加入“相差百分率”，讓百分數知識結構更穩固

姜俊波

[摘 要]路程、速度、時間是行程問題中的三個元素，只要存在其一個，另外兩個必然伴隨，因而三者構成的是一個互為犄角、相互依存的三角結構。像這樣的邏輯結構在數量關系中不勝枚舉，而這也是數學學科的一大特性。在百分數知識結構中，相差百分率、比較量和參考量三者也構成一個三角結構，在百分數中加入相差百分率，讓百分數知識結構更穩固，知識條理也更清析。

[關鍵詞]探源;基準;分數;分率

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0018-02

百分數應用題中也存在類似行程問題中的三角結構關系。因此，教師在教學中要有意識地培養學生運用數量關系的自覺性，以便學生能夠完整理解百分數的相關知識，做到融會貫通。下面以北師大版教材為例，就百分數教學中遇到的困惑提出一點淺見。

一、教材結構分布情況探源

為方便敘述，下文統一以“比較量”和“參考量”表示兩個數量，“相差幾分之幾”稱為“相差分率”，“相差百分之幾”稱為“相差百分率”。

分析上表，筆者發現一個奇怪的現象：在分數應用題里只出現比較量、參考量二元結構，沒有形成一個穩定的“三角結構”，“相差分率”這個元素嚴重缺位，到了百分數應用題中，“相差百分率”又突然冒出來，原來的二元結構忽然變成“三角結構”，而且求相差百分率的知識甚至比求比較量和參考量的知識還要提前。這種倒序的教學安排不得不令筆者困惑。

二、診斷病因，解除困惑

1.為何分數應用題中鮮有“求相差分率”題型？

綜觀各版本小學數學教材，在分數應用題中有關“求相差分率”的題型幾乎沒有，只有在人教版（2002年）中隱約尋覓到其蹤跡，該版本教材中有“櫻桃樹15棵，李子樹20棵，李子樹的棵數比櫻桃樹多幾分之幾”的練習題。在日常口語交際中，人們習慣用百分率來指代兩個數字的相差分率，這種約定俗成的用語，切合了課程標準下教材在編寫之初的宗旨和方針，讓學生在“解決實際問題”的過程中關注生活經驗，還原生活實景，尊重人們的生活規律和習慣，杜絕與世隔絕做數學題的陋規。正因如此，“求相差分率”類型的應用題在新版教材中銷聲匿跡了。

2.為何先學“求相差百分率”？

站在學生的角度上看，百分數應用題中“求比較量”和“求參考量”比“求相差百分率”簡單得多，為什么舍易求難、舍近求遠，先學“求相差百分率”呢？在分數應用題中，“求相差分率”的題型一直處于斷層狀態，到了六年級，學生首次接觸百分數應用題中的“求相差百分率”類型的題目時就有些始料未及，失去知識鋪墊的教學孤立無援，開展起來也異常艱難。換一種思路，同樣是百分數應用題，其中“求比較量”和“求參考量”兩種題型，因為有了分數應用題的練習成果作為基石，學生只需要將分數應用題中“求比較量”和“求參考量”的相關知識遷移到百分數中即可，這對學生來說比較容易理解。

3.為什么百分數中“求參考量”的習題只出現在“百分數應用（三）”的“練一練”中？

因為求參考量是一個倒推的過程，需要用到逆向思維。當一個題目告知比較量時，必定同時告知比較量與參考量的相差百分率，而這個相差百分率具有反向作用。順向思考采用的是方程解法和單位“1”解法，而逆向思考時都必須轉換角度和數據，才能解答，這兩種思維學生的掌握都欠火候。從前文中的統計表中不難發現：百分數應用題中的“求參考量”題型用“成數”來表示相差百分率，自從在“練一練”中首次露面后，就一直被教材沿用。這其中也存在爭議，因為這種表述方式會影響教師對教學重難點的把握。

當然，情況也不全是這樣，青島版教材就是例外，只出現表格中前三種題型，而刪減了百分數中關于“求比較量”和“求參考量”的題型。業界一致認為，教材在編排上的原意是用這三種基本題型來搭建百分數應用題的邏輯結構。

三、補充相差百分率，完善知識結構

1.分數應用題中“求相差分率”的存在是合理的。

“比較量a”“參考量b”和“相差分率c”三個量是互為支撐的三角結構，它們的內在聯系十分緊密：（a-b）÷b=c、b×（1+c）=a，a÷（1+c）=b。在生活中，“相差分率”很少被提及，學生的相關經驗不足;又因為涉及“相差分率”的問題是兩步計算的題目，所以理解起來阻礙重重，但為了學生的技能發展考慮，就必須讓學生掌握。同時，“求相差分率”的算理也是理解“求相差百分率”的基礎。教師有時也難免陷入誤區，即將教材中百分數知識的三大題型劃分為兩類：一類是求分率（倍率），即求兩個實量的分數形態的差距，如“求一個數比另一個數多（或少）百分之幾”;另一類是根據兩個實量的差距求其中一個未知實量，如根據已知的“比較量”和“差率”來求未知的“參考量”，或者根據已知的“參考量”和“差率”來求未知的“比較量”。如果只是這樣簡單粗陋的分類，那么對學生知識體系的建構和邏輯思維的發展是相當不利的。

2.要先易后難，建構知識體系。

不管教材出于何種考慮，也不管編者出于何種用意，無論是為了符合生活實際，還是為了減輕學生負擔，教師都要對這一類應用題的訓練規則了如指掌。

教學“求相差百分率”時，教師一定要對學生說明學習“求相差百分率”這種題型的必要性。這不是教師故意增加學生的學習負擔，而是要引導學生主動將“比較量”“參考量”和“相差分率（或相差百分率）”三個量合體，建構規范的數量關系公式。

在教學百分數應用題“求比較量”后，教師應及時教學“求參考量”，在“相差百分率”的牽引下，將二者來回推導，這樣做也能保證六年級上冊教材“百分數的應用”和五年級下冊教材“分數混合運算”形成“大一統”的局面。當然，如果從學生的認知起點看，將“求相差百分率”后置于“求比較量”和“求參考量”，也是一個很好的補救措施。

尊重教材，但不唯教材是從。我們一線教師應該著眼知識本質，積極探尋重點知識，并從中窺探知識的整體框架和教學規律，有效提升學生的思維水平，同時也提高自己的教學水平。

（責編 李琪琦）