引入人口老齡化和國民儲蓄率因子的索洛模型

摘要：本文基于索洛模型，引入人口老齡化和國民儲蓄率兩個影響變量因子，對索羅模型進行擴展，使經濟增長的研究方向更加接近現實意義。

關鍵詞：人口老齡化;儲蓄率;索洛模型

1索洛模型發展概況

經濟增長是人類世代繁衍的核心追求，是經濟發展的基礎。因此，研究和分析經濟增長的變化因素，為就顯得尤為重要。許多經濟學家和學者在對經濟增長的機制研究和探索做出很多的貢獻，并且研究模型種類繁多。下面簡單介紹一些相關的模型發展歷程：

1.1哈羅德-多馬模型

20世紀40年代，哈羅德和多馬曾最早在經濟學中提出了一個結合數學模型，并且具有動態化以及長期化特點的經濟增長理論模型，這個模型表明：國家經濟增長的變化率等于儲蓄率和一個常數的比值，并且假定的產品既是消耗又是資本，哈羅德-多馬模型的這個固定系數在短期中才有現實性，而經濟增長理論討論的是一個長期的表現，因此這個固定系數的缺陷受到了很多經濟學派的批評，所以很快被索洛模型修正并取代。

1.2索洛-斯旺模型

羅伯特·索洛（Solow）和斯旺（Swan）在1956年提出的索洛模型又稱索洛-斯旺模型，他們棄用了哈羅德-多馬模型中的許多不合理的假設，例如把生產函數固定系數不變的假設推翻，并使用柯布-道格拉斯生產函數。根據索洛模型假定的柯布-道格拉斯生產函數，并且還假定產量分為消費和投資，而現存的資本又有相應的折舊，其中s是投資的比例，δ是折舊率。根據鏈式法求解可得：

dkdt=sf（k）-（n+g+δ）k

2引入老年人口占比及國民儲蓄率的索洛模型

傳統增長模型的勞動L（t）利用人口來對進行衡量。即假定每個人都會對社會做出勞動貢獻，并且貢獻也是相同的，但現實生活中真正對經濟提供勞動的人口，是適齡勞動人口（15～64歲）。傳統的經濟增長模型可表達為：

Y（t）=F（K（t），A（t）L（t））（2.1）

其中表示時間，而K（t）、A（t）、L（t）分別是與時間有關但和時間沒有直接關系的資本、知識（或勞動的有效性）、勞動。本文以同樣方式假定該生產函數是規模報酬不變的，用公式表達：

F（cK，cAL）=cF（K，AL），Ac≥0（2.2）

設總人口為N（t），其中，u指的是老年人口占總人口的比值，h指的是少兒人口占總人口的比值。

F（kAf（u，h）N，1）=1Af（u，h）NF（K，Af（u，h）N）（2.3）

因為有效勞動的總產出Y0按照投資比例進行投資，即Y0=F（K，Af（u，h）N），記Yu是用于養老部分的，Yh是用于撫養少兒部分的，那么Y0是在總產出Y扣除兩部分撫養和贍養的消費后剩余的，用公式表達：

Y0=Y-Yu-Yh（2.4）

s=st（1-uq1-hq2）（2.5）

其中，st是指t時刻我國的國民儲蓄率，s是我國經濟發展中用于資本投資的比例。

同樣的，k是指每單位有效勞動的平均資本產量，即：

k=kAf（u，h）N（2.6）

則（2.3）式子就可以簡寫成：

y=f（k）=F（k，1）=kα（2.7）

3擴展索洛模型的動態過程

本文同樣對勞動、知識和資本是隨時間的變化做出假定其中，勞動和知識可以假定為指數增長的，即勞動力和知識技術是以不變的速度增長：

dN（t）dt=nN（t）

dN（t）dt=gA（t）（3.1）

我國產量中用于投資的比例是按s進行投資，因此每單位投資的產品可以產生新的一單位資本，并且現存的資本是以δ為折舊率進行折舊。那么就有：

dkdt=sY0-δK（t）（3.2）

將公式（2.4）帶入上式可得：

dkdt=St（1-uq1-hqz）Y-δK（t）（3.3）

本文猜測，經濟可能隨時間的增長而增長，那么可以從每單位有效勞動的平均資本存量k入手著重考慮，這樣就比直接考慮資本存量K容易。因為k=kAf（u，h）N，f（u，h）=1-u-h，則可以用鏈式法對（2.11）求解：

dk（t）dt=st（1-uq1-hqz）y-（δ+n+g-u+h1-u-h）k（t）（3.4）

方程（3.4）是引入我國國民儲蓄率以及老齡化因子的新索洛模型關鍵方程，其中，第一項由公式（3.4）可知y是每單位有效勞動的平均產量，而st（1-uq1-hqz）是我國用于投資的比例s。

4均衡增長路徑

觀察公式（3.4），第一項的實際投資的數學含義是一個常數乘以每單位有效勞動的產量，而第二項的持平投資數學含義是一條與k（t）成正比的直線，因為最開始是從0開始，所以兩個函數的第一個交點在原點，并且發現實際投資的斜率f′（k）會由大變小直至慢慢變成0，即曲線會由陡慢慢變得平坦，這兩條線最終將相較于一點（第二次相交），（如圖2.1所示）并且f〞（k）<0，所以說這個曲線是一個向上凸的函數圖像，那么與直線（持平投資的函數圖像）只有除原點以外唯一的一次相交，我們把這個點記作K*，稱為這個動態方程的均衡點。

當f′（k）=0時，求解可得：

y*（t）=（st（1-uq1-hqz）δ+n+g-11-u-h+1）α1-α（4.1）

對公式（4.1）兩邊同時取對數可得：

lny*（t）=α1-α[lnst+ln（1-uq1-hqz）-ln（δ+n+g-11-u-h+1）]（4.2）

由圖4.1，我們可以看出兩項之差的值由0逐漸變大再變到0，并且以均衡點為分界點，之前實際投資大于持平投資即是大于零的兩項之差，之后是小于零的兩項之差即實際投資小于持平投資。觀察圖4.2，可知無論k是從什么值開始，都是向k*收斂的（忽略k一開始就停留在原點的情況）。當模型是收斂于k*時，為了研究我國人口老齡化和國民儲蓄率對經濟的影響，首先分別求偏導數：

由上面偏導數的結果分析，可初步看出：我國國民儲蓄率對最優的人均GDP增長率具有正向的促進影響（0<α<1，δ、n、g均是大于0的常數，0<1-u-h，0

參考文獻

[1]Solow R M. A Contribution to the Theory of Economic Growth[J]. Quarterly Journal of Economics， 1956， 70（1）：65-94.

[2]張瞻基，李博文.人口年齡結構、儲蓄率與經濟增長關系的路徑研究——基于修正索羅模型的研究[J].中國市場，2014（12）：57-60.

[3]姚帥.淺談索洛模型與現代觀點[J].時代金融.

[4]黃娟，黃寧陽.武漢市經濟增長貢獻因素的現狀研究——基于索洛模型的分析[J].湖南農業科學，2018（08）

作者簡介：沈煬，（1993.11-），男，漢，河南安陽人，助教，碩士研究生，從事中學數學教材研究、統計學金融方向研究。