2021年高考“概率與統計、計數原理”專題解題分析
2021-03-23 23:08:52高霞吳麗華
中國數學教育(高中版) 2021年9期
高霞 吳麗華
摘? 要：2021年高考數學中有關概率與統計、計數原理的試題全面考查了本專題知識涉及的基本思想和方法，注重概念理解，聚焦重點內容與知識交會，關注我國社會主義建設和科學技術發展的重要成果，設計真實問題情境，體現數學的應用價值，落實了高考數學“立德樹人，服務選才，引導教學”的核心功能.
關鍵詞：高考數學;概率與統計;計數原理;試題分析;解法賞析
一、試題特點
2021年高考數學試卷有全國甲卷（文、理科）、全國乙卷（文、理科）、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷共10份試卷. 概率與統計、計數原理部分試題體現出如下特點.
1. 難度穩中有降，考點回歸
綜觀近幾年本專題的高考數學試題，2021年題量、分值相對穩定且難度有所下降，與其他模塊知識交會命題減少（僅全國新高考Ⅱ卷考查概率與數列、函數、方程知識交會的試題），試題考查內容回歸本專題相關的概念、原理，以及概率與統計中的基本問題.
2. 考查關鍵能力，發揮選拔功能
遵循基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求，貫徹“低起點、多層次、高落差”的科學調控策略，突出概率與統計內容的應用特色，既注重考查學生對知識的基本理解與靈活應用，又著重考查學生的數學閱讀理解能力與信息整理能力，突出數據分析與數學建模素養，科學把握必備知識與關鍵能力的關系.
3. 發揮學科特色，彰顯育人功能
試題背景更加貼近日常生活，關注現實生活問題，設計真實的問題情境，促進學生實踐能力與創新意識的發展.
二、試題分析
1. 計數原理
例1 （全國乙卷·理6）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（? ? ）.
（A）60種 （B）120種
（C）240種 （D）480種
解：根據題意，有一個項目分配了2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有[C25]種選法;然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有[A44]種，根據乘法原理，共有[C25×A44=240]種不同的分配方案. 故答案選C.
錯解分析：對于選項D，[A45×4=480]，從5人中選4人有序分配給4個項目，再從4個項目中選擇1個給第5人.錯誤原因是被分配了2名志愿者的項目出現重復. 例如，甲、乙均從事冰壺項目，既可能5人選4人余乙被分配了冰壺，也可能5人選4人剩余甲被分配了冰壺，同一種分配方案被計算了2次，出現重復.
【評析】該題主要考查計數原理及分組、分配型問題，考查學生的邏輯思維能力及運算求解能力，考查的素養是邏輯推理、數學運算. 此類問題的關鍵是確定人數的分配情況，然后利用先分組再分配的思想求解. 在分組時要特別注意平均分組與不平均分組的差異，有時也可以用圖表或樹狀圖輔助列舉. 該題以北京冬奧會志愿者的培訓為背景，關注社會現實，增強學生的民族自豪感與愛國情懷.
例2 （浙江卷·13）已知多項式[x-13+x+14=][x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，] 則[a1]的值為? ? ? ，[a2+a3+a4]的值為? ? ? .
解：（方法1）因為[x-13=x3-3x2+3x-1，]
[x+14=x4+4x3+6x2+4x+1，]
所以[a1=1+4=5，a2=-3+6=3，a3=3+4=7，a4=][-1+1=0.]
所以[a2+a3+a4=10.]
（方法2）由二項式定理，得[a1=C03×-10+C14=5]. 令[fx=x-13+x+14，f1=1+a1+a2+a3+a4=6+]
[a2+a3+a4=16].
所以[a2+a3+a4=10.]
錯解分析：[a2=C13+C24=3+6=9]，錯解原因是混淆了二項式系數與系數的概念，忽略項的系數的正、負.
【評析】該題主要考查二項展開式系數及系數和問題，重點考查學生的運算求解能力. 求指定項系數的關鍵是利用二項展開式的通項公式，求系數和常采用“賦值法”. 兩個因式的冪指數較小，該題運算量不大，將二項式直接展開亦可解決，方便不同思維層次的學生找到求解問題的切入點，具有較強的親和力. 同類題目還有北京卷第11題.
2. 概率
（1）古典概型.
例3（全國甲卷·理10）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ? ）.
（A）[13]? ?（B）[25]? ?（C）[23]? ?（D）[45]
解：（方法1）將4個1和2個0隨機排成一行有[C26=15]種方法，2個0相鄰[C15=5]種排法，所以2個0不相鄰的概率為[1-515=23.]
（方法2）將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，
若2個0相鄰，則有[C15=5]種排法，若2個0不相鄰，則有[C25=10]種排法，
所以2個0不相鄰的概率為[105+10=23].
錯解分析：選項D，概率[P=1-55×5=45.]
4個1排成一排產生5個空，將2個0逐個插入為[5×5]，將2個0一起插入為5，則2個0相鄰的概率為[55×5]，不相鄰的概率為[1-55×5=45.]
此方法錯在把2個0當成了兩個不同的元素.
【評析】該題主要考查古典概型、計數原理等知識，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力. 該題既可以針對兩個相同元素的不相鄰問題利用插空法求解基本事件個數來解決，也可以利用對立事件的概率來解決. 解決此類問題時應關注元素是否相同.
（2）幾何概型.
例4 （全國乙卷·理8）在區間[0，1]與[1，2]中各隨機取1個數，則兩數之和大于[74]的概率為（? ? ）.
（A）[79]? ?（B）[2332]? ?（C）[932]? ? （D）[29]
解：設從區間[0，1， 1，2]中隨機取出的數分別為[x，y]，則試驗的所有結果構成區域為[Ω=][x，y0
錯解分析：對于選項C，事件[A]構成的區域選擇錯誤，誤選為三角形區域，求解的是事件[A]的對立事件的概率.
對于選項A和選項D，錯用古典概型解決該題，誤以為從[0，1，2]三個數字中有放回地選擇兩個數，故而基本事件個數為[3×3]，而兩數和大于[74]的基本事件有[1，1， 1，2]，故概率為[29]，誤選D，若求出兩數和大于[74]的對立事件則會誤選A.
【評析】該題主要考查利用線性規劃解決幾何概型中的面積問題，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，以及學生的運算求解能力、邏輯推理素養、直觀想象素養. 解決幾何概型試題的一般方法是：判斷試驗的結果是否為無限且基本事件等可能;確定事件的幾何測度（長度、面積、體積、角度……）并分別求出目標事件[A]與樣本空間[Ω]的測度;利用幾何概型概率計算公式求出結果. 此類試題的易錯點是幾何概型的識別及測度的選擇，即判斷基本事件是否等可能且無數個;事件概率與位置形狀無關，僅與幾何測度（長度、面積、體積、角度……）成正比. 由于在兩個連續區間[0，1， 1，2]內生成隨機數[x，y]，故為幾何概型;又因為隨機數個數是兩個，因此該題測度為圖形面積.
（3）事件獨立性判斷.
例5 （全國新高考Ⅰ卷·8）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ? ）.
（A）甲與丙相互獨立 （B）甲與丁相互獨立
（C）乙與丙相互獨立 （D）丙與丁相互獨立
解：（方法1）[P甲=16，P乙=16，P丙=536，]
[P丁=636=16].
[P甲丙=0≠P甲P丙，]
[P甲丁=136=P甲P丁，]
[P乙丙=136≠P乙P丙，]
[P丁丙=0≠P丁P丙，]
由事件獨立性定義知甲與丙相互不獨立，甲與丁相互獨立，乙與丙相互不獨立，丙與丁相互不獨立.
（方法2）由題意，得甲與丙互斥、丙與丁互斥，由于互斥事件不可能同時發生，故排除選項A、選項D，再利用獨立事件概率公式計算確定選項B.
【評析】該題考查了兩個事件的相互獨立性，考查學生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及邏輯推理、數學運算素養. 概率與統計部分的學習易出現重應用輕原理的現象，此題不易以定義法即事件[A]（或[B]）是否發生對事件[B]（或[A]）發生的概率沒有影響（生活經驗）來判斷事件的獨立性，需用公式法來解決，即判斷事件[A，B]是否獨立，先計算對應概率，再判斷[PA ? PB=PAB]是否成立. 歷年高考試題在獨立事件部分的考查常常是已知兩事件相互獨立求同時發生的概率，該題首次考查利用事件相互獨立的概率公式判斷事件是否獨立. 學生應在概率統計部分對原理學習加以重視.
類似題型有天津卷第14題，不同的是天津卷第14題的兩個小題分別考查的是獨立事件概率的求解及[n]次獨立重復事件的概率求解，是學生相對熟悉的設問形式.
（4）離散型隨機變量的分布列、期望.
例6 （全國新高考Ⅰ卷·18）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束. A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.
已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記[X]為小明的累計得分，求[X]的分布列;
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
解：（1）由題意可知，[X]的所有可能取值為0，20，100.
[PX=0=1-0.8=0.2;]
[PX=20=0.8×1-0.6=0.32;]
[PX=100=0.8×0.6=0.48;]
所以[X]的分布列如表1所示.
[[X] 0 20 100 [P] 0.2 0.32 0.48 ][表1]
（2）由第（1）小題知，[EX=0×0.2+20×0.32+][100×0.48=54.4].
若小明先回答B類問題，記[Y]為小明的累計得分，則[Y]的所有可能取值為0，80，100.
[PY=0=1-0.6=0.4;]
[PY=80=0.6×1-0.8=0.12;]
[PX=100=0.8×0.6=0.48.]
所以[EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6].
因為[54.4<57.6]，所以小明應選擇先回答B類問題.
【評析】該題考查利用相互獨立事件概率公式求解離散型隨機變量的分布列，并利用離散型隨機變量的期望進行方案合理性判斷的問題. 考查了學生的數據處理能力、運算能力、或然與必然的思想、邏輯推理素養、數學運算素養及數據分析素養. 該題以“一帶一路”知識競賽為背景，既關注了社會發展，又與學生的生活經驗密切聯系，旨在引導學生關注社會進步與國家發展.
求離散型隨機變量的分布列的步驟：確定隨機變量[X]的所有可能取值;寫出[X]所對應的每個取值的具體含義;求得[X]所對應的每個事件發生的概率;以列表形式寫出分布列. 為避免概率計算有誤，應驗證分布列的概率和是否為1.
判斷分布列類型時，既要判斷事件之間的關系（互斥、對立、獨立、和事件、積事件…），還應注意隨機變量每個取值對應事件的概率求解是利用古典概型概率公式（除法）還是條件概率或獨立事件概率公式（乘法）求解;對于分布類型要注意區別是二項分布（有放回）還是超幾何分布（無放回），要對模型要素有深刻認識，做到具體問題具體分析.
利用離散型隨機變量的期望與方差進行方案比較與篩選時應理解期望與方差的含義. 離散型隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差則反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差越小，隨機變量偏離均值的程度越小.
同類型題目還有北京卷第18題和浙江卷第15題.
例7 （浙江卷·15）袋中有4個紅球，[m]個黃球，[n]個綠球. 現從中任取兩個球，記取出的紅球數為[ξ]，若取出的兩個球都是紅球的概率為[16]，一紅一黃的概率為[13]，則[m-n]的值為? ? ? ，[Eξ]的值是? ? ? .
解：因為[Pξ=2=C24C2m+n+4=6C2m+n+4=16]，
所以[C2m+n+4=36].
所以[m+n+4=9].
由[P一紅一黃=C14 ? C1mC2m+n+4=4m36=m9=13]，得[m=3.]
所以[n=2.]
所以[m-n=1.]
（方法1）因為[Pξ=2=16，Pξ=1=C14×C15C29=59，]
[Pξ=0=C25C29=518]，
所以[Eξ=16×2+59×1+518×0=89].
（方法2）[ξ?H2，4，9，Eξ=2×49=89.]
【評析】該題考查組合、古典概型及超幾何分布，考查了學生的數學運算和數據分析素養，以及函數與方程思想. 在期望的計算過程中，若能識別超幾何概型并聯系超幾何分布與二項分布的關系，可以利用期望公式求解以減少運算量.
（5）連續性隨機變量概率分布——正態分布.
例8 （全國新高考Ⅱ卷·6）某物理量的測量結果服從正態分布[N10，σ2]，則下列結論不正確的是（? ? ）.
（A）[σ]越小，該物理量一次測量結果落在[9.9，10.1]內的概率越大
（B）該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5
（C）該物理量一次測量結果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等
（D）該物理量一次測量結果落在[9.9，10.2]內的概率與落在[10，10.3]內的概率相等
解：因為該物理量的測量結果服從正態分布[N10，σ2]，所以測量結果的概率分布關于10對稱，故選項B，選項C正確，選項D錯誤. 又因為標準差[σ]越小，測量結果的概率分布越集中，故選項A正確.
【評析】該題考查了正態分布曲線的特點及曲線所表示的概率意義. 考查了學生的邏輯推理能力、數形結合思想、或然與必然思想，以及直觀想象與數據分析素養.
數值估計是高考數學中考查正態分布問題的一個重點，解決此類問題的工具主要是正態曲線的對稱性及[3Ω]原則，即正態曲線關于直線[x=μ]對稱，因此[PX<μ-σ=PX>μ+σ，PX 該題改變以往已知正態分布參數[μ，σ]，求某區間概率或推測某區間樣本或總體數量的一貫命題方法，改為特征數字對區間概率的影響，對學生對正態分布知識理解的要求更高，也體現了回歸知識本源的命題思路. 該題以某物理量的測量為背景，在考查學生對正態分布基礎知識的理解與應用的同時，也能更好地引導學生重視數學試驗和數學應用. 3. 統計 （1）用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布. 例9 （全國甲卷·文 / 理2）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如圖2所示的頻率分布直方圖. 根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（? ? ）. （A）該地農戶家庭年收入低于[4.5]萬元的農戶比率估計為6 % （B）該地農戶家庭年收入不低于[10.5]萬元的農戶比率估計為10 % （C）估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過[6.5]萬元 （D）估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于[4.5]萬元至[8.5]萬元之間 解：因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率. 樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值. 該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為0.02 + 0.04 = 0.06 = 6 %，故選項A正確; 該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為0.04 + 0.02 × 3 = 0.10 = 10 %，故選項B正確; 該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為0.10 + 0.14 + 0.20 × 2 = 0.64 = 64% > 50%，故選項D正確; 該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為3 × 0.02 + 4 × 0.04 + 5 × 0.10 + 6 × 0.14 + 7 × 0.20 + 8 × 0.20 + 9 × 0.10 + 10 × 0.10 + 11 × 0.04 + 12 × 0.02 + 13 × 0.02 + 14 × 0.02 = 7.68 > 6.5，故選項C錯誤. 綜上所述，不正確的結論是選項C. 【評析】該題考查利用樣本的頻率分布直方圖估計總體的頻率分布和平均值，考查學生的數形結合思想及數學運算能力，以及數學抽象、直觀想象、數據分析素養. 頻率分布直方圖是表達和分析數據的重要工具，求解此類問題的關鍵是培養數與形的語言轉換能力. 從頻率分布直方圖中可以清楚地看出數據分布的總體趨勢. 而樣本的頻率可以作為總體概率的估計值，直方圖中樣本平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得，可以作為總體平均值的估計值.注意各組的頻率為[頻率組距×組距]. 該題在解答時既要特別關注問題是“結論不正確的是”，還要選擇合理的答題策略. 由于選項C計算量較大，而該題作為全卷的第2題，應盡量通過認真辨析選項A、選項B和選項D的正誤，利用排除法選擇選項C，以減少運算. 同時該題題干以圖表的形式給出，選項中又有大量文字閱讀，對學生的綜合能力有一定的要求. 該題以我國在脫貧攻堅工作中取得的全面勝利和農村振興為背景，通過圖表給出了某地農戶家庭收入情況的抽樣調查結果，引導學生關注我國社會與經濟發展，增強國家認同與理想信念. （2）樣本數字特征的性質及用樣本的數字特征估計總體的數字特征. 例10 （全國新高考Ⅱ卷·9）下列統計量中可用于度量樣本[x1，x2，…，xn]的離散程度的有（? ? ）. （A）[x1，x2，…，xn]的標準差 （B）[x1，x2，…，xn]的中位數 （C）[x1，x2，…，xn]的極差 （D）[x1，x2，…，xn]的平均數 解：對于選項A，標準差是方差的算術平方根，能反映數據的集中與離散程度，選項A正確; 對于選項B，中位數將數據分成前后兩部分，是按順序排列的一組數據中居于中間位置的數，不能反映數據的集中與離散程度，選項B錯誤; 對于選項C，極差是用來表示統計資料中的變異量數，是最大值與最小值之間的差距，它是標志值變動的最大范圍，可用來評價一組數據的離散程度，選項C正確; 對于選項D，平均數是描述一組數據的一種常用指標，它的大小與該組數據里的每個數據均有關系，其中任何一個數據的變動都會引起平均數的變化，易受個別極端值影響，不能評價數據的離散程度，選項D錯誤. 例11 （全國新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數據[x1，][x2，…，xn]，由這組數據得到新樣本數據[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，L，n]，[c]為非零常數，則（? ? ）. （A）兩組樣本數據的樣本平均數相同 （B）兩組樣本數據的樣本中位數相同 （C）兩組樣本數據的樣本標準差相同 （D）兩組樣本數據的樣本極差相同 解：對于選項A，由[Ey=Ex+c=Ex+c]且[c≠0]，知兩組樣本的平均數不相同，選項A錯誤; 對于選項B，若第一組中位數為[xi]，則第二組中位數為[yi=xi+c]，顯然不相同，選項B錯誤; 對于選項C，由[Dy=Dx+Dc=Dx]，故方差相同，選項C正確; 對于選項D，由極差的定義知，若第一組的極差為[xmax-xmin]，則第二組的極差為[ymax-ymin=xmax+c-][xmin+c=xmax-xmin]，故極差相同，選項D正確. 【評析】全國新高考Ⅰ卷和全國新高考Ⅱ卷多選題第1題（即全卷第9題）均考查數據的數字特征，其中全國新高考Ⅱ卷考查一組數據自身的數字特征，全國新高考Ⅰ卷則考查了具有線性關系的兩組數據的數字特征之間的關系. 考查了學生分析問題與解決問題的能力，以及邏輯推理素養. 該題考查學生在數據分析中對基本概念的辨析能力，關鍵是要對幾個概念的區別與聯系有清晰的認知. 雖然這些概念只需要識記、理解，但要求學生對其的掌握清晰、明了，也從另一個角度提醒學生數學概念的重要性. 例12 （全國乙卷·文 / 理17）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如表2所示. [舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 ][表2] 舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為[x]和[y]，樣本方差分別記為[s21]和[s22]. （1）求[x，y，s21，s22]; （2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果[y-x≥2s21+s2210]，那么認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）. 解：（1）由平均數的概念，得 [x=9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.710=10.] 同理，得[y=10.3]. 由方差的概念，得 [s12=0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.3210=0.036.] 同理，得[s22=0.04]. （2）依題意，得 [y-x=0.3=2×0.15=20.152=20.022 5]. 因為[20.036+0.0410=20.007 6，y-x>2s12+s2210，] 所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高. 【評析】該題考查了兩組數據的平均數與方差，并利用兩組數據平均數差值與指標數據的比較判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高. 考查了學生的數學運算與數據分析素養. 該題引導學生關注科技發展，樹立正確的價值觀. 近年來，概率與統計的解答題變化較大，2018年全國Ⅰ卷理科第20題考查了概率統計與函數結合的題目，2019年全國Ⅰ卷理科第21題考查概率統計與數列結合的題目，2020年全國Ⅰ卷理科第19題考查難度較大的純概率問題，2021年考查簡單的純統計問題，命題背景選擇統計學中考查標準雙樣本均值是否有顯著差異的樞軸量法，難度大幅度下降. （3）獨立性檢驗. 例13 （全國甲卷·文 / 理17）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如表3所示. （1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？ （2）能否有99 %的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？ 附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d]. [[PK2≥k] 0.050 0.010 0.001 [k] 3.841 6.635 10.828 ][表4] 解：（1）甲機床生產產品中一級品的頻率為[150200]= 75%， 乙機床生產的產品中一級品的頻率為[120200]= 60%. （2）[K2]的觀測值[k=400×150×80-120×502270×130×200×200=][40039≈10.256>6.635]， 所以能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異. 【評析】該題考查了古典概型、用樣本的頻率估計總體的頻率及獨立性檢驗. 考查了學生的推理論證能力、運算求解能力，以及邏輯推理、數據分析和數學運算素養. 該題數據運算難度不大，主要注意樣本頻率與總體概率的關系及[K2]與[k]及臨界值[k0]關系的正確表述即可. 三、解法賞析 例14 （全國新高考Ⅱ卷·21）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設[X]表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，[PX=i=pi i=0，1，2，3]. （1）已知[p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1]，求[EX]; （2）設[p]表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，[p]是關于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一個最小正實根，求證：當[EX≤1]時，[p=1]，當[EX>1]時，[p<1]; （3）根據你的理解說明第（2）小題結論的實際含義. 解：（1）[EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.] （2）（方法1）由題意知[p0+p1+p2+p3=1，EX=][p1+2p2+3p3.] 則由方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]，得 [0=p0+p1-1x+p2x2+p3x3] [=p0-p0+p2+p3x+p2x2+p3x3] [=p01-x+p2x2-x+p3x3-x] [=x-1p3x2+p2+p3x-p0]. 由此可得，1是方程的一個實根，設[fx=p3x2+][p2+p3x-p0]， 因為[fx]的對稱軸為[x=-p2+p32p3<0]，且[f0=][-p0<0，] 而[f1=p3+p2+p3-p0=p1+2p2+3p3-1=EX-1.] 所以，當[EX≤1]時，[f1≤0]，原方程的最小正根為[p=1]. 而當[EX>1]時，[f1>0]，故存在[0 （方法2）由題意知[p0+p1+p2+p3=1，EX=][p1+2p2+3p3.] 設[gx=p0+p1x+p2x2+p3x3-x，] 則[g0=p0>0，g1=0]. 因為[gx=3p3x2+2p2x+p1-1]， 所以其判別式[Δ=4p22-][12p3p1-1>0]. 故[gx=0]有兩個不相等的實根[x1，x2]，不妨設[x1 因為[3p3>0，g0=p1-1<0，] 所以[x1<0 [g1=3p3+2p2+p1-1=EX-1]， 當[EX≤1]時，[g1≤0]，此時[x2>1]，當[x∈0，1]時，[gx<0，gx]單調遞減，[gx>g1=0，]故此時方程的最小正根[p=1]. 當[EX>1]時，[g1>0]，此時[0 （3）由第（2）小題知，當1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經多代繁殖后將瀕臨滅絕，當1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經過多代繁殖后還有繼續繁殖的可能. 【評析】該題取材于生命科學中的真實問題，體現了概率在生命科學中的應用. 試題考查了學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養，重點考查學生綜合應用概率、數列、方程、函數等知識和方法解決實際問題的能力，體現了“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求. 該題第（1）小題利用離散型隨機變量分布列的期望公式直接求解即可;第（2）小題既可以通過因式分解轉化為二次函數根存在的問題解決，也可以直接對三次函數求導利用單調性及特殊點函數值求解;第（3）小題要利用數學結論解釋實際生活現象，對學生的建模解模能力要求較高. 四、備考建議 通過以上的試題分析，我們可以看到概率與統計、計數原理部分的高考試題相對穩定，難度及綜合性均有所下降，體現回歸概念原理，并在數學理論對實際生活及科研工作的應用上有所側重. 從題量上看，基本上還是一道客觀題、一道主觀題. 客觀題主要考查二項式定理、古典概型、幾何概型、統計圖表、數字特征等;主觀題考查離散型隨機變量的分布列、數據的數字特征、獨立性檢驗、概率應用問題. 在每份試卷中所占的分值大約為20分. 結合近幾年高考對本專題考查的總體規律，對學生的高考復習備考有以下建議. 1. 掌握知識體系，形成知識脈絡 在概率的復習中，要加深對隨機事件概率意義的理解，掌握概率的性質，能準確分析事件間的關系，掌握用樣本頻率估計總體概率的思想;理解古典概型、幾何概型及概率計算公式;理解條件概率、獨立事件概率公式;理解離散型隨機變量及其分布列的概念，會計算離散型隨機變量的均值和方差;能準確識別兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態分布，理解它們之間的區別與聯系. 在統計的復習中，要理解對研究對象進行數據處理和分析的過程，即合理抽樣生成樣本;能用樣本的頻率分布和數字特征估計總體的頻率分布和數字特征;選擇合適的模型進行數據回歸，并能從相關指數、相關系數、殘差等角度對回歸結果加以分析;能對分類變量的獨立性進行檢驗. 在計數原理的復習中，要重視對兩個基本計數原理的理解及應用，掌握排列組合問題的基本類型和基本解決方法，不建議拔高要求;二項式定理部分應明確展開式、通項、系數、二項式系數等概念. 2. 聚焦思想方法，提升核心素養 概率與統計、計數原理是高考數學中最易與社會生產生活建立聯系、最能體現數學應用性的部分，試題背景新穎、文字量大，對學生的數學閱讀能力，以及數學抽象、數學建模、數據分析、數學運算等素養都有一定的要求. 只有站在概率統計思想方法的高度來指導復習，才能舉一反三，通過對試題中文字材料的閱讀與理解，準確運用數學的概念對問題進行抽象并加以解決. 參考文獻： [1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018. [2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018. [3]孫海琴，王俊琦. 2018年高考“概率與統計、計數原理”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2018（9）：39-45. [4]李波，鄒發明，張曉斌. 2019年高考“概率與統計、計數原理”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2019（9）：45-52. [5]范俊明，蔣志方，徐新斌. 2020年高考“計數原理、概率與統計”專題解題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（11）：41-50，58.
