小學數學理學案的核心要素與編制原則

[摘 要]理學案是“至理數學”教學主張在課堂落地生根的有效載體，其核心要素包括學材分析、學情調研、理學目標、理學歷程。理學案在編制時需要遵循一體化、一致性、易操作等原則。

[關鍵詞]理學案;核心要素;編制原則

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0001-04

一、理學案的內涵與結構

“至理數學”是一種堅持從兒童出發，堅守學科本質和素養本真的教學主張，理學案是該教學主張在課堂落地生根的有效載體。理學案是在深度學習和踐行學歷案的基礎上發展而來的。理學案是教師站在學生的立場，通過深度挖掘與教材相關的知識本質、學科本質設計出一個或幾個具有主題性的研究任務，促使學生自主學習，逐步達到“學會”和“理解”的教、學一體化方案。它從學習者的視角，以“學什么”“怎么學”“學得怎么樣”來設計學習過程。一份完整的理學案包括學材分析、學情調研、理學目標、理學歷程四個核心要素，其結構詳見表1。

本文以小學數學理學案設計為切入點，結合蘇教版教材五年級下冊“圓的面積”一課（以下簡稱“圓的面積”），重點分析其四個核心部分。

二、理學案的核心要素

1.學材分析

“至理數學”教學主張下的學材分析不僅包括課程標準、教材相關內容分析，還可以對其他支持性學材進行分析。本文學材分析主要就前兩者展開。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》關于“圓的面積”的表述極其簡練——探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題，與之匹配的蘇教版教材將“圓的面積”安排在五年級下冊進行學習。雖然學生之前已經學過長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形的基本特征及其周長、面積計算公式，對圓的特征、周長也有一定的認識，但因為“圓的面積”需將曲線圖形轉化成直線圖形，且涉及極限思想，所以認知難度較大。為了幫助學生有效突破學習難點，教材安排了兩個例題，例1是探索圓的面積與以它的半徑為邊長的正方形面積之間的近似關系，例2是將圓轉化成已經學過的平行四邊形和長方形來探索圓的面積公式。不難看出，教材希望從“數方格”開始，讓學生先整體感知圓的面積和半徑平方之間的關系，再通過操作對圓的面積公式進行推理和驗證。

2.學情調研

學情調研是理學案的重要組成部分，它是設定理學目標、設計和實施主題研究任務的主要依據。作為一種教育技術手段，理學案的學情調研比一般的學情調研要求更加細致、深刻、靈活：在內容上，需要涉及學生原有的知識儲備、生活經驗，必要時學習習慣與學習品質也可涵蓋其中;在形式上，一般采用問卷、訪談等形式進行了解，必要時也可通過資料研究、課堂觀察等加以完善;在時間上，可以根據需要放在課前、課中或是課后進行，課前測試便于了解真實起點，課中觀察便于把握學習狀態，課后測試便于檢驗學習效果;從對象上，可以面向全體施教學生，也可選擇不同層次的學生代表;從結論上，需要點、面結合，既要對全班學生進行整體分析，也要對學生個體精準把握，以形成“面向全體、關注差異”的教學策略和矯正措施。

為了解學生的已有經驗和學習起點，我們設計了前測題目：

1.憶一憶：你學過哪些平面圖形？用字母寫出它們的面積公式。

2.想一想：這些平面圖形的面積公式是怎么得到的？選擇一個，寫出它的研究過程。

你選擇的是（? ? ? ?）形。

研究過程：

3.關于圓的面積：

（1）你知道圓的面積公式嗎？（在括號內畫“√”）? 知道（? ? ）?不知道（? ? ）

如果知道，請寫出面積公式：

（2）你知道圓的面積是怎么得到的嗎？（在括號內畫“√”）

知道（? ? ）?不知道（? ? ）

如果知道，請寫出研究過程：

為了不加重師生負擔，但又能確保調研結果的典型性和代表性，我們分別從授課班級中的 “中上”“中等”“中下”水平的學生中隨機抽取各4人參與測試和訪談。前測數據顯示，對于第1題（考查已學圖形面積公式），80%以上的學生都能寫出3種以上的圖形名稱及其面積公式，但大多不會使用字母表達，而直接寫成如“長×寬”的形式，還有混淆面積和周長公式的情況。對于第2題（考查已學圖形面積公式來源），半數以上的學生寫出了“轉化”，其余學生或留空，或文不對題;而在舉例說明面積研究方法時，學生選擇較多的是將平行四邊形轉化成長方形來研究面積，三角形次之，梯形最少，而用小正方形拼擺得到長方形面積，即“數格子”的方法，無人提及。對于第3題（考查新知），有4人知道圓的面積公式，但能寫出研究過程的只有1人，他是把圓轉化成近似平行四邊形后進行推導，由訪談得知，其法為校外培訓班所教。由上可知，多數學生對以前學習的平面圖形面積公式尚有記憶，對四年級研究平行四邊形面積所用的“轉化”方法印象較深，對三年級研究長方形面積公式的“數格子”方法遺忘嚴重，對四年級所學的三角形、梯形面積公式來源遺忘程度次之;對于即將學習的新知，大部分學生缺乏技術儲備。此次調研雖然程序簡易，但深入和全面，能幫助教師精準判斷學生“在哪里”和選擇“何以學會”的最佳路徑。

3.理學目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》從“知識技能”“數學思考”“問題解決”“情感態度”四個方面闡述教學目標。理學目標結合教學主張本質，從“講清數學道理”“加深數學理解”“發展數學理性”三個維度與課程標準中的四個方面進行融合，刻畫學生通過理學活動所能達成的學習效果。與一般的教學目標相比，理學目標的確定依據和語言表述有所不同。

首先，理學目標必須依據學材分析和學情調研而定。基于之前所述的“圓的面積”學材分析和學情調研，本節課的理學目標見表2。其次，理學目標的語言表達方式不同。一般教案中，教學目標的行為主體是教師，語言表述通常采用“使學生……”的形式，顯然是站在教師的立場和視角來設定目標，而理學目標的行為主體是學生，目標中的數學活動需要學生親力親為，“以生為本”成為必然。

4.理學歷程

“理學歷程”是記錄教師“怎么教”、學生“怎么學”的檔案，包括“主題研究”和“實施要點”兩個部分。“主題研究”是專供學生自主研究的學習單，它不僅要提供由理學目標分解、提煉而來的研究任務，而且要準確記錄學生經歷自主學習過程中的所思、所想、所為。“實施要點”是對教師如何組織學生開展主題研究的方法、策略的記錄。因而，“理學歷程”既是記錄學生學習過程和結果的評價表，也是留存和傳遞教學方法的備課手冊。由于“實施要點”是一般教案的主要內容，本文略過不談，只結合表3討論“主題研究”設計應注意的問題。

首先，“理學歷程”中的主題研究任務要與理學目標具有一致性，要以理學目標為導向，并始終圍繞如何實現理學目標展開，如表3中“研究1-1” “研究1-2”是為了實現理學目標“在探索的過程中整體感知平面圖形面積的研究方法，體會‘轉化的價值”而設計的學習導入;“研究2-1”不僅指向理學目標“運用轉化策略，探索圓的面積公式”，而且能夠實現理學目標之“能借助操作、觀察、比較、想象、推理等數學活動，解釋圓的面積公式由來”;“研究2-2”是對“能進行簡單計算”和“根據圓的面積公式對圓和以半徑為邊長的正方形面積之間的關系做適度推想和關聯”這兩個理學目標的落實。

其次，在“理學歷程”中，學習活動要有層次、有梯度，不同的主題研究任務，以及同一主題內的新知建構任務和關聯運用任務，都必須遵循學生的認知規律，循序漸進、螺旋上升。例如表3中的4個主題研究任務按照“尋找方法”“嘗試轉化”“拓展應用”的思路由淺入深，層層推進，而在每一個主題研究內部，“尋本質·講道理”欄目側重新知的探索、建構，“會關聯·能運用”更關注知識的關聯、運用以及思維是否得到進階。

三、理學案的編制原則

理學案編制時要遵循一體化原則、一致性原則、易操作原則。

1.一體化原則

理學案中的一體化主要是指教案、學案一體化。當下，教師常用的教學方案有兩種，一種是從如何教的層面進行設計的傳統教案，包括教學目標、教學重難點、教學過程等，其中教學過程最為重要，通常含有復習引入、教學新知、鞏固練習、全課總結環節;另一種是導學案或學案，從如何引導學生自主學習的層面進行設計，呈現形式為學習單，內容多是學生課上（或課前）需要解決的任務、習題等。

崔允漷教授提出的學歷案是教案、學案一體化的代表，但其包含要素較多，且適用對象為中學生。考慮到小學生開展大單元、大容量主題化學習的能力有限，理學案在學歷案的基礎上做了適度調整：（1）將大單元設計分解成課時學習;（2）保留學習（理學）目標、學習過程（理學歷程）等核心部分，將評價、檢測等內容融入學習過程（理學歷程），加大學情調研比重;（3）借鑒南京市“小學數學學歷案”的設計理念和使用方法，將理學歷程中的“主題研究”以學習單的形式發給學生課上使用;（4）為方便教師組織教學和供他人參考，理學案中增加“實施要點”欄目，記錄“主題研究”的落實方法和步驟。以上幾點在表4中皆有體現。

2.一致性原則

理學案編制的一致性原則包括三層含義：一是主題研究任務與理學目標的一致性;二是主題研究中“會關聯·能應用”與“尋本質·講道理”的一致性;三是理學案的設計理念與“至理數學”教學主張的關鍵特質的一致性。

理學案是一種基于“標準”的教學，理學目標需要借助主題研究任務加以實現，因此每一個研究任務的設計都來源或指向理學目標。而在每一個主題研究內部，主要通過“尋本質·講道理”對新知進行建構，完成后立刻通過“會關聯·能應用”對達成情況進行評價。由此可見，理學案中的所有學習過程都是按照理學目標有序推進，只有一個主題研究任務完成并且得到了及時的評價，方能進入下一個主題研究。如此設計也是教、學、評一致性的充分體現。

“至理數學”的關鍵特質是“回歸本質”，即數學學習要堅守學科本質、兒童本位、素養本真。作為教學主張在課堂落地生根的有效載體，理學案設計理應處處彰顯“回歸本質”。在“圓的面積”理學案中，對課程標準、教材和其他與之相關的支持性學材的分析，對理學目標中“數學道理、數學理解、數學理性”的挖掘與提煉是對學科本質的堅守;在學情調研中，關注學生的年齡、心理特點和認知水平，對學生前測和后測情況進行分析，以及理學歷程中所有的主題研究都需要學生主動參與，是“至理數學”教學主張中“兒童本位”的有力佐證。

3.易操作原則

易操作原則是指理學案設計要簡約、可行，便于操作。特別是供小學生課上使用的“理學歷程”， 字數不能太多，內容不能過細，要抓核心、拎重點。通常，高年級學生使用的“理學歷程”篇幅不超過一張A4紙的正反兩面，中低年級以A4紙的一面為宜，不論年級高低，每節課上的主題研究均不超過3個。每個主題研究中的任務語言表述要盡可能簡潔、明確、通俗、活潑，杜絕冗長、含糊和抽象。為了便于記錄思考過程和學習痕跡，“理學歷程”要有留白，特別是有寫一寫、畫一畫，或是粘貼作品的環節，要留足夠的時間和空間。易操作原則在“圓的面積”理學歷程之“主題研究”中已有鮮明體現（見表3）。

當然，小學數學理學案設計需要關注的要素和原則還有很多，本文的闡述顯然不夠全面，尤其是理學案設計研究尚處于初始階段，諸如“小學階段的內容都適合用理學案進行學習嗎？”“同課型的理學案設計結構一致嗎？”等疑問和困惑還有很多，但我們相信，只要堅守學科本質和兒童本位，數學教學就會向著素養本真回歸。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張明紅，劉娟娟.回歸本質：“至理數學”教學主張的內涵解讀[J].小學數學教師，2019（10）.

[2] 崔允漷.指向深度學習的學歷案[J].人民教育，2017（20）.

[3] 劉娟娟.學歷案：促進課堂中教—學—評的一致性[J].教學月刊小學版（數學），2018（Z1）.

[4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

【本文系江蘇省中小學教學研究第十三期重點自籌課題“以理學案為載體的‘至理數學課例群建設研究”（課題編號：2019JK13-ZB08）的研究成果。】

（責編 金 鈴）