn)[A]作[AE⊥PM]于點(diǎn)[E]，連接[EF]. 由[BM⊥]平面[ABG]，得[BM⊥AF]，則[AF⊥]平面[BMPG]，則由三垂線定理得[∠AEF]就是二面角[A-PM-B]的平面角. 在[△APM]中，[AP=3]，[AM=62，PM=102]，則[AE=355]. 因此[sin∠AEF=][AFAE=7014].

（方法3）如圖23，連接[BD]交[AM]于點(diǎn)[G]. 因?yàn)閇PD⊥]平面[ABCD]，所以[BD]為[PB]在平面[ABCD]上的射影. 由[PB⊥AM]，得[AM⊥BD]. 再由[AM⊥PD]，[PD?][BD=D]，得[AM⊥]平面[PBD]. 而[AM?]平面[PAM]，所以平面[PAM⊥]平面[PBD]. 過(guò)點(diǎn)[B]作[BH⊥PG]于點(diǎn)[H]，過(guò)點(diǎn)[H]作[HI⊥PM]于點(diǎn)[I]，連接[BI]. 由三垂線定理，知[∠BIH]為所求二面角的平面角. 因?yàn)閇BH=17]，由相似比得[BM=CM=22]. 所以[PM=2+12=102]. 所以[BI=1102=105]. 故[sin∠BIH=BHBI=17105=7014].

（方法4）由方法3知，點(diǎn)[B]到直線[PM]的距離[BI=][105]. 設(shè)點(diǎn)[B]到平面[PAM]的距離[BH=h]. 由等體積法，得[VP-ABM=VB-PAM]. 在[△PAM]中，[PA=3]，[PM=][102，AM=62]，則[cos∠PAM=PA2+AM2-PM22PA · AM=189]. 所以[sin∠PAM=1-29=73].? 所以[S△PAM=12PA ·AM ·][sin∠PAM=144]. 所以[h=3VP-ABMS△PAM=24144=][77]. 將所求二面角記為[θ]，則[sinθ=hBI=7014].

【評(píng)析】此題的第（1）小題是基于垂直關(guān)系的長(zhǎng)度計(jì)算問(wèn)題，第（2）小題是空間角中的面面角問(wèn)題. 該題較好地將幾何的邏輯推理與代數(shù)的向量計(jì)算融合到一起，既可以運(yùn)用幾何法求解也可以運(yùn)用空間向量法求解. 在二面角的解決過(guò)程中，主要用到三垂線定理及其逆定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理. 常用的有以下幾種方法：定義法，三垂線法，射影法，空間向量法，等體積法（本質(zhì)上計(jì)算出一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離）. 幾何法書(shū)寫(xiě)要注意三個(gè)步驟：一作，二證，三解. 解題教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不僅一題多解，還要多題歸一，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.

立體幾何在高考中的考查經(jīng)久不衰，且難度適中. 在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要讓學(xué)生重視立體幾何，鍛煉自己的空間想象能力，還要用好的教法引領(lǐng)學(xué)生學(xué)好立體幾何. 教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生形成由整體到局部再到整體，由形到數(shù)、由數(shù)想形，從特殊到一般等思維方法，積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化對(duì)核心知識(shí)的理解與運(yùn)用. 同時(shí)，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，善用基本立體圖形，以題為載體，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向進(jìn)行教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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[3]徐新斌，蔣志方，周遠(yuǎn)方. 2019年高考“立體幾何”專(zhuān)題解題分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（7 / 8）：111-119.