初中生解決函數圖像問題的調查研究

吳三俊

[摘 要]函數內容是初中數學知識體系的重要組成部分，函數圖像問題在中考數學試題中占有重要位置.要提高九年級學生解決函數問題的能力，需要教師有針對性地訓練. 對九年級學生解決函數圖像問題實際情況進行調研，是有針對性地訓練的基礎.

[關鍵詞]初中數學;函數圖像;問題;調查

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）05-0029-02

函數是初中數學知識體系的重要組成部分，函數圖像問題在中考數學試題中占有重要位置. 下面筆者在調查初中生解決函數圖像問題實際情況的基礎上，對如何提高學生解決函數圖像問題的能力進行簡單論述.

一、問題研究的背景

1.解決生活問題需要

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“數學是對現實世界的抽象.”在信息技術迅猛發展的今天，各種各樣的圖像充斥著我們的生活.例如，工廠出勤表和產值利潤表、股票和期貨市場走勢圖、拱橋的拱形拋物線等.在不知不覺中，無數種不同形式函數圖像滲透在人們生活的每個角落，有的人們已經發現，但有的人們還沒有發現，正期待著人們去探索.生活中存在著各種各樣的變量，而函數是揭示這些變量間本質關系的重要工具，可以運用函數圖像來解決生活中遇到的實際問題.

2.教學策略實施的需要

“思維可視化”教學策略，是指借助各種可視化技術把本來具有個體性、內隱性的思維過程顯化出來，使其成為清晰可見的顯性過程的一種教學手段或策略.被顯性化的“思維方法和思維過程”有利于知識的記憶和理解，在改變信息傳遞的方式中提高信息加工的效能.函數關系的表達形式有三種：解析法、圖像法和列表法.在這三種表達式中，函數圖像是最為直觀形象的表達方法.函數圖像能夠動態反映函數的變量之間的相互依存關系，能較好地反映該函數的性質，是研究函數性質的重要工具.

3.函數圖像是函數的重要組成部分

函數圖像是函數的重要組成部分.圖像法作為函數的一種常見表達方式，是從“形”角度描述函數，用圖像法表示函數關系，可以從整體上直觀形象地研究函數的變化情況.函數圖像的直觀性，易于幫助學生理解函數概念和基本性質.初中數學教材研究函數性質都是先從畫函數圖像開始的，函數在初中數學中特定的地位，函數圖像內容自然成了中考的重點.鑒于此，研究函數圖像很有必要.

二、主要表現及分析

很多優秀教師認為，初中生對函數圖像的認識沒有對函數解析式的認識深入，原因有三個：①教師過多地傾向于對函數的“數”的研究和考核，輕視“形”的重要作用;②學生重視函數“規律”的識記，輕視利用“圖像”的理解.學生在學習函數的知識時，認為只需死記硬背概念、公式與性質，就能完成學習任務，沒有必要花大量的時間，利用函數圖像去理解與掌握這些知識;③教師重視函數“應試”方法的傳授，輕視“函數圖像”的應用教學.

對學生進行問題調查與測試得到如下結論：①學生對函數圖像問題條件中的關鍵字、詞、句不能深刻理解，同時對其之間關系不能牢固掌握;②學生對函數圖像所隱含的性質內容理解不透，運用不熟練;③學生不能深刻“提取”函數圖像豐富信息隱含內容;④學生分析函數圖像問題中的各個量之間的變化范圍以及內在關系具有一定困難;⑤學生綜合運用函數圖像性質有困難. 存在上述五個不足的主要原因：一是函數圖像性質未能深刻理解和掌握;二是解決函數圖像問題的能力（如數形結合）較差;三是對相關函數基礎知識的掌握程度較淺;四是綜合應用、概括歸納等數學能力水平較弱.

問題解決是一個分步的、多階段的過程.學生的已有知識對于新的學習起著至關重要的作用.在分析學生的原有知識、學習任務時，應特別注意知識的結構性，關注問題圖式的形成與發展.在教育情境中討論學生的問題解決能力，不僅需要關注學生的思維活動，還應該關注學生在問題解決過程中的具體行動.

三、提高學生的解讀函數圖像能力的建議

良好的識圖能力是解決函數圖像問題的基礎與先決條件.在調查問卷和測試試卷中發現學生在通過函數圖像識別函數性質和確定解析式方面能力較強，但在解讀與實際生活相聯系的函數圖像方面存在缺陷.學生主要表現在識圖順序錯亂，無法將圖像上的特殊點和每段函數圖像與實際相聯系，并將這些特殊點和每段函數圖像的實際含義解讀出來.

根據學生識圖容易出錯和遺漏的特點，我們設計了讀圖三步驟，并在教學中不斷修改，發現效果較好.三步驟具體內容：第一步，了解直角坐標系中橫軸和縱軸表示兩變量的實際含義;第二步，將函數圖像中的特殊點所表示的實際含義翻譯成文字語言，翻譯時，只要將橫坐標后面加上橫軸表示變量的含義，縱坐標后面加上縱軸表示變量的含義，這個點表示的實際含義就能被翻譯出來;第三步，分析每段函數表示的實際意義.通過這三個步驟，學生基本上能將函數圖像中蘊含的條件全部解讀出來.具體操作方法見例題.

例題： 甲、乙兩地之間有一條筆直的公路，小明從甲地出發沿公路步行前往乙地，同時小亮從乙地出發沿公路騎自行車前往甲地，小亮到達甲地停留一段時間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地.設小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為y3米，小明行走的時間為x分鐘. y1、y2與x之間的函數圖像如圖1，y3與x之間的函數圖像（部分） 如圖2.

（l）求小亮從乙地到甲地過程中y1（米）與x（分鐘）之間的函數關系式;

（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中y3（米）與x（分鐘）之間的函數關系式;

（3）在圖2中，補全整個過程中y3（米）與x （分鐘）之間的函數圖像，并確定a的值.

這是中考數學中常見的函數圖像信息題，這道題學生得分率較低，主要是因為不會識圖.這里主要介紹運用“ 識圖三步驟”來識別圖1.

第一步，了解y1、y2和x的含義.x是表示小亮和小明出發的時間，y1、y2是表示小明和小亮到甲地的距離，y3表示小明與小亮之間的距離.

第二步，理解特殊點的含義.小明：（0，0）是表示小明出發0分鐘時，離甲地0米，（40，2000）是表示小明出發40分鐘時，離甲地2000米.小亮：（0，2000） 是表示小亮出發0分鐘時，離甲地2000米，（10，0）是表示小亮出發10分鐘時，離甲地0米.

第三步，整體了解每段函數的含義.小明：圖像是一條線段，說明小明在勻速運動，勻速運動的速度是 2000÷40 = 50米/分鐘.小亮：第一段函數圖像是線段，說明小亮在勻速運動，勻速運動的速度是2000÷10 = 200米/分鐘;第二段函數圖像是水平線段，說明小明沒有運動;第三段函數圖像是線段，說明小明在按原速運動;第四段函數圖像是線段，表示小亮和小明同速度一同勻速行駛.

通過上面的三步驟讀圖，可以將圖像中的條件都提取出來，接下來是運用這些信息和結合圖像解題.

對于函數圖像信息題，如果學生會讀圖，能夠將圖像中的信息讀出來，并充分運用這些信息，就基本可以解決問題了.比如上面的例題，我們調查發現會讀圖的學生中，第一小問幾乎全對，第二小問雖然很難，也有一部分的學生做出來.因為會讀圖的學生能夠將圖中的信息提取出來，運用這些信息求解就不會太難.

教給學生一套行之有效的識圖方法，多加練習，能很快地提高學生的識圖能力.實踐證明，發現“識圖三步驟”在解決函數圖像信息題時效果很好.

生活的豐富多彩，是我們學習函數知識的源泉.函數知識的取得也是從生活中來的.原本函數知識因生活的需要而產生，又因學習而加深了對函數圖像的認識.函數圖像問題是初中數學問題教學的重點，也是教師貫徹落實新課改要求的有效載體.教師應根據年級階段特殊實際，注重函數圖像知識的系統講解，強化函數圖像問題的專題訓練，傳授有效解決方法，提升學生的數學素養.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 杜國平.圖形推理及其社會文化功能[J].徐州師范大學學報（哲學社會科學版），2011（1）：123-126.

[2]? 吳涌泉.淺談運用反比例函數圖像解決實際問題[J]. 課外閱讀（中學版），2010（6）：112-114.

（責任編輯 黃桂堅）