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“梯形的面積”教學(xué)中滲透化歸思想芻議

2021-03-24 13:35:20史立峰
關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué)

史立峰

[摘 要]數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。以“梯形的面積”教學(xué)為例,探討化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透,以使學(xué)生感悟化歸思想方法的真諦,從而將其內(nèi)化到已有的認(rèn)知系統(tǒng)之中。

[關(guān)鍵詞]化歸思想;小學(xué)數(shù)學(xué);梯形的面積

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068(2021)08-0064-02

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師不能僅滿足于使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識,更要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法,從而啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。化歸思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,教師應(yīng)在教材中充分挖掘,并在教學(xué)中有意識地進行滲透,以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。下面以“梯形的面積”教學(xué)為例,探討如何在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透化歸思想。

一、溝通聯(lián)系,體驗化歸思想

“梯形的面積”是學(xué)生在掌握了長方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積以及三角形的面積的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的,學(xué)生對化歸思想已有一定的認(rèn)識。另外,學(xué)生今后還將在組合圖形的面積、圓的面積等知識中再次應(yīng)用化歸思想,因此,“梯形的面積”處在一個承上啟下的關(guān)鍵位置,需要教師結(jié)合學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗,溝通知識聯(lián)系,增強學(xué)生對化歸思想的再認(rèn)識。

【教學(xué)片段】

師:請回憶一下,我們是如何推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式的?

生1:把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的長方形。

師:我們又是如何推導(dǎo)出三角形的面積公式的?

生2:把三角形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形。

師:這種把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想,在數(shù)學(xué)上就叫作化歸思想。

師:在現(xiàn)實生活中,我們還會遇到另一種平面圖形——梯形。圖1是一個水壩的橫截面,它是一個梯形。你能求出這個水壩橫截面的面積是多少平方米嗎?

生3:可以把梯形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形。

生4:搞清楚轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。

……

通過回顧舊知,激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗,溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,突出新舊知識在研究方法上的相通之處,使學(xué)生初步感知化歸思想,從而為本節(jié)課的教學(xué)亮明主題,奠定基調(diào)。同時,通過計算水壩的面積問題導(dǎo)入梯形的面積,既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,又使學(xué)生感受到學(xué)好新知的重要性。

二、自主探究,感悟化歸思想

在學(xué)生初步感知化歸思想的基礎(chǔ)上,教師不但要引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索的過程感悟化歸思想,還要引導(dǎo)學(xué)生多維度進行探究。數(shù)學(xué)問題的解決往往有多種不同的途徑,學(xué)生在嘗試采用不同的方法進行探究的過程中,就能提升探究能力,提升對數(shù)學(xué)化歸思想的認(rèn)識。最后,教師要注意對探究過程的調(diào)控,及時解決學(xué)生在探究過程中提出的問題,從而提高學(xué)生自主探究的實效性。

【教學(xué)片段】

師:現(xiàn)在請小組長拿出小組的學(xué)具袋,看看里面都準(zhǔn)備了哪些學(xué)具。

生1:有很多梯形,有一般梯形、直角梯形,還有等腰梯形。

師:現(xiàn)在就請利用這些學(xué)具,發(fā)揮想象力,把手中的梯形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的已知圖形吧!注意兩個問題:新圖形與原圖形之間有什么關(guān)聯(lián)?如何通過這種關(guān)聯(lián)推導(dǎo)出梯形的面積公式?

生2:我們小組把兩個完全相同的梯形拼接成了一個平行四邊形(如圖2)。梯形面積是平行四邊形面積的一半,因為這個平行四邊形是由兩個完全相同的梯形拼成的。

師:如何通過這種關(guān)聯(lián)推導(dǎo)出梯形的面積公式呢?

生3:梯形的上底和下底加起來剛好是平行四邊形的底,梯形的高就是平行四邊形的高。因此,梯形的面積=平行四邊形的面積÷2=底×高÷2=(上底+下底)×高÷2。

師:就像三角形的面積公式的推導(dǎo)過程一樣,把兩個完全一樣的梯形拼接成平行四邊形,由此實現(xiàn)化未知為已知的目的,這就是化歸思想的精髓。

生4:我們用的是兩個完全相同的直角梯形,它們可以拼成一個長方形(如圖3)。

生5:梯形的面積是長方形的面積的一半,梯形的上底和下底加起來剛好是長方形的長,梯形的高就是長方形的寬。因此,梯形的面積=長方形面積÷2=長×寬÷2=(上底+下底)×高÷2。

師:這種方法和生3的方法本質(zhì)上是一致的,它的核心思路就是把梯形轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形(平行四邊形或長方形),并從新圖形和原圖形之間的面積關(guān)系推導(dǎo)出梯形的面積公式。

生6:我們只用了一個梯形。采用割補法,沿著梯形兩個腰的中間位置剪開,這樣一個梯形就變成了兩個梯形,然后把這兩個梯形拼成一個平行四邊形。(如圖4)

師:新圖形和原圖形有什么關(guān)系呢?

生7:面積相等。梯形的上底和下底加起來剛好是平行四邊形的底,平行四邊形的高是梯形的高的一半。因此,梯形的面積=平行四邊形的面積=底×高=(上底+下底)×(高÷2),也就是(上底+下底)×高÷2。

師:這種方法把一個梯形切割成兩個梯形,然后再把這兩個梯形拼接成平行四邊形,其中同樣蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想。

生8:我們組也是只用了一個梯形就推導(dǎo)出了梯形的面積公式。把一個梯形切割成兩個三角形(三角形1和三角形2)(如圖5),梯形的面積等于兩個三角形的面積之和。其中,三角形1的底是梯形的下底,它的高就是梯形的高;三角形2的底是梯形的上底,它的高也是梯形的高。梯形的面積=三角形1的面積+三角形2的面積=上底×高÷2+下底×高÷2=(上底+下底)×高÷2。

生9:這個方法真奇妙呀!

生10:推導(dǎo)過程的最后一步用到了乘法分配律。

師:這種把梯形轉(zhuǎn)化成了三角形的方法,也體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。

師:如果用S表示梯形的面積,用a和b分別表示梯形的上底和下底,用h表示梯形的高,那么梯形的面積公式就可以寫成S=(a+b)×h÷2。

無論是把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形,抑或是三角形,都體現(xiàn)了化復(fù)雜為簡單、化未知為已知的基本思想,而這就是數(shù)學(xué)化歸思想的精髓。從用兩個梯形拼的一般方法,到一個梯形的割補法,多維呈現(xiàn)的方式使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識到知識的本質(zhì),體會到化歸思想的內(nèi)涵。在教師問題的引導(dǎo)下,學(xué)生的探究基本上分為三大步,先操作拼接,再探索關(guān)聯(lián),最后歸納公式,這就使得學(xué)生的探究活動具有明確的目的性,使課堂教學(xué)真實而高效。

三、解決問題,應(yīng)用化歸思想

現(xiàn)實生活中的一些問題,如果按照常規(guī)思路解答會非常棘手,但采取化歸思想把復(fù)雜的問題變成簡單的問題,就可以降低解決問題的難度,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識。

【教學(xué)片段】

師:淘氣來到了一個木器加工廠,他看到了一大堆圓木(如圖6),你能幫淘氣算一算,這一共是多少根圓木嗎?

生1:圓木的數(shù)量不算很多,我數(shù)了數(shù),一共是33根。

師:這種直接數(shù)數(shù)的方法有什么缺點呢?

生2:比較麻煩,而且容易重復(fù)或者遺漏。

生3:如果圓木的數(shù)量很多,那這種方法就“不靈”了。

師:大家有什么好辦法嗎?這些圓木堆成了一個什么圖形?

生4:我看出來了,這些圓木堆成了一個梯形。

生5:把最上層的3根看作梯形的上底,把最下層的8根看作梯形的下底,把共有6層看作梯形的高,然后根據(jù)梯形的面積公式可以得(3+8)×6÷2=33(根)。

生6:這個方法真巧妙呀!

師:這道題依然使用了化歸的數(shù)學(xué)思想。在生活中有很多問題都需要用到化歸思想,大家可要注意觀察,做到學(xué)以致用呀!

引導(dǎo)學(xué)生運用化歸思想方法解決現(xiàn)實生活中的問題,不但在數(shù)學(xué)與生活中搭建起橋梁,還提升了學(xué)生解決實際問題的能力,凸顯了數(shù)學(xué)化歸思想方法的應(yīng)用價值。

如果說數(shù)學(xué)概念、原理等知識是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的一條“明線”,那數(shù)學(xué)思想方法則是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的一條“暗線”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要深入挖掘教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,滲透數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生逐漸感悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦,從而將數(shù)學(xué)思想方法填補到已有的認(rèn)知系統(tǒng)之中。

(責(zé)編 童 夏)

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