2021年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析

周遠方 張園園 范俊明

摘? 要：2021年高考數(shù)學對圓錐曲線與方程的考查，以圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)為載體，以基本概念，通性、通法為考查重點，落實“基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性、綜合性、應(yīng)用性”的考查要求，貫徹“低起點、寬入口、多層次、高落差”的命題原則，突出圓錐曲線的“三個考查特點”和“四個命題變化”，實現(xiàn)了對學生必備知識、關(guān)鍵能力和學科素養(yǎng)的全面考查，對今后的課堂教學和復習備考都起到了積極的引導作用.通過對典型試題的命題分析，總結(jié)考查特點，為今后的高考復習備考提出建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;命題分析;考查特點;復習建議

解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，圓錐曲線與方程則是解析幾何的主干內(nèi)容. 高考主要考查橢圓、拋物線、雙曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是考查重點. 運動與變化是研究幾何問題的基本觀點，利用代數(shù)方法研究幾何問題是基本方法. 試題強調(diào)綜合性，綜合考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、特殊與一般等數(shù)學思想方法，突出考查學生的推理論證和運算求解能力，重視對學生直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查.

一、考查內(nèi)容分析

2021年全國共有8套（10份）高考數(shù)學試卷. 其中，由國家考試中心統(tǒng)一命題的有4套，分別為：全國甲卷（使用地區(qū)：四川、云南、貴州、廣西、西藏），全國乙卷（使用地區(qū)：安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古），全國新高考Ⅰ卷（使用地區(qū)：山東、湖北、湖南、廣東、福建、江蘇、河北），全國新高考Ⅱ卷（使用地區(qū)：海南、遼寧、重慶）. 全國甲卷和全國乙卷分文、理科. 由各地自主命題的4套新高考試卷分別為北京卷、天津卷、上海卷、浙江卷.

2021年各份高考數(shù)學試卷均認真落實“立德樹人”根本任務(wù)，貫徹“五育并舉”的教育方針，堅持知識為基、能力為重、素養(yǎng)導向的命題原則，重視數(shù)學的本質(zhì)，突出了對必備知識、關(guān)鍵能力和學科素養(yǎng)的考查. 各份試卷中涉及圓錐曲線的試題，題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，命題立意鮮明，采用“低起點、寬入口、多層次、高落差”的命題策略. 其中，“低起點、寬入口”立意的基礎(chǔ)題和中檔題，一般以客觀題形式呈現(xiàn)，直接考查圓錐曲線的基本概念、幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用. 例如，求圓錐曲線的離心率、漸近線方程、焦點坐標等.“多層次、高落差”立意的較難題，一般以客觀題和主觀題相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，綜合考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及位置關(guān)系下對有關(guān)幾何性質(zhì)的研究，涉及距離問題、范圍問題、面積問題、最值問題、定點定值問題等，通常是與平面向量、數(shù)列、函數(shù)與方程等知識的綜合應(yīng)用.

1. 考查特點分析

2021年各份高考數(shù)學試卷中涉及圓錐曲線內(nèi)容的試題，與往年相比，在題型、題量和分值比例上差距不大，體現(xiàn)了對主干內(nèi)容考查的穩(wěn)定性、統(tǒng)一性和連貫性，具體考查結(jié)構(gòu)詳見表1.

統(tǒng)計表明，2021年高考數(shù)學對圓錐曲線的考查呈現(xiàn)如下三個特點.

（1）題型結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定.

從題型、題量和分值比例方面來看，各份試卷均采用兼顧客觀題和主觀題的做法，分值在20 ～ 25分之間. 其中，題量與分值最少的上海卷和天津卷，都是一道客觀題和一道主觀題，分值為20分，占全卷總分值的13.3%;分值最高的是浙江卷，為25分，占全卷總分值的16.7%，其次是北京卷，為24分，占全卷總分值的16.0%;6份全國卷均為兩道客觀題加一道主觀題的組合形式，分值均為22分，占全卷總分值的14.7%.

（2）幾何直觀相對突出.

利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)是本專題的核心內(nèi)容之一，因而本專題試題既承載著對直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng)的考查，也滲透著對相應(yīng)數(shù)學思想方法的考查. 2021年各份高考數(shù)學試卷的考查仍以數(shù)形結(jié)合的思想方法、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)為主，以函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論和從特殊到一般的思想方法，以及邏輯推理素養(yǎng)等為輔. 而數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在如何把圓錐曲線的幾何特征簡化為代數(shù)運算上，需要學生深入挖掘試題中隱含的幾何特征，從特殊情況入手，以退為進、以靜制動、數(shù)形轉(zhuǎn)換、化繁為簡、簡化運算，體現(xiàn)利用坐標法解題的優(yōu)越性.

（3）試題難度相對提升.

2021年高考數(shù)學試題在整體難度穩(wěn)中有降的前提下，適當提升了對圓錐曲線內(nèi)容的考查難度. 與往年相比，2021年高考數(shù)學試卷中，將涉及圓錐曲線與方程的試題作為壓軸題的有兩份，其余8份試卷中，圓錐曲線與方程試題均出現(xiàn)在解答題倒數(shù)第2題或第3題的位置上. 試題位置的后移，體現(xiàn)了圓錐曲線與方程試題難度的相對提升.

2. 文、理科差異分析

2021年全國甲卷和全國乙卷文、理科試卷中的相同試題與往年相比明顯增多，體現(xiàn)了未來高考數(shù)學文、理科合卷的大趨勢. 涉及圓錐曲線內(nèi)容的試題，都包含兩道客觀題和一道主觀題. 從文、理科試卷中涉及圓錐曲線與方程試題的差異來看，全國甲卷中只有一道選擇題不同，其余兩道題則文、理科共用;全國乙卷中恰好相反，只有主觀題以姊妹題的形式呈現(xiàn)，其余兩道客觀題則完全不同. 從文、理科試題的難度來看，文、理科試卷中本專題試題難度有所調(diào)整：全國甲卷文科本專題主觀題放在壓軸題的位置上，理科則放在解答題倒數(shù)第2題或第3題的位置上;全國乙卷則與之相反，理科放在壓軸題的位置上，文科放在解答題倒數(shù)第2題或第3題的位置上.

通過試題位置調(diào)整、以姊妹題呈現(xiàn)等方式，均有效調(diào)控了文、理科試題的相對難度，起到了積極的導向作用. 全國甲卷和全國乙卷文、理科試卷中圓錐曲線與方程相關(guān)試題的具體差異詳見表2.

3. 2021年高考圓錐曲線與方程試題的四大變化

（1）考點、題型常規(guī)變化.

一般是兩道客觀題和一道主觀題，題型相對穩(wěn)定、分值相對固定，變化的主要是命題素材、核心考點，以及對思想方法和學科素養(yǎng)的考查方式，主要以曲線方程、幾何性質(zhì)和位置關(guān)系為載體，基本上是在距離問題、范圍問題、面積問題、最值問題、定點定值問題等典型問題情境上做文章.

（2）曲線類型交替變化.

通常是橢圓、雙曲線、拋物線三類曲線輪轉(zhuǎn)變化、交替出現(xiàn).

（3）問題情境動態(tài)變化.

往往是利用一般問題特殊化、動態(tài)問題靜態(tài)化等方式，通過定點、定值等問題展現(xiàn)解析幾何動靜相宜的本質(zhì)特征.

（4）文、理科差異調(diào)整變化.

在高考面臨文、理科合卷的背景下，逐步增加文、理科相同試題，合理調(diào)控文、理科的難度差異，必將會在圓錐曲線與方程相關(guān)的試題上體現(xiàn)得更加充分.

二、命題思路分析

2021年高考圓錐曲線試題，緊扣《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，兼顧新、舊教材內(nèi)容，全面考查圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，貫徹“低起點、寬入口、多層次、高落差”的調(diào)控策略，有效發(fā)揮了圓錐曲線與方程試題的甄別功能. 具體命題思路和命題意圖主要表現(xiàn)在如下“四個突出”上.

1.“低起點”考查基礎(chǔ)性，突出圓錐曲線的幾何本質(zhì)

根據(jù)前面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析，2021年的大多數(shù)高考數(shù)學試卷都在選擇題1 ～ 5題和填空題11 ～ 15題的位置上設(shè)計圓錐曲線與方程的相關(guān)試題，并且都采用“起點低、寬入口”的命題策略，著重考查解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本方法，面向全體學生，讓不同層次的學生都有獲得感.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·5）已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓[C：][x29+y24=1]的兩個焦點，點[M]在[C]上，則[MF1 ? MF2]的最大值為（? ? ）.

（A）13 （B）12 （C）9 （D）6

【評析】此題主要考查橢圓的定義、標準方程、焦點、焦半徑、距離等相關(guān)概念，在考查平面解析幾何的基本思想方法的同時，考查了解析幾何中求解最值問題的思想方法，以及學生的邏輯推理能力和運算求解能力. 試題的設(shè)計源于教材又高于教材，充分體現(xiàn)了對學生數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)量關(guān)系綜合運用能力的考查，既體現(xiàn)了應(yīng)用基本不等式求距離最值的基本方法，又考查了學生對橢圓定義本質(zhì)的理解.

例2 （全國新高考Ⅱ卷·13）已知雙曲線[C ： x2a2-][y2b2=1 a>0，b>0]的離心率[e=2，] 則雙曲線[C]的漸近線方程為? ? ? ? ? ?.

【評析】此題以雙曲線的標準方程為載體，主要考查雙曲線的離心率、漸近線等基本概念，考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng). 此題運算量小、難度適中，面對全體學生，屬于基礎(chǔ)題. 學生只要清楚基本概念和基本量關(guān)系，便能正確解答.

例3 （全國甲卷·文16 / 理15）已知[F1，F(xiàn)2]為橢圓[C： x216+y24=1]的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且[PQ=F1F2，] 則四邊形[PF1QF2]的面積為? ? ? ? ?.

【評析】此題以橢圓的標準方程為載體，主要考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，以及平面幾何中矩形的判定定理、勾股定理等知識，考查學生對運動與變化、特殊與一般思想方法的理解與掌握，考查學生對橢圓焦點三角形的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化與化歸思想的綜合運用，考查學生對幾何與代數(shù)統(tǒng)一性的理解程度. 此題文、理科共用，體現(xiàn)了高考試題文、理趨同的變化.

2.“多層次”考查綜合性，突出圓錐曲線的多元聯(lián)系

從圓錐曲線內(nèi)容選擇的角度來看，綜合性要求以定義、方程和性質(zhì)相互關(guān)聯(lián)的活動組成的復雜情境為載體，能夠反映圓錐曲線核心知識和關(guān)鍵能力的整合及其綜合運用.“多層次”體現(xiàn)為既在試題的難度設(shè)計上有層次性，又在思維的靈活性和深刻性上發(fā)揮區(qū)分功能. 特別是由于圓錐曲線數(shù)與形結(jié)合的獨特性和廣泛的應(yīng)用性，使其與其他數(shù)學知識和跨學科知識形成了多元聯(lián)系.

例4 （浙江卷·16）已知橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0，]焦點[F1-c，0，F(xiàn)2c，0 c>0，] 若過點[F1]的直線和圓[x-12c2+y2=c2]相切，與橢圓在第一象限交于點P，且[PF2⊥Ox，] 則該直線的斜率是? ? ? ? ，橢圓的離心率是? ? ? ? .

【評析】此題以直線、圓、橢圓和它們之間的位置關(guān)系為依托，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓相切、平面幾何中的三角形相似等知識，要求學生能用平面幾何知識把橢圓和圓中的線段結(jié)合起來，具有一定的綜合性.

例5 （全國新高考Ⅱ卷·20）已知橢圓[C ： x2a2+][y2b2=1 a>b>0，] 右焦點為[F2，0，] 且離心率為[63.]

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）設(shè)[M，N]是橢圓[C]上的兩點，直線[MN]與曲線[x2+][y2=b2 x>0]相切. 證明：[M，N，F(xiàn)]三點共線的充要條件是[MN=3.]

【評析】此題的第（2）小題以橢圓和圓為載體，將直線和圓相切、三點共線、相交弦長公式、充要條件等高中數(shù)學主干知識有機地結(jié)合起來進行考查，體現(xiàn)了在知識交會處命題的原則. 同時，此題考查了學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展情況，綜合性強.

例6 （上海卷·20）如圖1，已知橢圓[Γ： x22+][y2=1，] [F1，F(xiàn)2]是其左、右焦點，直線l過點[Pm，0][m<-2]交橢圓[Γ]于A，B兩點，且A，B在x軸上方，點A在線段BP上.

（1）若B是上頂點，[BF1=PF1，] 求m的值;

（2）若[F1A ? F2A=13，] 且原點O到直線l的距離為[41515，] 求直線l的方程;

（3）求證：對于任意[m<-2，] 使得[F1A∥F2B]的直線有且僅有一條.

【評析】此題以橢圓為背景，根據(jù)所給的向量條件不同，考查不同內(nèi)容，涉及向量的模、向量的數(shù)量積及共線向量等知識. 既體現(xiàn)知識的連貫性，又凸顯知識的交叉性;既考查學生對基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握情況，又考查學生的綜合能力.

3.“多模型”考查應(yīng)用性，突出圓錐曲線的育人價值

圓錐曲線的圖形美、對稱美和簡潔美無處不在，其內(nèi)容中蘊含著豐富的數(shù)學文化素材，因此教學時要充分挖掘這些數(shù)學文化元素，引導學生弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，真正做到以史育人、以美化人. 2021年高考涉及圓錐曲線與方程的試題，多處體現(xiàn)圖形之美，以及試題背后深刻的文化背景. 例如，全國新高考Ⅰ卷第21題考查的實質(zhì)為四點共圓的結(jié)論，全國乙卷理科第21題的圖形來源于“阿基米德三角形”，全國甲卷理科第20題則以“彭賽列閉合定理”為背景展開研究，這些都充分體現(xiàn)了圓錐曲線的育人價值.

例7 （全國乙卷·理21）已知拋物線[C：x2=][2py p>0]的焦點為[F，] 且[F]與圓[M：x2+y+42=1]上點的距離的最小值為[4.]

（1）求[p;]

（2）若點[P]在[M]上，[PA，PB]是[C]的兩條切線，[A，B]是切點，求[△PAB]面積的最大值.

【評析】此題的第（2）小題有兩種解題思路：一種是按照圖形的生成順序，設(shè)點P的坐標，寫出切線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，解出點A，B的坐標，將[AB]作為底邊，點P到直線的距離作為高寫出三角形面積進而求出最大值. 另一種是觀察到這是開口向上的拋物線，可以設(shè)點A，B的坐標，求導得到切線斜率，聯(lián)立兩條切線的方程求出點P的坐標，將[AB]作為底邊，點P到直線的距離作為高寫出三角形面積，進而求出最大值.

在此題的解答過程中，直線[AB]的方程的求解至關(guān)重要，如果學生想到利用同構(gòu)的思想求解，就會達到事半功倍的效果. 另外，如圖2所示，此題考查的[△PAB]模型來源于“阿基米德三角形”，這是繼2019年全國Ⅲ卷第21題考查此模型后的再次考查.

此題入口較寬，很容易找到解決問題的思路，但要繼續(xù)下去，需要學生具有較強的運算功底. 此題不僅考查了拋物線的雙切線問題，還考查了三角形的面積表示及最值問題，都屬于解析幾何中的主干內(nèi)容. 將幾個內(nèi)容結(jié)合在一起考查，充分體現(xiàn)了圓錐曲線與方程試題綜合檢驗學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)的考查功能.

例8 （全國甲卷·文21 / 理20）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：[x=1]交C于P，Q兩點，且[OP⊥OQ.] 已知點[M2，0，] 且圓[M]與l相切.

（1）求C，圓[M]的方程;

（2）設(shè)[A1，A2，A3]是C上的三個點，直線[A1A2，A1A3]均與圓[M]相切. 判斷直線[A2A3]與圓[M]的位置關(guān)系，并說明理由.

【評析】此題以直線、圓和拋物線的位置關(guān)系為載體，主要考查圓與拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)，綜合考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想方法，要求學生能夠根據(jù)問題情境建立直線、圓和拋物線的方程，能夠運用代數(shù)的方法研究三種曲線之間的基本關(guān)系. 此題雖然涉及的圖形看起來比較復雜，元素較多，但考查的本質(zhì)是直線與圓、拋物線的位置關(guān)系，學生只要抓住解決此類問題的基本方法，將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑，問題就能迎刃而解. 事實上，此題第（2）小題以“彭色列閉形定理”為背景立意設(shè)問，關(guān)鍵是破解三條直線與圓相切的問題，這需要學生善于利用同構(gòu)方程的思想，既要考慮直線斜率不存在的特殊情況，又要運用整體運算策略簡化過程，體現(xiàn)了高考對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)的考查力度.

例9 （浙江卷·21）如圖3，已知F是拋物線[y2=2px p>0]的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且[MF=2.]

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，若斜率為2的直線l與直線[MA，MB，AB，] x軸依次交于點P，Q，R，N，且滿足[RN2=PNQN，] 求直線l在x軸上截距的范圍.

【評析】此題以拋物線為載體，采用圖文并茂的方式，主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線截距的取值范圍等知識，要求學生根據(jù)問題的幾何特征，合理選擇直線方程的形式，將復雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為常規(guī)的代數(shù)運算，通過構(gòu)建有關(guān)截距的函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)與方程的思想，利用換元法等化歸方法，把復雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍問題，方可求得截距范圍. 此題圖形關(guān)系比較復雜，動態(tài)變化特征明顯，無論是對學生的代數(shù)運算能力，還是幾何直觀素養(yǎng)，都提出了較高要求.

4.“高落差”考查創(chuàng)新性，突出圓錐曲線的豐富內(nèi)涵

本專題試題在解答題的設(shè)計上重視了難度和思維的層次性，體現(xiàn)了解題方法的多樣性，給學生提供了多種分析問題和解決問題的途徑. 同時，命題注重挖掘圓錐曲線的深刻背景和豐富內(nèi)涵，在設(shè)問方式上堅持開放創(chuàng)新，考查學生即學、知學和善學的創(chuàng)新能力.

例10 （全國新高考Ⅰ卷·21）在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[F1-17，0，F(xiàn)217，0，] 點[M]滿足[MF1-MF2=2.] 記點[M]的軌跡為[C.]

（1）求[C]的方程;

（2）設(shè)點[T]在直線[x=12]上，過點[T]的兩條直線分別交[C]于[A，B]兩點和[P，Q]兩點，且[TATB=TP ?][TQ，] 求直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和.

【評析】第（1）小題考查雙曲線定義，要求學生概念清晰，范圍意識優(yōu)先，能準確判斷只有雙曲線的一支，既考查了基本概念，又考查了學生思維的嚴謹性，凸顯對理性思維的考查要求. 第（2）小題，改變以往存在性問題的設(shè)問方式，采取有序開放問題探索的內(nèi)容，要求學生運用解析幾何的基本思想方法探究問題，考查學生在開放的情境中分析和解決問題的能力. 此小題有多種解題思路，思路1是設(shè)過點[T]的兩條直線為點斜式，聯(lián)立直線與雙曲線方程，用直線的斜率和點的橫坐標表示出線段長，代入等式化簡整理，得出結(jié)果. 思路2是設(shè)過點[T]的兩條直線為斜截式，聯(lián)立直線與雙曲線方程，用直線的斜率和縱截距表示出線段長，代入等式化簡整理，得出結(jié)果. 同時，以上兩種思路均可先利用點[T]在x軸上的特殊點位置入手，抓住圖形的對稱性分析出斜率之和為0的結(jié)果. 思路3是利用直線的參數(shù)方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由參數(shù)的幾何意義能較快得到線段長度，代入等式化簡整理，得出結(jié)果. 這些不同的解題思路都需要學生運用方程的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想簡化運算，優(yōu)化解題過程. 此題充分體現(xiàn)了對通性、通法的考查，對學生的直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng)起到了很好的檢驗作用.

同時，此題第（2）小題中的條件[TATB=TPTQ]可以變形為[TATP=TQTB，] 結(jié)合[∠ATQ=∠BTP，] 可以推出[△TAQ]∽[△TPB，] 則[∠TQA=∠TBP，] 故A，B，P，Q四點共圓. 因此，此題考查的就是圓錐曲線中四點共圓的結(jié)論.

實際上，這一結(jié)論可以追根溯源到人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（選修4—4）》第38頁的例4：如圖4，AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P. 兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為[∠1，∠2，] 且[∠1=∠2]. 求證：[PAPB=][PCPD.]

事實上，例10只是在此例題的基礎(chǔ)上把橢圓變成了雙曲線，把題目的條件和結(jié)論交換了順序，在考查圓錐曲線的必備知識和關(guān)鍵能力上是一脈相承的.

三、復習備考建議

根據(jù)以上對2021年圓錐曲線和方程相關(guān)試題的命題分析，針對解析幾何實際教學和高考數(shù)學評卷過程中普遍存在的問題，現(xiàn)對本專題教學，給出如下“四化、四重”的復習備考建議.

1. 深化特征，注重回歸教材內(nèi)容的教學

在教學中，依托教輔資料、脫離教材內(nèi)容和自編導學案等進行復習備考的現(xiàn)象，依然十分普遍. 主要表現(xiàn)為：教師在新課教學時認為課后習題過于簡單、基礎(chǔ)而棄之不顧，取而代之的是高考題和模擬題;課堂上不愿意在概念的形成過程和概念的本質(zhì)分析上下功夫，而是拋出概念后就馬上進行概念性質(zhì)的應(yīng)用，然后歸納出解題的步驟方法，接著就是機械刷題. 正確的做法是：教師必須尊重學生思維的發(fā)展規(guī)律，擺脫概念的死記硬背、題型的機械訓練，讓學生在嘗試和體驗中加深領(lǐng)會. 不能舍本逐末，需要端正態(tài)度，回歸教材內(nèi)容，認真研究教材中涉及的概念、定理、基本思想和基本方法，注意深入挖掘題目隱含的幾何特征，遵循從教材中來到高考中去的原則，打通教材與高考的通道. 正如前面對全國新高考Ⅰ卷第21題的分析，如果學生把教材上的例題學懂、弄通，對問題的本質(zhì)進行探究，高考面對此類問題時就會水到渠成.

2. 類化解法，注重建構(gòu)知識體系的引導

在高三第一輪復習中，一般都是先進行基礎(chǔ)知識和基本方法的梳理，然后回顧幾道典型的例題，接著就是題型套路的訓練. 這樣單調(diào)乏味的知識羅列和例題講解容易導致學生興趣不濃、激情不高. 因此，在注重幾何本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要加強數(shù)形結(jié)合的思維訓練，促使學生養(yǎng)成一題多解、多法歸一和類化解法的習慣;尤其要注意增強解一題、會一類、通一片的類化意識. 要以問題情境為載體，將學生探究活動線、知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)線、思想方法蘊含線有機融為一體，在精心設(shè)計的問題串的有效驅(qū)動下，讓學生在問題探究與解決的過程中實現(xiàn)知識的歸納與概括、思想方法的總結(jié)與提煉、知識脈絡(luò)的連接與梳理，進而形成較為完備的知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)真正意義上知識體系的有效建構(gòu)，使學生達到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的境界.

3. 強化運算，注重運算求解能力的提升

運算是解析幾何的基本功. 圓錐曲線的教學，首先，要掌握好解決各種典型問題（如線段長、面積法、弦中點、三點共線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等）的通性、通法，特別是要善于挖掘坐標法解題的幾何特征與代數(shù)特征. 其次，要逐步提升學生的運算求解能力，要在明晰圓錐曲線運算特點的基礎(chǔ)上，依據(jù)合理設(shè)點、恰當設(shè)線、設(shè)而不求、整體代換等運算技巧解決幾何問題. 每年高考圓錐曲線主觀題的運算失誤可謂五花八門、舉不勝舉，主要原因是運算思路混亂、運算方法不當、運算法則混淆等導致的運算結(jié)果出錯，因粗心導致的運算失誤更是比比皆是、層出不窮. 因運算失誤得不到應(yīng)得的分數(shù)，這樣的失分是最令人扼腕的. 而運算求解能力不是一朝一夕就能提高的. 因此，強化運算必須做到課內(nèi)外結(jié)合，才能落實到位.

4. 優(yōu)化過程，注重直觀想象素養(yǎng)的提升

歷年高考數(shù)學評卷過程表明，大多數(shù)學生在解析幾何通性、通法的掌握和邏輯推理方面存在著不同程度的缺陷和通病，特別是因為直觀想象素養(yǎng)的缺失，導致缺步、跳步和跨步作答的現(xiàn)象比較普遍. 因此，在圓錐曲線教學目標的制定和教學過程的設(shè)計上，都必須注重概念的形成過程和思維的優(yōu)化過程，突出幾何直觀的作用和意義，并通過多樣化地創(chuàng)設(shè)情境、多層次地設(shè)計問題、多途徑地優(yōu)化過程，逐步引導學生會用數(shù)形結(jié)合的思想觀察圓錐曲線問題，會用直觀想象的思維思考圓錐曲線問題，會用代數(shù)運算的方法解決圓錐曲線問題.

四、模擬試題欣賞

1. 已知雙曲線[C： x22-y2b2=1]的漸近線方程為[y=±22x，] 則[C]的焦距等于（? ? ）.

（A）[3] （B）3

（C）[23] （D）4

答案：C.

2. 拋物線[C：y2=8x]的焦點為[F，] 在[C]上有一點[P，][PF=6，PF]的中點[N]到[C]的準線[l]的距離為（? ? ）.

（A）[6] （B）5

（C）[4] （D）[12]

答案：B.

3. 已知拋物線[C：x2=4y，] 過點[P4，2]向拋物線[C]作兩條切線，切點分別為[M，N，] 則[MFNF]的值為? ? ? ?.

答案：17.

4. 已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0，] 橢圓C的離心率為[5-12，A，F(xiàn)]分別是橢圓C的右頂點和右焦點，圓[O：x2+y2=b2，] 過右焦點F作[PF⊥Ox，] 交圓O于點P，則直線AP與圓O的位置關(guān)系為? ? ? ?.

答案：相切.

5. 已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]焦距為2，連接橢圓的上頂點和左頂點的直線的斜率為[32.]

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）過橢圓[C]右焦點[F]且不與[x]軸重合的直線與橢圓[C]相交于[A，B]兩點，點[P2，0，] 求直線[AP，][PB]斜率之積.

答案：（1）[x24+y23=1];（2）[-94.]

6. 已知橢圓[C1： x24+y23=1，] 一動圓[C2]過橢圓[C1]的右焦點[F，] 且與直線[x=-1]相切.

（1）求動圓圓心軌跡[C2]的方程;

（2）過點[F]作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓[C1]于[P，Q]兩點，交動圓[C2]于[M，N]兩點，求四邊形[PMQN]面積的最小值.

答案：（1）[C2：y2=4x;]（2）最小值為8.

參考文獻：

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