2021年高考“直線和圓的方程”專題命題分析

王瑞雪

摘? 要：針對2021年高考數(shù)學試卷中直線和圓的方程相關試題，從以下幾個方面論述了對直線和圓的方程多層次、多角度考查的基本特點：立足基礎知識，考查通性、通法;注重思維過程，突出能力立意;知識內(nèi)涵深刻，考查核心素養(yǎng);拓展知識廣度，體現(xiàn)選學內(nèi)容. 同時，提出了高考復習的教學建議.

關鍵詞：直線和圓的方程;數(shù)形結合思想;核心素養(yǎng)

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學課程內(nèi)容的四條主線之一，解析幾何是其重要組成部分. 直線和圓的方程是解析幾何初步的主要內(nèi)容，包括直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等. 直線與圓的位置關系歷來是高考考查的重點，這部分內(nèi)容充分體現(xiàn)了“用代數(shù)語言描述問題，借助幾何圖形形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數(shù)運算得到結果，并給出幾何解釋、解決問題”的過程，也是通過方程綜合運用運算方法解決問題的過程.

一、考點分析

2021年高考數(shù)學試卷中有關直線與圓的方程的試題，重點關注圖形幾何特征的代數(shù)轉化，并注重通性、通法，同時適度體現(xiàn)靈活運用圖形等技巧，滲透數(shù)形結合和分類討論的思想. 在向新高考平穩(wěn)過渡的過程中，突出數(shù)學學科核心素養(yǎng)立意，注重對基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查. 與2020年高考中有關直線與圓的方程的試題相比，全國甲卷和全國乙卷中增加了直線與圓的方程的解答題，全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷、浙江卷、上海卷、天津卷、北京卷相關部分的試題結構有所變化，上海卷增加了一道填空題，其他試卷增加了一道選擇題，占分比重有所提高，全國卷難度略有提高，其中，全國甲卷和全國乙卷文、理科的區(qū)別度進一步降低. 2021年高考數(shù)學試卷共10份，涉及解析幾何內(nèi)容的考查情況如下表所示.

[卷別 題型、題號 分值 全國甲卷（文） 選擇題5，填空題16，解答題21 22 全國甲卷（理） 選擇題5，填空題15，解答題20 22 全國乙卷（文） 選擇題11，填空題14，解答題20 22 全國乙卷（理） 選擇題11，填空題13，解答題21 22 全國新高考Ⅰ卷 選擇題5，選擇題11，填空題14，解答題21 27 全國新高考Ⅱ卷 選擇題3，選擇題11，填空題13，解答題20 27 北京卷 選擇題5，選擇題9，填空題12，解答題20 30 天津卷 選擇題7，填空題12，解答題18 25 浙江卷 選擇題9，填空題16，解答題21 25 上海卷 選擇題14，填空題3，填空題11，解答題20 30 ]

二、命題思路分析

2021年高考數(shù)學對直線與圓的方程的考查，仍然立足基礎知識，在方法上注重通性、通法，對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查有了進一步提升. 命題緊扣《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，讓教師充分認識到《標準》是考試評價的主要依據(jù)，從而引導教師在教學中認真落實《標準》.

1. 立足基礎知識，考查通性、通法

例1 （全國新高考Ⅰ卷·11）已知點[P]在圓[x-52+][y-52=16]上，點[A4，0，B0，2，] 則（? ? ）.

（A）點[P]到直線[AB]的距離小于[10]

（B）點[P]到直線[AB]的距離大于[2]

（C）當[∠PBA]最小時，[PB=32]

（D）當[∠PBA]最大時，[PB=32]

【評析】此題考查直線與圓的位置關系這一基礎知識. 在解題過程中學生需要理清相關的幾何特征. 對于選項A和選項B，要利用圓心到直線的距離和半徑的關系得到動點P到直線AB距離的最大距離和最小距離;對于選項C和選項D，要理清當∠PBA最小或最大時，PB與圓相切這一幾何特征，求出PB的長. 充分體現(xiàn)了對借助幾何圖形形成解題思路這一解析幾何通性、通法的考查.

例2 （天津卷·12）若斜率為[3]的直線與y軸交于點A，與圓[x2+y-12=1]相切于點B，則[AB]的值為? ? ? ? .

【評析】此題看似平常，實則對學生的基礎知識和數(shù)形結合思想有不同層次的要求. 學生可以設出直線，利用與圓相切求出直線方程，從而求出點A和點B的坐標來解決問題;也可以利用斜率為[3，] 得到直線的傾斜角為60°，利用直線與圓相切中直角三角形的邊角關系，求得線段AB的長;還可以結合兩種方法來解決問題. 此題能有效考查學生是否能夠靈活運用相關知識、數(shù)形結合思想、代數(shù)法和幾何法來解決問題.

2. 注重思維過程，突出能力立意

例3 （全國新高考Ⅱ卷·11）已知直線[l：ax+][by-r2=0 r>0]與圓[C：x2+y2=r2，] 點[Aa，b，] 則下列說法正確的是（? ? ）.

（A）若點A在圓C上，則直線[l]與圓C相切

（B）若點A在圓C內(nèi)，則直線[l]與圓C相離

（C）若點A在圓C外，則直線[l]與圓C相離

（D）若點A在直線[l]上，則直線[l]與圓C相切

【評析】此題考查了點與圓之間的位置關系的代數(shù)轉化形式，以及直線與圓的位置關系的判斷. 通過點在圓上、在圓內(nèi)、在圓外，得到對應的代數(shù)等式關系和不等關系作為已知，來判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關系，從而得到直線與圓的位置關系. 此題較好地考查了學生數(shù)形轉換的思維過程，通過幾何位置關系得到相應的方程或不等式，經(jīng)過運算得到結果確定位置關系. 這一思維主線體現(xiàn)了較強的數(shù)形結合思想運用，以及運算能力要求.

例4 （北京卷·9）已知直線[y=kx+m]（[m]為常數(shù)）與圓[x2+y2=4]交于點[M，N]. 當[k]變化時，若[MN]的最小值為2，則[m]的值為（? ? ）.

（A）±1 （B）[±2]

（C）[±3] （D）±2

【評析】此題條件簡潔清晰，對思維的目的性、邏輯性、靈活性、深刻性都有一定程度的要求，如果思維不清晰，很容易陷入龐雜的運算，浪費時間和精力. 此題能夠有效考查學生靈活運用數(shù)形結合思想解決問題的能力.

3. 知識內(nèi)涵深刻，考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)

例5 （全國甲卷·理20）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：[x=1]交C于P，Q兩點，且[OP⊥OQ]. 已知點[M2，0，] 且圓[M]與l相切.

（1）求C，圓[M]的方程;

（2）設[A1，A2，A3]是C上的三個點，直線[A1A2，] [A1A3]均與圓[M]相切. 判斷直線[A2A3]與圓[M]的位置關系，并說明理由.

【評析】此題作為一道綜合性試題，知識交會自然、簡潔且內(nèi)涵深刻，利用圓的相關知識考查學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是一大亮點. 此題要求學生有較高的代數(shù)運算能力和化簡能力，而且能運用數(shù)學概念、思想和方法弄清楚問題中的基本數(shù)量關系，弄清楚問題中哪些是本質(zhì)性的數(shù)量，利用點M到直線[A1A2]的距離，點M到直線[A1A3]的距離建立的兩個方程，觀察發(fā)現(xiàn)同一方程的解這一隱蔽條件及其作用，迅速抓住運算的實質(zhì)，善于分析問題結構，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，利用轉化與化歸思想將問題轉化為一元二次方程的解的問題來解決. 此題能有效考查邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)在教學中的落實情況.

4. 拓寬知識廣度，體現(xiàn)選學內(nèi)容

例6 （全國乙卷·理22）在直角坐標系[xOy]中，圓[C]的圓心為[C2，1，] 半徑為1.

（1）寫出圓[C]的一個參數(shù)方程;

（2）過點[F4，1]作圓[C]的兩條切線. 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.

【評析】此題重點考查在直角坐標系下圓的標準方程和參數(shù)方程的互化，以及直線方程轉化為極坐標方程. 此題為選考試題，考查內(nèi)容是高中數(shù)學知識與大學數(shù)學知識銜接的重要部分，需要學生有一定的知識基礎，能夠通過方程之間的轉化解決問題.

三、復習建議

1. 回歸教材，夯實“四基”

高考試題立足基礎，在穩(wěn)定的基礎上進行創(chuàng)新. 教材中的例題和習題起到了典型的示范作用. 回歸教材，就是要抓住知識的主脈絡，從更高觀點理解高中數(shù)學知識的本質(zhì)，讓學生通過對基本概念的理解、基本方法的領會、基本思想的體悟提升為對數(shù)學知識及其應用的本質(zhì)的理解.

2. 抓住推理，練好運算

在教學中，為了提高學生的邏輯思維能力，教師要結合專題教學的內(nèi)容，將邏輯思維能力的培養(yǎng)貫穿在各個章節(jié)中進行綜合訓練，使知識學習、運算技能、推理能力有機結合，相互促進. 練好運算要抓好審題訓練，想要做好一個運算問題，首先要看清問題的已知和待求，看懂題目中的基本數(shù)量關系，看透題目中隱含的條件及其作用，根據(jù)問題各元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，理出運算的思想方法，明確運算的目標和方向，同時要抓好運算優(yōu)化過程和運算方法的訓練. 數(shù)學運算是把要解決的運算問題轉化為具有確定解法和程序的規(guī)范的運算問題.

3. 注重通性、通法，突出數(shù)學思想

對于直線和圓的方程相關內(nèi)容的復習，不能單純把目標定位在知識的掌握上，要在解題方法和解題思想上進行深入研究，要反復強調(diào)坐標法在解析幾何中的作用，即使用代數(shù)的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì). 解題時要讓學生理清題目中蘊含的幾何特征，再將幾何問題代數(shù)化. 此外，還要充分重視數(shù)學思想方法在解析幾何中的運用，最突出的是數(shù)形結合思想，還有分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想. 要加強對數(shù)形結合、轉化與化歸等思想方法的應用，加強對學生形象思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

4. 把握數(shù)學主線脈絡，理解知識之間的關聯(lián)

高中數(shù)學內(nèi)容主要分為四條主線，既要關注同一主線內(nèi)容的邏輯關系，又要關注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關系，尤其要關注數(shù)學知識中所蘊涵的通性、通法和數(shù)學思想. 要引導學生利用數(shù)學思維分析解決數(shù)學問題的過程，領悟數(shù)學思想方法. 例如，轉化與化歸是數(shù)學研究的一般思想方法和解決問題的一種策略，這就需要我們在教學中不斷滲透、強調(diào)，讓學生體驗、學習、感悟這一思想方法.

四、模擬題賞析

1. 已知直線[x+y+2=0]分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓[x2+y2=1]上，則△ABP面積的取值范圍是（? ? ）.

（A）[2，22] （B）[2-2，2]

（C）[2-2，2+2] （D）[22，32]

答案：C.

2. 已知圓M：[x2+y2-2ay=0 a>0]截直線[x+][y=0]所得線段的長度是[22，] 則圓M與圓[N： x-12+][y-12=1]的位置關系是（? ? ）.

（A）內(nèi)切 （B）相交

（C）外切 （D）相離

答案：B.

3.（多選）直線l過點[P1，2]且與直線[x+ay-][3=0]平行，若直線l被圓[x2+y2=4]截得的弦長為[23，] 則實數(shù)a的值可以是（? ? ）.

（A）0 （B）[34]

（C）[43] （D）[-43]

答案：AD.

4. 已知直線l：[mx+y+3m-3=0]與圓[x2+y2=][12]交于A，B兩點，過點A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點. 若[AB=23]，則[m]的值為? ? ? ? ;[CD]的值為? ? ? ? .

答案：[-33;4.]

5. 圓C：[x2-1+ax+y2-ay+a=0.]

（1）若圓C與y軸相切，求圓C的方程;

（2）已知[a>1，] 圓C與x軸相交于兩點M，[N]（點M在點N的左側）. 過點M任作一條與x軸不重合的直線與圓O：[x2+y2=9]相交于兩點A，[B.] 是否存在實數(shù)a，使得[∠ANM=∠BNM]？若存在，求出實數(shù)a的值;若不存在，說明理由.

答案：（1）[x2-x+y2=0]或[x2+y2-5x-4y+4=0;]

（2）存在[a=9，] 使得[∠ANM=∠BNM.]

6. 在平面直角坐標系[xOy]中，已知圓O：[x2+][y2=4]及圓內(nèi)一點[P1，0，] Q是圓O上的動點. 以點Q為圓心，[QP]為半徑的圓Q，與圓O相交于點E，F(xiàn).

（1）當[PQ⊥Ox，] 且點Q在第一象限時，求圓Q的方程;

（2）若圓Q與圓[x2+y2=r2 r>0]恒有公共點，求r的取值范圍;

（3）證明：點P到直線[EF]的距離為定值.

答案：（1）[x-12+y-32=3;]

（2）[1≤r≤3;]

（3）點P到直線[EF]的距離[d=34，] 為定值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]陶兆龍. 2019年高考“直線和圓的方程”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2019（7 / 8）：120-125.

[3]劉莉. 2020年高考“直線和圓的方程”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2020（10）：56-60.