2021年高考“坐標系與參數方程”專題命題及解題分析

楊愛正 薛紅霞

摘? 要：針對2021年高考數學全國甲卷、全國乙卷中的“坐標系與參數方程”試題，分析其命題特點，從解法的角度對其進行欣賞. 在此基礎上提出了2022年高考“坐標系與參數方程”專題的復習備考建議，并編擬了模擬題.

關鍵詞：坐標系與參數方程;命題分析;解法欣賞;復習建議

在2021年高考數學全國甲卷和全國乙卷中，分別有1道“坐標系與參數方程”試題，依然圍繞著參數方程與普通方程互化、極坐標方程與直角坐標方程互化、注重計算能力考查等特點進行命制，卻又有著常考、常新的魅力.

一、考查內容分析

1. 考點與內容覆蓋全面

根據《普通高中數學課程標準（實驗）》及考試大綱，“坐標系與參數方程”要求是“能”或“理解”的知識點有：坐標系的作用，選擇適當坐標系的意義，用極坐標表示點的位置，極坐標與直角坐標的互化，簡單圖形的極坐標方程，直線、圓和圓錐曲線的參數方程，等等. 2021年高考數學全國甲卷考查了圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化，根據圓的參數方程確定圓的圓心和半徑. 全國乙卷考查了圓的參數方程，并考查了直線的直角坐標方程和與極坐標方程的互化.

2. 思想方法分析

（1）考查坐標法.

坐標法是“坐標系與參數方程”試題求解的基本思想方法. 利用坐標法求解點的軌跡方程需要先建立坐標系，寫出動點所滿足的規律的幾何表達，代入點的坐標將此規律代數化，通過化簡求出動點的軌跡方程.

全國甲卷文（理）科第22題的第（2）小題為：設點[A]的直角坐標為[1，0]，[M]為[C]上的動點，點[P]滿足[AP=][2AM]，寫出點[P]的軌跡[C1]的參數方程. 這就是典型的考查坐標法.

（2）考查數形結合的思想方法.

“坐標系與參數方程”的研究對象是現實世界中存在的曲線，采用的是坐標法，其中蘊涵著豐富的數形結合思想.

全國甲卷文（理）科第22題的第（2）小題要求判斷兩條曲線是否有公共點，基本的求解方法有兩種：一種是代數法，聯立兩條曲線的方程，根據解的個數判斷其是否有公共點;另一種是幾何法，根據方程判斷兩條曲線都是圓，只需要比較兩個圓的圓心距與其半徑之間的關系即可.

同樣，全國乙卷文（理）科第22題的第（2）小題要求的是圓的兩條切線的極坐標方程，顯然可以用代數法求解，也可以用幾何法求解.

采用幾何法，計算量顯然較小，這就是數形結合思想方法優勢的體現.

（3）考查數學運算素養.

數學運算素養的主要表現是：在理解運算對象的基礎上，選擇相應的運算法則. 此處表現為選擇相應的方程，探究運算思路，最后求得運算結果. 全國乙卷文（理）科第22題的第（2）小題可以有多種求解思路，選擇利用直角坐標方程表示所給曲線，那么在計算時，就要注意觀察，選擇方法，整體求解，優化計算，這就是數學運算素養的具體體現.

二、命題思路分析

1. 凸顯高考試題的基礎性

2021年高考數學全國甲卷文（理）科第22題的第（1）小題設置了曲線（圓）的極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查學生對極坐標與直角坐標對應關系的轉換公式的掌握程度. 第（2）小題給出動點滿足的關系，考查利用坐標法求動點的軌跡方程，在此基礎上判斷兩條曲線是否有交點. 該題求解思路簡單易得，自然順暢. 但是不同學生會有不同的選擇，可以利用普通方程求解，也可以利用參數方程求解.

2021年高考數學全國乙卷文（理）科第22題的第（1）小題設置了根據圓心和半徑寫出圓的參數方程.

可以看出，其中涉及的都是“坐標系與參數方程”的基礎知識和基本方法，凸顯了試題的基礎性.

2. 注重考查思維的靈活性

2021年高考數學全國乙卷文（理）科第22題的第（2）小題給出圓外一點，要求求出過該點的圓的切線的極坐標方程. 這個設問給學生留下了極大的思維空間. 很好地考查了學生思維的靈活性.

“極坐標系與參數方程”不僅為描述現實世界與數學對象提供了除直角坐標之外的手段，而且讓學生看到了用直角坐標描述幾何對象或者其他對象并不總是簡單而有效的，因此遇到實際問題時可以在直角坐標與極坐標、普通方程與參數方程之間進行適當選擇.

2021年高考數學全國乙卷文（理）科第22題的第（1）小題考查圓的參數方程，第（2）小題要求的是極坐標方程，信息非常豐富. 學生可以選擇用極坐標方程求解，也可以選擇用基于直角坐標系的普通方程求解，還可以選擇用參數方程求解. 選用普通方程求解時，既可以選擇幾何方法，也可以選擇代數方法. 求解的切入點非常多，適合不同學生的思維特點，是一道非常好的過程開放的試題.

三、試題解法欣賞

例1 （全國甲卷·文 / 理22）在直角坐標系[xOy]中，以坐標原點為極點、[x]軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線[C]的極坐標方程為[ρ=22cosθ].

（1）將[C]的極坐標方程化為直角坐標方程;

（2）設點[A]的直角坐標為[1，0]，[M]為[C]上的動點，點[P]滿足[AP=2AM]，寫出點[P]的軌跡[C1]的參數方程，并判斷[C]與[C1]是否有公共點.

解：（1）由題意，知將圓[C]的極坐標方程化為直角坐標方程為[x-22+y2=2]. 具體過程略.

（2）（方法1）設點[Px，y，Mx1，y1].

因為點[A]的直角坐標為[1，0]，

所以[AP=x-1，y]，[AM=x1-1，y1].

因為[AP=2AM]，

所以[x-1=2x1-1，y=2y1.]

解得[x1=2x-12+1，y1=2y2.]

因為點[Mx1，y1]在圓[C]上，

所以[x1-22+y12=2].

代入、化簡，得[C1： x+2-32+y2=4].

所以[C1]的參數方程為[x=3-2+2cosθ，y=2sinθ]（[θ]為參數，且[θ∈R]）.

于是，兩圓的圓心距為[d=2-3-2=3-22]，半徑差為[s=2-2].

因為[d

所以兩圓沒有公共點.

【評析】這種解法的思路樸素自然，根據已知條件建立點[P]與圓上的點[M]的坐標之間的關系，即可求得圓[C1]的方程. 進而利用幾何法判斷兩個圓的位置關系. 當然，也可以用代數法判斷.

（方法2）設點[Px，y，Mx1，y1].

因為點[A]的直角坐標為[1，0]，

所以[AP=x-1，y]，[AM=x1-1，y1].

因為[AP=2AM]，

所以[x-1=2x1-1，y=2y1.]

因為點[Mx1，y1]在圓[C]上，

所以[x1=2+2cosθ，y1=2sinθ]（[θ]為參數，且[θ∈R]）.

代入，得[x=3-2+2cosθ，y=2sinθ]（[θ]為參數，且[θ∈R]）.

下同方法1.

【評析】這種解法本質上與方法1是一樣的，只是采用了圓的參數方程來求解，可以說是殊途同歸. 這也體現出學習“坐標系與參數方程”的優勢，可以選擇不同的表示方法表示曲線，并在此基礎上解決問題.

例2 （全國乙卷·文 / 理22）在直角坐標系[xOy]中，圓[C]的圓心為[C2，1]，半徑為1.

（1）寫出圓[C]的一個參數方程;

（2）過點[F4，1]作圓[C]的兩條切線. 以坐標原點為極點、[x]軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.

解：（1）根據題意，得圓[C]的直角坐標方程為[x-22+y-12=1].

令[x-2=cosα，y-1=sinα? ? ?]（[α]為參數），

則圓[C]的參數方程為[x=2+cosα，y=1+sinα? ? ?]（[α]為參數）.

【評析】該題第（1）小題考查的是圓的參數方程的基礎知識. 先依據所給條件寫出圓的標準方程，再通過換元得到圓的參數方程. 體現了在同一坐標系中用不同形式的方程表示同一條曲線，以及根據實際需要選擇方程的意識.

（2）（方法1）設[FP，FQ]為圓[C]過點[F4，1]的兩條切線，[P，Q]為切點，如下圖所示.

則有[CP=CQ=1].

因為[CF=2]，

所以[∠CFP=∠CFQ=π6].

設直線[FP，FQ，FC]與[y]軸的交點分別為[M]，[N，G]，

則[MG=NG=433].

所以[OM=433+1， ON=433-1].

則兩條切線的極坐標方程為[ρsinπ6+θ=OMsinπ3]和[ρsinπ6-θ=ONsinπ3]，

即[ρsinπ6+θ=2+32]和[ρsinπ6-θ=2-32].

【評析】這種解法的思路是直接在極坐標系中分析，利用幾何法找到所求切線上點的極徑和極角滿足的幾何特征，再將之代數化. 這種解法充分應用了圓和三角形的幾何性質，是數形結合思想的具體應用.

（方法2）設[FP，FQ]為圓[C]過點[F4，1]的兩條切線，[P，Q]為切點，

則[CP=CQ=1].

因為[CF=2]，

所以[∠CFP=∠CFQ=π6].

所以兩條切線的斜率為[k=±33].

所以兩條切線的方程為[y-1=±33x-4].

相應地，兩條切線的極坐標方程為[ρsinθ-1=][±33ρcosθ-4].

【評析】這種解法與方法1的相同之處是充分應用了圓的幾何性質;不同之處是該解法的基本思路是先求切線的直角坐標方程，然后利用公式將之轉化為極坐標方程.

（方法3）設所求切線的方程為[y-1=kx-4]，即[kx-y+1-4k=0].

由點到直線的距離公式，得[2k-1+1-4k1+k2=1].

解得[k=±33].

下同方法2.

【評析】不同于前面兩種解法，這種解法的基本思路是從代數角度入手，結合圓的切線的幾何特征進行求解. 因此，先設出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑求得斜率. 在這樣的思路下，也可以選擇用代數方法求出斜率，即聯立方程，利用“直線與圓相切，則判別式等于0”求解. 此處不再贅述.

當然，該題中已經知道直線上一點，只要能求出直線的斜率，就可以求出直線的方程. 在這樣的思路之下，結合方法1還可以設法求得切點坐標，進而求出直線的斜率得解. 或者利用參數方程求切點坐標. 總之，思考方向對了，解法就豐富多彩，對試題的研究也樂在其中.

四、復習建議

根據以上分析，對“坐標系與參數方程”專題的高考復習提出如下建議.

1. 回歸教材，落實基礎

注重基礎知識和基本技能，這是亙古不變的真理. 例1相對容易，例2的第（2）小題有一定難度，但無論試題難易程度如何，總是要從基礎入手，將其轉化為基本問題去解決. 例2的第（2）小題雖然有一定難度，但思路也是容易獲得的，并且利用數形結合思想得到了多種解法. 除如上提供的三種解法之外，該題還有其他解法，有的解法計算量比較大，但如果選擇了就必須算對，這就是對基本計算技能的考查，也是對數學運算素養的考查.

因此，在復習過程中要做到對基礎知識的正確記憶、準確理解，對基本技能（識別基本圖形的特征、計算）的熟練運用.

2. 梳理總結，優化方法

例1的第（2）小題至少有兩種解法，例2的第（2）小題的解法遠不止如上三種. 可以看出，不同解法涉及的知識點、計算量是不一樣的. 選擇不同的解題路徑，在繁簡方面已經對學生做了隱性的區分. 因此，在復習過程中要引導學生對同一問題的解法進行梳理、總結，遇到一個問題時能從多個角度分析，并選擇相對簡潔的方法進行求解.

五、模擬題欣賞

1. 在平面直角坐標系[xOy]中，曲線[C1：x2+y29=1]，以坐標原點為極點、[x]軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線[C2]的極坐標方程為[ρ2-8ρcosθ+15=0].

（1）求曲線[C1]的參數方程與曲線[C2]的直角坐標方程;

（2）設點[A，B]分別為曲線[C1]與曲線[C2]上的動點，求[AB]的取值范圍.

解：（1）曲線[C1]的參數方程為[x=cosα，y=3sinα]（[α]為參數）.

由[x=ρcosθ，y=ρsinθ]，得曲線[C2]的直角坐標方程為[x2+y2-8x+15=0].

所以曲線[C2]的直角坐標方程為[x-42+y2=1].

（2）由（1），可知[C24，0].

設[Acosθ，3sinθ]，

則[AC22=cosθ-42+9sin2θ=-8cosθ+122+27].

因為[-1≤cosθ≤1]，

所以[9≤AC22≤27]，

解得[3≤AC2≤33].

所以[2≤AB≤33+1].

故[AB]的取值范圍是[2，33+1].

2. 在平面直角坐標系[xOy]中，直線[l]的參數方程為[x=-43+tcosα，y=-73+tsinα]（[t]為參數，[α]為直線[l]的傾斜角），以原點[O]為極點、[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線[C]的極坐標方程為[ρ2=43-cos2θ].

（1）求曲線[C]的直角坐標方程;

（2）若點[P-43，-73]，直線[l]與曲線[C]相交于[A，B]兩點，且[PA=2PB]，求直線[l]的方程.

解：（1）因為[ρ2=43-cos2θ=42+2sin2θ]，

所以[2ρ2+2ρ2sin2θ=4].

因為[ρ2=x2+y2，ρsinθ=x]，

所以[2x2+4y2=4].

所以曲線[C]的直角坐標方程為[x22+y2=1].

（2）將[x=-43+tcosα，y=-73+tsinα]代入[x22+y2=1]，得

[-43+tcosα2+2-73+tsinα2=2].

化簡，得

[3cos2α+6sin2αt2-42cosα+7sinαt+32=0].

設[A，B]兩點對應的參數分別為[t1，t2]，

根據根與系數的關系，得

[t1+t2=42cosα+7sinα3cos2α+6sin2α]，[t1t2=323cos2α+6sin2α].

因為[PA=2PB]，

所以[t1=2t2].

所以[t1+t22t1t2=t1t2+t2t1+2].

因此[2cosα+7sinα26cos2α+12sin2α=92].

化簡，得[5tan2α-28tanα+23=0].

解得[tanα=235]或[tanα=1].

故直線[l]的方程為[x-y-1=0]或[69x-15y+57=0].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]周妍，吳麗華. 2020年高考“選考內容”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（11）：51-58.

[3]趙巖. 2020年高考“選考內容”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（11）：59-64.