2021年高考“不等式選講”專題命題及解題分析

薛紅霞 李海玲

摘? 要：針對2021年高考數(shù)學全國甲卷、全國乙卷中的“不等式選講”試題，分析其命題特點，從解法的角度對其進行欣賞，在此基礎(chǔ)上提出2022年高考“不等式選講”專題的復(fù)習備考建議，并編擬了模擬題.

關(guān)鍵詞：不等式選講;命題分析;解法欣賞;復(fù)習建議

2021年高考數(shù)學“不等式選講”的試題在全國甲卷和全國乙卷中分別有1道題目. 下面從考查內(nèi)容、命題特點、解法欣賞三個方面對它們進行分析.

一、考查內(nèi)容分析

1. 考點與內(nèi)容分析

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》及考試大綱，“不等式選講”部分要求：理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明不等式[a+b≤a+b]和[a-b≤a-c+c-b];會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式[ax+b≤c]，[ax+b≥c]和[x-a+][x-b≥c];等等. 2021年高考數(shù)學全國甲卷考查了畫含有絕對值的函數(shù)的圖象，當不等式恒成立時，求參數(shù)的取值范圍;全國乙卷考查了求解[x-a+x-b≥c]型不等式，當不等式恒成立時，求參數(shù)的取值范圍. 覆蓋了“不等式選講”的重點內(nèi)容，也是歷年來重點考查的內(nèi)容.

2. 思想方法分析

（1）考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.

2021年高考數(shù)學全國甲卷文（理）科第23題第（1）小題要求畫出兩個函數(shù)[y=fx]與[y=gx]的圖象，凸顯了由數(shù)到形，并為第（2）小題的求解奠定了基礎(chǔ). 第（2）小題是“若[fx+a≥gx]，求[a]的取值范圍”，根據(jù)[fx+a]的幾何意義，即要判斷“將函數(shù)[y=fx]的圖象向哪個方向平移、平移多少個單位”能實現(xiàn)[fx+a≥][gx]，在此基礎(chǔ)上求出[a]的取值范圍. 第（2）小題是從形到數(shù)的過程. 整道試題，從條件、思考的方法到求解，處處充滿了數(shù)形結(jié)合思想方法的運用.

全國乙卷文（理）科第23題第（1）小題是求解不等式，也可以采用數(shù)形結(jié)合思想方法求解.

（2）注重對函數(shù)思想方法的考查.

兩道試題的已知條件中給出的都是函數(shù)，體現(xiàn)了函數(shù)對方程和不等式的統(tǒng)領(lǐng)作用. 因此，可以從函數(shù)的視角求解不等式，或者解決不等式恒成立問題. 例如，全國甲卷文（理）科第23題第（2）小題充分利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系、關(guān)鍵點求解問題，后續(xù)給出的三種解法都充分體現(xiàn)了函數(shù)在求解不等式問題中的重要作用. 全國乙卷文（理）科第23題第（1）小題充分利用了函數(shù)求解不等式，或者用純粹代數(shù)的方法，或者用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 該題的第（2）小題，也可以用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解.

（3）注重對絕對值幾何意義的考查.

在全國乙卷文（理）科第23題的第（1）小題中，[x-1+x+3]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和，[x-1+x+3≥6]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和不小于[6]. 根據(jù)絕對值及不等式的幾何意義，只需要找到滿足[x-1+][x+3=6]的[x]的值即可. 第（2）小題已知[fx>-a]，即[x-a+x+3>-a]，利用不等式[a-b≤a-c+c-b]即可達到對[x-a+x+3]的放縮，繼而求解. 對比幾種解法，可見利用絕對值、不等式的幾何意義求解，可以簡化計算過程.

此外，2021年高考數(shù)學“不等式選講”試題還考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想. 例如，絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為非絕對值函數(shù)問題，不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，等等.

二、命題特點分析

1. 求解思路多，覆蓋全面

對于含絕對值的函數(shù)不等式，常用的求解方法有：去絕對值寫成分段函數(shù);借助函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合思想;利用絕對值的性質(zhì). 全國乙卷文（理）科第23題的兩道小題可以采用其中任何一種方法求解. 這種命制方法有利于不同思維特點的學生進行自由選擇，而且通過一道試題全面覆蓋了此類問題的常用求解方法，非常巧妙！

2. 注重考查基礎(chǔ)

從歷年“不等式選講”部分考查的主要內(nèi)容來看，去絕對值、函數(shù)思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、分類討論思想方法等是求解“不等式選講”試題的基本技能和基本思想方法. 2021年高考數(shù)學的兩道“不等式選講”試題，緊扣這些考查特點，并且求解方法靈活多樣，能使不同思維特點、不同基礎(chǔ)、不同能力的學生都能發(fā)揮出應(yīng)有的水平.

特別地，2021年高考數(shù)學的兩道“不等式選講”試題都非常注重考查學生畫函數(shù)圖象的基本技能，以及依據(jù)所畫函數(shù)圖象進行分析，從而獲得進一步求解思路的能力.

三、試題解法欣賞

例1 （全國甲卷·文 / 理23）已知函數(shù)[fx=][x-2]，[gx=2x+3-2x-1].

（1）在圖1中畫出[y=fx]和[y=gx]的圖象;

（2）若[fx+a≥gx]，求[a]的取值范圍.

解：（1）去絕對值，得[fx=x-2=2-x，x<2，x-2，x≥2.]

畫出該函數(shù)的圖象，如圖2所示.

去絕對值，得

[gx=2x+3-2x-1=-4，x<-32，4x+2，-32≤x<12，4，x≥12.]

畫出該函數(shù)的圖象，如圖3所示.

【評析】該題考查了學生對絕對值定義的理解，并據(jù)此去絕對值，將含絕對值的問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值的問題，并考查學生畫函數(shù)圖象的基本技能.

（2）（方法1）由題意，知[fx+a=x+a-2].

在同一個坐標系里畫出函數(shù)[fx，gx]的圖象，如圖4所示.

因為[y=fx+a]的圖象是將[y=fx]的圖象平移[a]個單位得到，

所以要使[fx+a≥gx]，需將[y=fx]向左平移，即[a>0].

當[y=fx+a]過[A12，4]時，[12+a-2=4]，

解得[a=112]或[a=-52]（舍去）.

通過數(shù)形結(jié)合，可知需要將[y=fx]的圖象至少向左平移[112]個單位.

所以[a]的取值范圍是[112，+∞].

【評析】這種解法充分應(yīng)用了第（1）小題繪制的函數(shù)圖象及[fx+a]的幾何意義. 找到函數(shù)[y=fx+a]的圖象的關(guān)鍵位置，得到[12+a-2=4]，求出此時[a]的值，即[a=112]，再由數(shù)形結(jié)合確定[a]的取值范圍.

（方法2）當[a≤0]時，即將函數(shù)[y=fx]的圖象向右平移[a]個單位，

結(jié)合圖象，可知[?x∈2，+∞]使得[fx<4].

所以不滿足[fx+a≥gx].

當[a>0]時，即將函數(shù)[y=fx]的圖象向左平移[a]個單位.

因為[fx+a≥gx]恒成立，

所以[f12+a≥4].

解得[a≥112].

所以[a]的取值范圍是[112，+∞].

【評析】與方法1相比，該解法也是運用數(shù)形結(jié)合思想方法求解，但是具體的解題思路有所不同. 該解法注重代數(shù)分析，先分析參數(shù)[a]的取值，確定[a]應(yīng)該取正數(shù)，再找關(guān)鍵點滿足的條件，得到[f12+a≥4]，進而求解.

（方法3）因為[fx+a≥gx]恒成立，

所以由圖象可知，只需[fx+a=4]時[x≤12]即可.

因為[x+a-2=4，x≤12，]

所以[6-a≤12，-2-a≤12，] 解得[a≥112].

所以[a]的取值范圍是[112，+∞].

【評析】與方法1和方法2一樣，該解法依然是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，先找到函數(shù)[y=fx+a]的圖象應(yīng)該滿足的條件“當[fx+a=4]時，[x≤12]”，然后轉(zhuǎn)化為不等式求解.

例2 （全國乙卷·文 / 理23）已知函數(shù)[fx=][x-a+x+3.]

（1）當[a=1]時，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a]，求[a]的取值范圍.

解：（1）（方法1）當[a=1]時，[fx=x-1+x+3].

如圖5，[x-1+x+3]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和.

所以[fx≥6]表示數(shù)軸上的點到[1]和[-3]的距離之和不小于[6].

當[x=-4]或[x=2]時，所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到[1]和[-3]所對應(yīng)的點的距離之和等于6.

所以數(shù)軸上到[1]和[-3]所對應(yīng)的點的距離之和大于等于[6]所對應(yīng)點的坐標范圍是[x≤-4]或[x≥2].

所以[fx≥6]的解集為[-∞，-4?2，+∞].

【評析】這種解法利用絕對值和不等式的幾何意義，先找到滿足條件的關(guān)鍵點[x=-4]和[x=2]，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

（方法2）當[a=1]時，[fx=-2x-2，x≤-3，4，-31.]

于是[fx≥6]等價于[x≤-3，-2x-2≥6，] 或[x>1，2x+2≥6.]

解得[x≤-4]或[x≥2].

因此不等式[fx≥6]的解集為[-∞，-4?2，+∞].

【評析】這種解法是純粹的代數(shù)解法，去絕對值轉(zhuǎn)化為不等式求解.

（方法3）當[a=1]時，[gx=fx-6=-2x-8，x≤-3，-2，-31.]

于是[fx≥6]等價于[gx≥0].

所以[x≤-3，-2x-8≥0，] 或[x>1，2x-4≥0.]

下同方法2.

【評析】該解法與方法2本質(zhì)上是一致的，不同之處是構(gòu)造了一個新的函數(shù)[gx].

（方法4）函數(shù)[fx]的圖象如圖6所示.

由[-2x-2=6]，得[x=-4].

由[2x+2=6]，得[x=2].

故不等式[fx≥6]的解集為[-∞，-4?2，+∞].

【評析】與方法2和方法3一樣，該解法也是利用函數(shù)求解不等式，差異在于該解法是借助函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合思想求解，而方法2和方法3則是純粹地運用代數(shù)方法求解.

（2）（方法1）由絕對值的幾何意義，知[x-a]表示數(shù)軸上的點[x]到點[a]的距離，[x+3]表示數(shù)軸上的點[x]到點[-3]的距離，

于是[fx]的最小值為[a+3].

因此[fx>-a]當且僅當[a+3>-a].

解得[a]的取值范圍為[-32，+∞].

【評析】要使[fx>-a]，只需要找到[fx=x-a+][x+3]的最小值即可. 該解法利用絕對值的幾何意義求得函數(shù)的最小值，進而求解.

（方法2）因為[fx]=[x-a]+[x+3][≥][x-a-x+3]=[-a-3=a+3].

所以[fxmin=a+3>-a].

解得[a]的取值范圍為[-32，+∞].

【評析】與方法1相比，該解法是用不等式的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值.

（方法3）當[a<-3]時，[fx]在[-∞，a]上單調(diào)遞減，在[-3，+∞]上單調(diào)遞增，在[a，-3]上恒為[-3-a].

因此[fxmin=-3-a>-a]，

解得[a∈?].

當[a>-3]時，[fx]在[-∞，-3]上單調(diào)遞減;在[a，+∞]上單調(diào)遞增，在[-3，a]上恒為[a+3].

因此[fxmin=a+3>-a]，

解得[a>-32].

當[a=-3]時，[fx=2x+3>3]不成立.

因此[a]的取值范圍為[-32，+∞].

【評析】該解法依然是在尋找函數(shù)的最小值，但是利用了函數(shù)圖象的單調(diào)性，并分段討論求解.

（方法4）因為[fx=x-a+x+3>-a]，

所以[x-a>-a-x+3].

所以[x-a>-a-x+3]或[x-a

所以[2a>x-x+3].

令[gx=x-x+3]，

解得[gxmax=-3].

因此[a]的取值范圍為[-32，+∞].

【評析】與前面三種方法不同，該解法是對參數(shù)進行了分離，之后構(gòu)建新的函數(shù)，求出函數(shù)的最值，進而得到參數(shù)的取值范圍.

四、復(fù)習建議

根據(jù)如上分析，對“不等式選講”部分的高考復(fù)習提出如下建議.

1. 注重培養(yǎng)學生分析問題的能力和規(guī)范準確的表達能力

“不等式選講”部分的高考試題一直以來都是以考向多變、思維靈活為主要特點，原因有兩個：第一，從函數(shù)觀點看待不等式，使得不等式問題的求解可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，于是既可以用代數(shù)法求解，還可以通過數(shù)形結(jié)合求解;第二，絕對值的幾何意義及不等式的性質(zhì)使得求解方法靈活多變.

面對這樣的特點，教師在教學中就要注重培養(yǎng)學生分析問題的能力，使他們學會選擇最優(yōu)的方法進行求解. 同時，要選擇經(jīng)典試題進行分析，利用不同的方法求解，提高學生思維的靈活性.

本部分試題不同解法的表達方式不盡相同. 相對而言，代數(shù)法計算量大，但是容易書寫;幾何法計算量小，但經(jīng)常會出現(xiàn)表達不清楚、不準確的情況. 數(shù)學表達是數(shù)學思維的外在表現(xiàn)，也是考試得分的依據(jù)，因此要注意培養(yǎng)學生正確、清晰地表達自己思維過程的能力.

2. 注重培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和知識的全面性

因為與函數(shù)關(guān)系密切，所以有些“不等式選講”試題的設(shè)置接近函數(shù)問題. 例如，2021年高考的兩道“不等式選講”試題的第（2）小題，此類問題俗稱“恒成立問題”，即已知某個不等式恒成立，需要求參數(shù)的取值范圍. 這種問題很容易在“區(qū)間的端點是否可取”上出現(xiàn)錯誤. 因此，在教學中，教師要給學生提供切實可行的辦法，如針對區(qū)間端點值是否可取進行驗證，消滅“易錯點”，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

2021年高考對“不等式選講”部分的考查均是有關(guān)絕對值函數(shù)不等式問題的解法，但是從歷年該專題的相關(guān)試題來看，不等式的證明還會考查. 例如，2017年全國Ⅱ卷第23題，其依據(jù)是考試說明中的“了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法”. 因此，還要注重對不等式證明的復(fù)習，不能偏漏.

五、模擬題欣賞

1. 已知函數(shù)[fx=2x-m+2x+3m].

（1）若[m=12]，試解不等式[fx≤8];

（2）[fx≥7]恒成立，求實數(shù)[m]的取值范圍.

解：（1）當[m=12]時，[fx=2x-12+2x+3].

所以[fx=-4x-52，x≤-32，72，-3214.]

因為[fx≤8]，

所以[-4x-52≤8，x≤-32，] 或[72≤8，-3214.]

解得[-218≤x≤-32]，或[-32

所以不等式的解集為[x-218≤x≤118].

（2）[fx=2x-m+2x+3m]

[≥2x-m-2x+6m]

[=7m]，

當且僅當[2x-m2x+6m≤0]時取等號.

因為[fx≥7]恒成立，

所以[7m≥7]，即[m≤-1或m≥1].

故[m]的取值范圍是[-∞，-1∪1，+∞].

2. 已知函數(shù)[fx=3x-1+2x-3].

（1）如果關(guān)于[x]的方程[3x-1+2x-3=a]有兩個不同的實數(shù)根，求[a]的取值范圍;

（2）如果不等式[fx≤bx]的解集非空，求[b]的取值范圍.

解：（1）[fx=3x-1+2x-3=5x-7，x≥3，x+5， 13≤x<3，-5x+7，x<13.]

當[x≥3]時，函數(shù)[fx]單調(diào)遞增，并且[fx≥8];

當[13≤x<3]時，函數(shù)[fx]單調(diào)遞增，并且[163≤fx<8];

當[x<13]時，函數(shù)[fx]單調(diào)遞減，并且[fx>163].

綜上所述，當[x≥13]時，函數(shù)[fx]單調(diào)遞增，當[x<13]時，函數(shù)[fx]單調(diào)遞減，且[fx≥163].

要使關(guān)于[x]的方程[3x-1+2x-3=a]有兩個不同的實數(shù)根，則[a]的取值范圍為[aa>163].

（2）記點[M3，8]，坐標原點為[O0，0].

所以直線[OM]的斜率為[k=83].

因為[f3=8]，

所以當直線[y=bx]的斜率[b<-5]或[b≥83]時，該直線與函數(shù)[fx=3x-1+2x-3]的圖象相交.

因為不等式[fx≤bx]的解集非空，

所以[b]的取值范圍是[bb<-5，或b≥83].

3. 已知函數(shù)[fx=x-3+x-a]，當[x≤3]時，[fx]的最小值是2.

（1）求[a];

（2）若[m+2n=a]，求證[5m2+n2≥1].

解：因為[x≤3]，

所以[x-3≤0].

所以[fx=x-3+x-a=3-x+x-a].

（1）當[a≤3]時，[fx=-2x+a+3，x≤a，3-a，a

所以[fxmin=fa=3-a].

由[3-a=2]，得[a=1].

當[a>3]時，由[x≤3]，得[x-a<0].

所以[fx=-2x+3+a].

所以[fxmin=f3=-3+a].

由[-3+a=2]，得[a=5].

綜上所述，[a=1]或[a=5].

（2）當[a=1]時，[m+2n=1].

所以[5m2+n2=12+22m2+n2≥m+2n2=1].

當[a=5]時，[m+2n=5].

所以[5m2+n2=12+22m2+n2≥m+2n2=25≥1].

綜上所述，若[m+2n=a]，[5m2+n2≥1]得證.

參考文獻：

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