巧用“數學步道”理念，培養數學模型思想

胡世娟

[摘 要]幾何圖形的公式教學一直是小學數學教學的難點。在幾何圖形的公式教學中，運用“數學步道”原理中的點數、目測、估算、分解組合等方法引導學生推導公式，可以把抽象的公式教學變得直觀化、形象化，不僅放緩了教學坡度，而且降低了學生理解的門檻，同時也培養了學生的數學模型思想和探究創新意識，為小學數學幾何公式教學開拓了新思路和新模式。

[關鍵詞]數學步道;模型思想;圓的面積;案例;反思

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0058-02

“數學步道”是指依托校園中的人行道、跑道、花壇等實物，運用步量、目測、測量、估算等一系列數學體驗與活動，計算實物的長度、周長與面積的方法。運用“數學步道”原理推導幾何圖形的相關計算公式，可以化難為易、變抽象為直觀，不僅可以鍛煉學生的動手能力，提升學生的推理與歸納能力，而且可以培養學生的數學模型思想和探究創新意識，為學生的可持續發展打下良好的知識與技能基礎。

[教學案例]

一、情境導入，啟動思維

師：學校計劃在新大樓前面建一個圓形花圃，如果讓你設計花圃，該怎么做？

生1：需要先求花圃的面積，再根據面積算出需要多少花苗。

師：我們今天要探究的問題是圓的面積。

師：上節課，我們認識了圓并推導出圓的周長計算公式，誰能說說這個公式？

生2：圓的周長=π×直徑=π×半徑×2。

師：猜猜看，圓的面積會與周長公式中的哪些因素有關？

生3：與周長有關，周長越長圓的面積越大。

生4：與半徑有關，半徑越大圓的面積越大。

師：上節課我們已經證明了圓的周長與半徑有關，因此，這幾個同學的猜測可以歸結為一種：圓的面積與半徑的長短有關。下面我們一起做一個有趣的實驗進行求證。

【設計意圖：花壇是學生非常熟悉的事物，以學校建造新花壇為情境導入新課，可以激發學生的探究興趣。讓學生回顧圓的周長公式，一方面為探究新知做好知識鋪墊，另一方面引出了實驗探究活動。】

二、實驗探究，驗證猜想

1.教師演示

師（在黑板上畫圖，邊演示邊講解）：我先畫一個正方形，再以這個正方形的邊長為半徑畫一個圓（如圖1）;如果用數方格的方法，怎樣算出這個圓的面積？（正方形中每個小格為1平方厘米）

生1：先數出1/4圓的面積，再乘以4，就得到這個圓的面積。

生2：先數整格的個數;接近整格的也算整格;其余不滿整格的可以湊成整格。

（師生一起數方格，得出正方形的面積=16平方厘米;1/4圓的面積≈13平方厘米;圓的面積≈52平方厘米）

師：圓的面積大約是正方形面積的幾倍？

生3（用計算器計算）：大約是正方形面積的3倍多一點。

師：圓的半徑與正方形的邊長有什么關系？

生4：圓的半徑=正方形的邊長。

師：正方形的面積=半徑×半徑。那么圓的面積呢？

生5：圓的面積=半徑×半徑×3=半徑?×3。

師：從這個等式可以看出，圓的面積與半徑的大小有關。

【設計意圖：用數方格的方法計算圓的面積是運用了“數學步道”理念中點數、目測的方法（如用數磚塊個數的方法計算人行道的面積）;接下來又用推理、數據分析等方法引導學生在圓的面積與半徑之間建立關系。這樣把直觀教學和推理論證相結合，既拉近了學生與“真相”的距離，又為下一步學生的操作驗證做好認知鋪墊。】

2.學生操作

（1）學生畫圖

師：只用一個圓不足以驗證猜想，下面每人拿出一張白紙，分別畫兩個邊長為3厘米和5厘米的正方形，再分別以兩個正方形的邊長為半徑畫圓。

（2）數方格計算面積

師：用老師發給你們的透明方格紙分別數出兩個正方形的面積，填在表格里。

（3）完成表格

師：用計算器算出兩個圓的面積，以及圓的面積是正方形的幾倍，填在表格里。

（4）分析總結

師：從上面的表格中，你能發現圓的面積和它的半徑有什么關系嗎？

生1：圓的面積是它的半徑平方的三倍多。

生2：圓的面積可能是π乘以半徑的平方，因為π≈3.14，與3.1、3.2相近。

【設計意圖：讓學生自己動手操作驗證猜想，不僅有利于培養學生的問題意識和探究精神，而且也為下一步推導圓的面積計算公式埋下伏筆。】

三、推導公式，建構模型

師：有同學提出“圓的面積=π×半徑?”，到底是不是這樣呢？我們仍需要通過實驗進行驗證。（教師演示把圓平均分成8份，并拼成新的圖形，如圖2）

師：把圓平均分成八份后拼成的圖形像什么？

生1：像平行四邊形。

師：請同學們拿出學具（事先畫好的平均分成16份的圓），按老師剛才的方法，先把圓平均分成16份，再拼成一個新圖形。

師：看看拼成的圖形（如圖3）像什么？

生2：像長方形。

師：如果把圓平均分成32份、64份、128份……用剛才的方法拼一拼，那么拼出的會是什么圖形？

生3：會越來越接近長方形。

師：老師有一個妙招能讓你們看到一直把圓平均分下去再拼出的圖形。（動畫演示）

師：拼成的長方形與原來的圓有什么關系？

生4：拼成的長方形的長是圓周長的一半，寬是圓的半徑。

生5：長方形的面積=圓的面積。

師：如果圓的周長是C、半徑是r，長方形的長和寬應怎樣表示？面積怎樣計算？

師（總結）：圓的面積公式該怎么寫？

生7：圓的面積=長方形面積=πr?。

【設計意圖：推導圓的面積計算公式是本節課的教學難點，這里運用“數學步道”原理中的分解、組合、目測、猜想等理念，引導學生通過實驗操作、聯想推理，全程參與公式的推導過程，親自見證公式的“誕生”，驗證了猜想的正確性，從而把圓的面積公式這一極為抽象的概念變得直觀形象、具體可感。】

四、遷移運用，深化理解

師：如果花圃的半徑是5米，它的面積怎樣計算？

生1：S=πr?=3.14×5?。

師：計算圓的周長或面積時，有時因為計算過程比較復雜，也可以用含有π的式子表示計算結果，例如S=πr?=π×25=25π。

【設計意圖：學生使用面積公式計算出花圃的面積，說明學生已經把公式內化吸收，并能運用公式解決實際問題，標志著學生已經圓滿完成了對圓的面積公式這一概念的建構過程。】

[教學反思]

運用“數學步道”引導學生計算實物的長度、周長與面積，是一種非常“接地氣”的數學綜合實踐活動。把“數學步道”理念應用于幾何圖形教學中，能夠大大加快學生數學素養的發展進程。

1.化抽象為直觀

公式教學一直是小學數學課堂教學的難點，運用“數學步道”原理中的點數、目測、估算、分解組合等方法，把公式的原理拆解成學生熟悉的生活經驗和學習經驗，讓抽象的數學公式變得“接地氣”，既是將抽象概念直觀化的有效教學策略，也是培養學生數學模型思想的重要途徑。

2.化繁為簡、化難為易

應用“數學步道”理念進行公式推導，需要把探究過程分解成幾步來完成，每一步通過實驗、思考、推理、歸納等合作探究活動，完成一個層次，并提出下個層次的猜想，引出下一步的實驗與探究。這樣層層推進、步步深入，不僅放緩了教學坡度，而且降低了學生理解的門檻，讓學生通過一步步實驗操作驗證猜想、推理論證，最終推導出計算公式，完成對公式模型的建構。

3.培養模型思想與探究精神

學生在公式推導過程中，必須眼、耳、手、腦并用，既要想象猜測又要操作驗證;既要目測估算又要類比推理;既要分析數據又要歸納總結;既要合作探究又要交流討論……這樣，不僅鍛煉了學生的實驗操作能力，而且提升了學生的推理與歸納能力，同時也培養了學生的數學模型思想和探究創新意識，為學生的可持續發展打下良好的知識與技能基礎。

（責編 羅 艷）