機械原理課程設計中機器人機構的動力學建模與仿真

陳修龍，陳天祥

（山東科技大學機械電子工程學院，山東青島 266590）

0 引言

機械原理課程設計是培養學生機構分析能力的重要環節，但傳統課程設計主要針對平面連桿機構的運動學進行分析，動力學分析的較少，特別是課程設計中對機器人機構動力學分析還很鮮見。作為重要應用機構類型之一的機器人機構受到了廣大企業和科研院所的關注［1-3］，在機械原理課程設計中增加機器人機構動力學的內容，不但能滿足有較好課程基礎和分析能力學生的需要，提高學生的學習興趣，拓展思路，而且能做好校內學習內容與校外需求的統一，為學生分析能力的培養和就業都具有重要的作用。

平面3 自由度并聯機構是機器人機構的重要分支，其結構簡單，制造成本低，在芯片封裝及電路板精密切割等領域具有較廣的應用，已逐漸成為國內外研究熱點［4-8］。并聯機器人機構動力學建模分析是動力學性能評價、精確控制和優化設計的基礎［9-14］，也是機器人機構工程應用的理論依據。Hamdoun 等［15］研究了3-RRR并聯機器人的逆運動學問題，并進行了優化設計研究；馬立等［16］建立了3-PRR平臺的偽剛體模型及對其進行位姿分析，獲得了平臺的正、逆解；Mo等［17］、楊杰等［18］對平面3-RRR 和3PRR 并聯平臺進行了運動學建模和運動控制研究；Can 等［19］研究了平面3-RRR 并聯機構3 個曲柄在不同方向旋轉時的奇異位姿。Lipiński［20］研究了基于RRR平臺并聯機器人復雜機電一體化系統的動力學問題；趙磊等［21］建立了3-RRR柔順并聯機構的偽剛體模型，并采用矢量代數法理論推導了該機構的位姿正解；張東勝等［22］基于（2PRR）～2 +R 3 自由度平面并聯機構構造了一種新型5 自由度串并混聯機器人并對其并聯部分進行了運動學分析，推導出冗余和非冗余驅動并聯機構剛度矩陣和機構固有頻率方程；陳修龍等［23］對3-PRR并聯機器人機構進行了運動學建模與分析，并研究了其工作空間及運動學特性；?zgür 等［24］提出了一種用于并聯機器人運動學和動力學建模的線性方法；朱大昌等［25］采用優化準則算法，結合矢量同構映射方程，對3-PRR型平面3 自由度全柔順并聯機構進行了同構構型設計；Li 等［26］研究了冗余驅動平面旋轉并聯機構（RAPRPMS）通過改變內力來調節機器人剛度的設計方法；鄒琦等［27］提出了一種新型的具有無窮對稱位置的平面3 自由度可重構并聯機構，利用閉環矢量方程進行正逆運動學分析，通過遺傳算法進行桿件優化。

本文在機械原理課程設計中對3-移動副-轉動副-轉動副（3-prismatic pair-rotating pair-rotating pair，3-PRR）平面并聯機器人機構剛體動力學進行研究，建立機構的運動學反解數學模型，基于第2 類拉格朗日方程進行逆動力學建模與分析，求出各個驅動關節上的驅動力，結合Adams仿真結果進行對比驗證。

1 3-PRR并聯機器人機構介紹

如圖1 所示，3-PRR 并聯機器人機構具有三條對稱的PRR支鏈，機構整體主要由7 個活動構件，6 個轉動副和3 個移動副構成，每條支鏈上的滑塊底部與定平臺通過移動副連接，滑塊上部與從動連桿通過轉動副連接，從動連桿的另一端與動平臺轉動連接。通過自由度計算公式可知，3-PRR 并聯機器人機構的自由度為3，具有平面內2 個移動1 個轉動共3 個自由度。

圖1 3-PRR并聯機器人機構模型簡圖

如圖1 所示，3-PRR 并聯機構主要包含1 個定平臺A1A2A3，1個動平臺a1a2a3，3個滑塊Bi，3個從動桿Biai，其中AiBi為固定在定平臺上的3 個滑動導軌，Bi和ai處為平面轉動軸承。全局坐標系為OA-XAYA，原點OA為等邊三角形A1A2A3的中心，XA 軸沿A2A3方向；動平臺局部坐標系為Oa-XaYa，原點Oa為等邊三角形a1a2a3的中心，Xa軸沿a2a3方向。

2 3-PRR并聯機構運動學反解建模

2.1 位置分析

對于第i條支鏈（i=1～3），滑塊Bi的中心與點Ai之間的距離為li，從動連桿Biai的桿長為Si，動平臺a1a2a3的外接圓半徑為r，定平臺A1A2A3的外接圓半徑為R。其中li和Si與全局坐標系XA 軸的夾角分別為αi和θi，且li指向定平臺中心OA，Oaai與動平臺局部坐標系的Xa軸的夾角為βi。動平臺中心Oa的坐標在全局坐標系下為

式中：x、y分別為動平臺中心的全局坐標；φ為動平臺局部坐標系相對全局坐標系的旋轉角度。

對于支鏈i，建立運動學反解方程如下：

式中：AxAi=Rcos αi；AyAi=Rsin αi；Axai=x+rcos (βi+φ）；Ayai=y+rsin (βi+φ）。

2.2 速度分析

將運動學方程（1）對時間求一次導數，得到速度反解方程如下：

將方程（2）寫成矩陣形式：

2.3 加速度分析

速度反解方程（3）對時間求一次導數，得到加速度反解方程：

3 基于拉格朗日方程的動力學建模分析

動力學模型描述了并聯機構末端運動和各個驅動關節力傳遞關系。在機構設計階段，逆動力學建模分析對電動機選型、能耗分析和軌跡規劃等具有重要指導意義。本文使用第2 類拉格朗日方程對3-PRR 并聯機器人機構進行逆動力學建模分析。

3.1 構件質心坐標

在不考慮摩擦力、黏滯阻力等因素影響，只考慮機構本身的力傳遞關系前提下建立剛體逆動力學模型。根據圖1 的坐標描述，可定義各個構件的質心坐標，其中滑塊的質心坐標為（AXli，AYli），從動桿的質心坐標為（AXSi，AYSi），動平臺的質心坐標為（x，y），分析可得：

3.2 構件質心速度

對構件的質心坐標求導可得各構件的質心速度，滑塊的質心速度，從動桿的質心速度為），動平臺的質心速度。滑塊和從動桿的質心速度可以表示為：

3.3 系統動能

系統的總動能T 分別包括3 個滑塊的動能Tli，3個從動連桿的動能TSi和動平臺的動能T0。整理可得系統的總動能為：

經整理可得系統的動能：

3.4 等效廣義力

并聯機器人機構為一個非保守系統，由非保守系統的拉格朗日方程可知，方程式等號右邊的Qi即為非保守力，作用于其上的非保守力主要包括驅動力、生產阻力和耗散力等。最主要的耗散力為摩擦阻力，由于系統的摩擦力相對于驅動力和生產阻力而言很小，所以為了簡化動力學模型，可以不考慮耗散力的影響，只計算驅動力和生產阻力產生的影響。

機構的3 個驅動關節為移動副，設3 個滑塊的驅動力分別為Fdi，機構所受外力負載全部等效作用于動坐標系的原點，將其轉換到定坐標系中表示為f。

由虛功原理可知，

式中：δ W′為虛功之和；δ qi為廣義虛位移；Qdi=為驅動力所對應的廣義力；為外力負載所對應的廣義力；f=［fxfyMf］T為外力負載。

3.5 系統的拉格朗日方程

選擇動平臺所在的平面為零勢能面，機構在平面系統內沒有重力做功，由于系統中所有運動副都屬于理想約束，所以平面3-PRR 并聯機器人機構屬于存在非有勢力的理想約束完整系統，系統的拉格朗日方程可寫成：

已知系統的拉格朗日函數L=T -V。其中：T為動能；V為勢能。由于機構所在平面為零勢能面，故勢能V=0；L=T。系統的拉格朗日方程可寫為：

把系統的總動能方程式（6）代入拉格朗日方程式（8），選取li為廣義坐標為廣義速度，可求得各關節的驅動力：

3.6 動力學模型數值算例與Adams仿真分析

動力學仿真在機構設計階段有重要意義，可通過機構動力學仿真，確定驅動功率大小、分析負載特性等，同時仿真分析也可以驗證理論計算的正確性。因此，有必要對平面3-PRR并聯機器人機構進行動力學仿真分析。

數值算例的理論計算部分采用Matlab，分別對理論計算結果和Adams 軟件仿真結果進行對比分析。平面3-PRR并聯機構末端在運行圓形軌跡的時候，3個關節運動對稱，為了驗證理論計算的正確性和便于觀察，軌跡將采用圓形軌跡，對比理論計算的每個關節的廣義力和仿真得到的驅動力，如圖2、3 所示。

表1 計算仿真參數表

動平臺和定坐標系之間的角度φ=30°，動平臺中心沿一個半徑為0.01 m的圓形軌跡運行，軌跡的圓心為全局坐標系原點OA，每0.2 s 運行一周。軌跡方程表達式為：

圖2 空載時Matlab計算曲線圖

圖3 空載時Adams仿真曲線圖

動平臺質心的初始坐標為：x0=0.01，y0=0，φ0=30°。

通過圖2、3 的曲線對比，可以看出理論計算結果的值和Adams仿真的結果的值基本一致，3 個關節的運動對稱，相位互差2/3 πrad。Adams 仿真結果驗證了3-PRR并聯機器人機構動力學建模的正確性。

在動平臺質心處沿著定坐標系x 軸方向施加5N的負載力，保持式（10）的運動軌跡不變，進行Matlab數值計算與Adams仿真對比分析，結果見圖4、5。

圖4 負載為5N時Matlab計算曲線圖

通過對比圖4、5 和圖2、3 可以看出，給動平臺添加負載之后，各驅動桿的驅動力都收到不同程度的影響，Adams仿真結果和Matlab計算的結果基本一致。

圖5 負載為5N時Adams仿真曲線圖

4 結語

在機械原理課程設計中對平面3-PRR 并聯機器人機構進行動力學建模和分析。建立了3-PRR 并聯機器人機構的運動學反解數學模型，基于第二類拉格朗日方程對平面3-PRR 并聯機器人機構進行逆剛體動力學建模，推導出3-PRR 并聯機構的系統動能方程，計算了系統的等效廣義力，在空載和施加負載力兩種情況下進行數值計算，分別求解出了在相同給定軌跡下空載和負載時各個驅動關節的驅動力，并采用Adams仿真結果與Matlab 理論計算結果進行對比分析，驗證了理論建模的正確性。