2021年高考“概率與統計、計數原理”專題命題分析

曲巍 王銳 吳麗華

摘? 要：2021年高考數學對概率與統計、計數原理部分的考查，重基礎、講應用，在知識交會處體現綜合性，在背景和設問中凸顯靈活創新.試題對學生分析問題、解決問題能力，以及數據分析、數學建模、邏輯推理、數學運算、數學抽象等素養提出了較高要求，充分體現了高考數學的科學選拔功能和育人導向作用.

關鍵詞：概率與統計;計數原理;高考數學

概率與統計、計數原理問題依托豐富的實際背景，將數學與日常生活和生產實際緊密聯系在一起，體現了較高的數學應用價值. 它們既是高考數學必考的知識內容，也是培養和提升學生數據分析、數學建模、邏輯推理、數學運算和數學抽象等素養的有效載體.

本文主要針對全國高考數學試題中的概率與統計、計數原理內容進行命題分析，以期為2022年高考復習備考提供幫助.

一、考查內容分析

2021年高考數學命題立足《中國高考評價體系》的“一核”導向功能，有效體現“四層”“四翼”的考核要求與內容，依據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》），聚焦數學學科核心素養，著重考查關鍵能力，體現了高考數學的科學選拔功能和育人導向作用. 概率與統計、計數原理部分的試題整體呈現出考點分布合理、題量適中、題型穩中求新、分值設置均勻、難度適當的特點，對學生數據分析、數學建模、邏輯推理、數學運算和數學抽象等素養進行了全面考查.

2021年高考數學對概率與統計、計數原理內容的考查主要集中在以下幾項.

計數原理——排列與組合的相關應用問題;二項展開式. 統計部分——數據收集與整理，統計圖表中的頻率分布直方圖;樣本估計總體，數據的平均數和標準差（方差）等數字特征的意義和計算;[2×2]列聯表，獨立性檢驗. 概率部分——頻率與概率;概率的運算，相互獨立事件;古典概型;幾何概型;正態分布;離散型隨機變量的分布列、均值、期望. 各試卷的具體考點分布情況如表1和表2所示.

[試卷 題號 差異度 考查內容 分值 題型 全國甲卷 理 2 相同題 頻率分布直方圖;

樣本數字特征估計總體數字特征 5 單選題 文 2 5 理 10 姊妹題 古典概型 5 文 10 5 理 17 相同題 頻率計算;

獨立性檢驗 12 解答題 文 17 12 全國乙卷 理 8 姊妹題 幾何概型 5 單選題 文 7 5 理 6 排列組合 5 理 17 相同題 樣本的數字特征;

[試卷 題號 考查內容 分值 題型 全國新高考Ⅰ卷 8 獨立事件的判斷 5 單選題 9 樣本的數字特征 5 多選題 18 事件與概率;

離散型隨機變量的分布列及期望 12 解答題 全國新高考Ⅱ卷 6 正態分布 5 單選題 9 樣本的數字特征 5 多選題 21 [2×2]列聯表;

離散型隨機變量的分布、期望 12 解答題 北京卷 11 二項式定理 5 填空題 18 離散型隨機變量的分布、期望 14 解答題 天津卷 4 頻率分布直方圖 5 單選題 11 二項式定理 5 填空題 14 獨立事件的概率 5 填空題 上海卷 6 二項式定理 4 填空題 10 古典概型 5 填空題 浙江卷 13 二項式定理 6 填空題 15 古典概型;

1. 考點相對集中，題型保持一致

從表1和表2可以看出，2021年的全國卷共有4套，均對樣本的數字特征進行了考查. 全國甲卷文、理科結合頻率分布直方圖，考查用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布;其余3套試卷則直接考查平均數、方差、中位數、標準差、極差的概念和意義. 除全國乙卷文、理科以解答題的形式對樣本的數字特征進行考查外，其余試卷均在選擇題中對這部分內容進行了考查，且全國新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都將此考點放置在多選題中. 全國新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷也在解答題中對離散型隨機變量的分布、均值和期望進行了不同程度的考查. 綜觀4套全國卷，對概率與統計、計數原理內容的考查均以選擇題和解答題形式出現，未涉及填空題的形式.

自主命題的4套試卷均對二項式定理進行了考查（此內容近年來已連續出現在自主命題的試卷中），2套試卷（浙江卷、北京卷）考查了隨機變量的分布列與期望;從題型上看，4套試卷都以填空題（上海卷1道、浙江卷2道、天津卷2道、北京卷1道）為主要的考查形式;僅北京卷在解答題中對此部分內容進行了考查，其余3套試卷未出現主觀題的考查形式.

2. 分值基本相同，差異逐漸減小

4套全國卷中概率與統計、計數原理部分的試題所占的分值基本相同，除全國乙卷文科總分值為17分（1道客觀題、1道主觀題）外，其余試卷的總分值都是22分（2道客觀題、1道主觀題），與往年分數保持一致. 全國甲、乙卷的文、理科試卷對此部分的考查差異逐漸減小，相同題明顯增多，姊妹題的考查內容和題目背景完全一致，文科難度低于理科.

自主命題的4套試卷中概率與統計、計數原理部分的試題所占的分值略有不同，上海卷最少，分值為9分;北京卷最多，分值為19分;天津卷分值為15分，浙江卷分值為12分.

3. 難度相對穩定，方法突出常規

2021年高考數學全國卷中的概率與統計、計數原理試題注重對基礎知識、基本概念、基本思想的考查，關注學生未來發展所必需的必備品格與關鍵能力. 試題難度適中、穩定，以中檔題和基礎題居多. 例如，全國乙卷文、理科第17題，直接考查平均數和方差的定義與計算，面對全體學生，“起點低，好上手”，突出用基本概念、公式、定理解決問題的常規方法，直擊學生的數學運算、數據分析、邏輯推理等素養.

二、命題思路分析

2021年高考數學概率與統計、計數原理試題，緊密結合社會生活與生產實際，緊跟時代發展步伐，創新問題情境. 例如，北京冬奧會志愿者的培訓方案、微生物繁衍等背景的問題，突出了時代性和應用性的命題導向，體現了數學的應用價值. 試題對概率與統計、計數原理部分的核心概念和思想進行了著重考查，全面檢測學生的“四基”“四能”與核心素養. 試題注重體現綜合性，關注知識的交會與靈活運用，將概率與統計、函數與方程、導數應用等知識有機結合，在考查知識的同時考查能力，實現了科學選拔功能，體現了育人價值.

1. 立足“四基”“四能”，考查主干知識

例1 （全國新高考Ⅱ卷·6）某物理量的測量結果服從正態分布[N10，σ2]，則下列結論中不正確的是（? ? ）.

（A）[σ]越小，該物理量一次測量結果落在[9.9，10.1]內的概率越大

（B）該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5

（C）該物理量一次測量結果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等

（D）該物理量一次測量結果落在[9.9，10.2]內的概率與落在[10，10.3]內的概率相等

【評析】該題是考查正態分布的基礎性問題，要求學生了解正態分布密度曲線，對其幾何特征有清晰的認知，明確均值與標準差在正態曲線中的幾何意義. 正態分布在概率與統計中占據重要地位，在近幾年的高考試卷中屢見不鮮，應予以重視.

例2 （全國新高考Ⅰ卷·9）有一組樣本數據[x1，][x2，…，xn]，由這組數據得到新樣本數據[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，L，n]，[c]為非零常數，則（? ? ）.

（A）兩組樣本數據的樣本平均數相同

（B）兩組樣本數據的樣本中位數相同

（C）兩組樣本數據的樣本標準差相同

（D）兩組樣本數據的樣本極差相同

【評析】該題具有知識點覆蓋面全的特點，對平均數、中位數、標準差、極差的概念進行了考查，要求學生能夠根據原始數據與新數據的關系確定數字特征之間的關系，體現了《中國高考評價體系》中“四翼”的考查要求.

例3 （全國新高考Ⅱ卷·9）下列統計量中可用于度量樣本[x1，x2，…，xn]離散程度的有（? ? ）.

（A）[x1，x2，…，xn]的標準差

（B）[x1，x2，…，xn]的中位數

（C）[x1，x2，…，xn]的極差

（D）[x1，x2，…，xn]的平均數

【評析】該題與例2有異曲同工之妙，考查學生對平均數、中位數、標準差、極差本質的理解與掌握，要求學生能在明確目標需求的情況下，選擇合適的樣本數字特征反映樣本特征.

2. 立足教材例題，注重回歸教材

例4 （全國乙卷·理8）在區間[0，1]和[1，2]中各隨機取1個數，則兩數之和大于[74]的概率為（? ? ）.

（A）[79]? ?（B）[2332]? ?（C）[932]? ?（D）[29]

例5 （全國乙卷·文7）在區間[0， 12]隨機取1個數，則取到的數小于[13]的概率為（? ? ）.

（A）[34]? ?（B）[23]? ?（C）[13]? ?（D）[16]

【評析】例4、例5是同根同源的姊妹題，考查幾何概型的概率計算，設計簡潔明了，源于人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學3必修》中“幾何概型”的例2. 原題背景是送報問題，屬于雙變量下的二維幾何概型問題，與例4的考查內容完全一致. 試題有一定難度，既要求學生對幾何概型有深刻的理解，又要求學生能準確地將自然語言轉化為代數語言再轉化為幾何語言. 相對而言，例5難度有所降低，考查了單變量的一維幾何概型問題，更為基礎.

例6 （全國新高考Ⅰ卷·8）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球. 甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ? ）.

（A）甲與丙相互獨立

（B）甲與丁相互獨立

（C）乙與丙相互獨立

（D）丙與丁相互獨立

【評析】該題源于人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊“10.2 事件的相互獨立性”的例1，原題背景是4個球，判斷兩個事件是否獨立. 該題在此基礎上進行了拓展和延伸，考查學生對獨立事件定義的理解，并在此基礎上對事件的相互獨立性進行判斷. 與教材例題相比，提升了難度，展現了高考試題源于教材、高于教材的立意，注重對學生綜合能力的考查.

3. 立足必備品格，關注核心素養

例7 （全國甲卷·理10）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ? ）.

（A）[13]? ?（B）[25]? ?（C）[23]? ?（D）[45]

例8 （全國甲卷·文10）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ? ）.

（A）0.3? ?（B）0.5? ?（C）0.6? ? （D）0.8

【評析】例7、例8都以古典概型為載體，雖是同根同源的姊妹題，但考查的側重卻略有不同. 例7考查學生對古典概型概率公式、排列組合方法及計算的理解與掌握;而例8對于沒有計數原理知識基礎的文科學生來說，更多是靠列舉法解決問題，因此對他們的數學思維品質提出了較高的要求，綜合考查邏輯推理、數學運算等素養.

例9 （全國新高考Ⅱ卷·21）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代. 該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設[X]表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，[PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1]，求[EX];

（2）設[p]表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，[p]是關于[x]的方程：[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一個最小正實根，求證：當[EX≤1]時，[p=1]，當[EX>1]時，[p<1];

（3）根據你的理解說明第（2）小題結論的實際含義.

【評析】該題以微生物多代繁殖為背景，知識點多，難度較大. 第（1）小題根據具體的分布列求期望，屬于基礎題. 第（2）小題的證明，形式新穎，跳躍性大，全面考查學生對分布列的性質、函數與方程、導數的應用等知識的掌握與綜合運用，對學生的知識遷移、問題轉化能力都提出了較高的要求. 第（3）小題根據理解說明第（2）小題結論的實際含義，有一定的開放性，關注學科的應用價值. 該題的解決，不僅能充分反映出學生綜合利用所學的數學知識選擇有效的方法和手段對新穎的信息、問題、情境進行獨立的思考、探究、解決問題的能力，而且能反映學生在高考的緊張氛圍下沉著、冷靜地應對問題的良好心理素質. 對學生數學運算、數學抽象、數學建模、邏輯推理和數據分析素養進行了深層次的考查.

4. 立足生活實際，體現數學應用

例10 （全國甲卷·理 / 文2）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（? ? ）.

（A）該地農戶家庭年收入低于[4.5]萬元的農戶比率估計為6 %

（B）該地農戶家庭年收入不低于[10.5]萬元的農戶比率估計為10 %

（C）估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過[6.5]萬元

（D）估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于[4.5]萬元至[8.5]萬元之間

【評析】該題以農村經濟情況調查為背景，利用頻率分布直方圖給出調查數據，考查學生的讀圖能力，要求通過對圖形中樣本數據的分析與計算，對總體進行估計，體現數學在生活中的廣泛應用.

例11 （全國甲卷·理 / 文17）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計如表3所示.

（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d].

例12 （全國乙卷·理 / 文17）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如表5所示.

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為[x]和[y]，樣本方差分別記為[s21]和[s22].

（1）求[x，y，s21，s22];

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高.（如果[y-x≥2s21+s2210]，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高.）

【評析】例11和例12均以社會實際生產為背景，體現統計在生產中的應用價值，引導學生感受統計思想. 例11通過2[×]2列聯表，考查學生對圖表數據的理解和分析能力，要求學生能夠利用表中信息計算頻率，并能通過數據運算分析實際問題. 例12以圖表的方式給出具體數據信息，考查學生對樣本平均數與方差的定義和計算，并能根據題目所給的依據進行正確判斷.

例13 （全國新高考Ⅰ卷·18）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題. 每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答. 若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束. A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記[X]為小明的累計得分，求[X]的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【評析】該題以知識競賽為背景，既具有時代特色又貼近學生生活，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望. 第（2）小題為使累計得分的期望最大，對兩類問題的回答進行排序分析與判斷，凸顯了概率統計思想在服務決策中發揮的重要作用，引導學生會用數學思維思考世界.

5. 立足立德樹人，創新問題情境

例14 （全國乙卷·理6）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（? ? ）.

（A）60種 ? ? ? （B）120種

（C）240種 ? （D）480種

【評析】該題以北京冬奧會為背景，屬于計數原理的典型問題，處理問題的角度與方式靈活多樣，需要學生將實際問題轉化為數學問題，考查學生的計數能力和對排列、組合的理解與應用.

例15 （北京卷·18）在核酸檢測中，“[k]合1”混采核酸檢測是指：先將[k]個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這[k]個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果為陰性，檢測結束;如果這[k]個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結果，檢測結束.

現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.

（1）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

① 如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;

② 已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為[111]. 設[X]是檢測的總次數，求[X]的分布列與數學期望 [EX];

（2）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測，設[Y]是檢測的總次數，試判斷數學期望[EY]與（1）中[EX]的大小.（結論不要求證明.）

【評析】該題以新冠肺炎檢測為背景，與社會生活緊密相連，較為基礎地考查了離散型隨機變量的分布列和數學期望，在凸顯概率統計實用價值的同時，增強學生的民族自豪感與自信心.

三、復習備考建議

1. 關注基礎知識，注重理解記憶

2021年的高考數學試題再次給出強烈的信號：高考數學全面考查基礎知識，突出考查學生靈活運用知識解決問題的能力. 因此，夯實“四基”、發展“四能”要落實到日常教學中. 教師在復習中要不斷注重強化學生對知識的理解記憶，不能一味地記憶基本概念、公式、定理，而是要知道它是如何推導的，如何應用的，將知識的發生發展過程學懂弄通，用理解記憶替代死記硬背.

2. 關注知識架構，注重多元聯系

課程改革倡導“大單元”教學的概念，教師要從整體引領學生認識數學，讓學生既見“樹木”又見“森林”. 因此，無論是重要的概念，還是公式、定理，都需要幫助學生構建宏觀的、整體的知識框架，厘清各知識點之間的內在聯系. 對于概率與統計、計數原理部分的知識內容，教師更需要耐心地做橫向分析與比較. 以統計為例，它與傳統的代數、幾何等數學知識相比存在較大差異，沒有絕對的對或錯. 對于同一組數據，從不同的角度分析，會得到不同的判斷. 例如，要刻畫一組數據的集中趨勢，平均數、中位數、眾數都可以實現，但具體選擇哪一個，要結合問題的實際背景和目標進行分析，所以教師既要引導學生深刻認識每個數字特征的意義，又要幫助學生理解不同數字特征之間的區別與聯系，了解它們的共性與差異;不同的統計圖表（扇形圖、頻率分布直方圖、直線圖、莖葉圖、餅形圖等）的優勢和它們所能直接反映出的數字特征，都需要在復習中用聯系的觀點進行整體把握. 此外，還要注重概率與統計、計數原理知識與其他知識的交會和聯系，提升學生分析、處理綜合性問題的能力.

3. 關注基本方法，注重數學思想

高考數學突出對通性、通法的考查，不斷弱化解題技巧，注重學生對數學思想方法的領會與運用. 對概率與統計、計數原理部分的復習，要緊緊抓住抽象、推理、模型這三個數學基本思想的核心要素，逐步提升學生的數學素養. 復習中要摒棄背題型、記套路，要循序漸進地引領學生掌握解決概率與統計問題的一般方法，螺旋上升地培養學生用概率與統計思想分析、解決問題的習慣和能力，明確在不同背景和需求下，使用不同的方法選擇、統計、分析數據，結合實際建立合適的數學模型，實現思想方法的融會貫通.

4. 關注數學本質，注重能力培養

學生的能力培養與提升并非一蹴而就，即便是高三階段，也不能拔苗助長，急于求成. 在復習中，教師要引導學生關注數學本質，明確概率統計的意義與價值，關注學生對基礎知識的理解和對數學思想方法的掌握與運用，側重提升學生邏輯推理的嚴謹性和對統計思想的感悟，增強學生“用數據說話”的意識，培養解決統計問題的能力，形成“有理有據”地支撐決策選擇的思維習慣，分階段、分層級地提升數學學科核心素養.

5. 關注教材使用，注重精講精析

教材作為落實《標準》理念、傳達《標準》要求的基本資料，既是高考命題的重要參考，也是教師教學、學生學習的重要資源. 歷年高考試題中不乏教材原題的影子，這就需要教師引導學生回歸教材，關注教材，掌握教材上的每一個知識點，并精選教材中的例題、習題，精講精析，通過典型例題，幫助學生理解基礎知識，歸納總結方法，深化數學思想，提升數學素養. 同時，要注重強化完整解答過程的板演，引導學生既關注過程，又關注解決問題的一般方法. 在精講精析過程中，要注意典型問題的選取和練習、鞏固變式，切忌一味模仿記憶. 只有學生真正學懂、弄通典型問題，才能做到舉一反三、觸類旁通，才能在解決問題時游刃有余.

四、模擬題欣賞

1. 某省黨史學習教育巡回指導組7名黨員干部（4男3女）要到三個單位調研走訪，每個單位安排男、女干部各1名，剩下1名干部負責統籌協調，則不同的安排方案有（? ? ?）.

（A）72種 （B）108種

（C）144種 （D）210種

答案：C.

2.（多選題）為弘揚我國古代“六藝”文化，某研學旅行夏令營主辦單位計劃在暑假開設“禮、樂、射、御、書、數”六門體驗課程. 若甲、乙、丙三名同學各只能體驗其中一門課程，則（? ? ）.

（A）甲、乙、丙三人選擇課程方案有120種方法

（B）恰有三門課程沒有被三名同學選中的概率為[59]

（C）已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙、丙也不選擇“御”的概率為[2536]

（D）設三名同學中選擇課程“禮”的人數為[ξ]，則[Eξ=12]

答案：BCD.

3. 對一個物理量做[n]次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果. 已知最后結果的誤差[εn ～ N0， 2n]，為使誤差[εn]在[-0.5，0.5]的概率不小于0.954 5，至少要測量的次數是? ? ? .（若[X ～ Nμ，σ]，則[PX-μ<2σ=0.954 5].）

答案：32.

4. 自新冠肺炎疫情暴發以來，中國科研團隊一直在積極地研發疫苗，在科研人員的不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的疫苗，使我國的防疫工作獲得更大的主動權. 研發疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進行了一些實驗.

（1）實驗1：選取10只健康白兔，編號1至10，注射一次疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環境中，實驗結果發現，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染. 現從這10只白兔中隨機抽取4只進行研究，將仍被感染的白兔只數記作[X]，求[X]的分布列和數學期望.

（2）科研人員在另一個實驗中發現，疫苗可多次連續注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效相互不影響，相互獨立. 試問，若將實驗1中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當作疫苗的有效率，那么1只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達到96%？若可以，說明理由;若不可以，問每支疫苗的有效率至少要達到多少才能滿足以上要求.

答案：（1）[X]的分布列如表6所示.

（2）不可以，每支疫苗的有效率至少要達到80%才能滿足要求.

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