基于深度學習的“種子課”教學設計案例分析

李曉梅　張秋　張麗欣

深度學習理論的提出不僅提供了深化教學的思想策略，也為教學實施提供了具體的模式和方法。審視當下的數學教學，仍存在重視對結論的理解、記憶和應用的“用數學”傾向，過分關注學生能否解決數學問題。深度學習理論要求我們不僅應該知道“是什么”，還應該知道“為什么”。重慶大學王翊等認為，基于深度學習的實驗教學應該采用四段式教學法。該教學法聚焦深度學習模型本身，將深度學習的教學過程分為了解模型、使用模型、理解模型、掌握模型四個階段，既解決了當前課堂教學面臨的理論問題過深、學生理解困難且動手能力差的問題，又解決了實驗課程中“把深度學習當作工具、只教如何應用、不求深入理解原理”的問題。我們通過對深度學習的研究，針對“種子課”提出了教學設計應該分成三個階段。

一、明確預期成果

本階段重點通過目標內容的分析，明確預期成果目標，為具體設計提供方向。平行四邊形的面積是研究平面圖形面積的基礎，承擔著初步建模的任務，為后續其他平面圖形面積的學習提供基本的學習方法和經驗，初步滲透轉化思想。

（一）內容簡析

本節課是在長方形、正方形的面積和平行四邊形特征的基礎上進行學習的。學生在學習平面圖形面積度量時，經歷著由單位面積度量到公式度量的過程。長方形和正方形的面積更多的是應用單位面積進行度量，計算公式也是由單位面積度量發展而來的。平行四邊形的面積是從單位面積度量到公式度量的銜接，由此，種下公式度量的“種子”。平面圖形面積公式推導的主要方法是轉化，而平行四邊形的面積是學生第一次用轉化的方法進行公式推導，它將為三角形、梯形、圓形的面積，以及立體圖形的表面積的學習，種下轉化思想的“種子”。

從數學思考經驗方面看，研究平面圖形的面積，基本都立足于兩個問題：面積與什么有關？有什么關系？平行四邊形的面積承擔著初步建模的重任，給學生提供學習經驗。在以后學習平面圖形的面積時，學生會主動從這兩個問題進行思考，種下數學思考的“種子”。

（二）教學目標

一是經歷平行四邊形面積計算公式的推導過程，能運用公式正確計算平行四邊形面積，并解決相關的實際問題;二是通過圖形變換、轉化觀察、聯想操作等活動方式，讓學生獲得研究空間圖形面積的基本活動經驗，初步理解和運用轉化，借助直觀模型研究等數學思想和方法;三是通過面積公式的推導，培養學生的探究、創新、應用意識，提高學習和解決問題的能力，感受數學與生活的聯系，體驗數學的實用價值。

（三）教學重難點

教學重難點是在面積推導過程中感受轉化思想方法的價值，探究平行四邊形面積公式。預期學生的收獲包括三個方面：一是能猜測平行四邊形的面積與底、高有關;二是能將平行四邊形轉化成長方形，清晰轉化前后各部分的關系，并能推導出平行四邊形的面積公式;三是能應用公式準確計算平行四邊形的面積并解決實際問題。

二、選擇評估內容與任務

本階段是根據設定的目標，明確目標實現的評估內容，用于具體的目標達成度分析。在評估的基礎上，通過思考如何選擇目標任務，為后續的具體任務設計打好基礎。

（一）選擇評估內容

通過分析，確定以下三點作為目標是否實現的評估內容：

一是猜想并驗證平行四邊形的面積與底和高有關，高不變，改變底的長短，引導學生用重疊法驗證面積與底有關;提供不同高度等底的圖形，引導學生采用數格子、重疊比較、轉化的方法驗證面積與高有關，并初步感受轉化的方法。

二是用分割轉化的方法推導平行四邊形的面積公式：把不同大小和形狀的平行四邊形轉化成長方形，思考并交流轉化前后各部分的對應關系并推導出面積公式。

三是應用平行四邊形的面積公式解決實際問題，設置基本練習，求平行四邊形草坪的面積;設置變式練習，根據面積和底，求底對應的高。

（二）選擇目標任務

選擇的目標任務不僅要關注面積公式的應用，更要重視利用探究的活動對數學轉化思想方法進行有益的嘗試。本節課在設計上，需要突顯出兩點：一是轉化的思想，二是對平面圖形面積的數學思考。為了突出這兩個內容，我們通過學習任務將靜態的結果變成了動態的演變過程，通過軟件將復雜的變化過程變成了直觀的形象。這樣，不但能看到面積與底和高的關系，而且也能感受到在變化之中的不變性。

轉化思想的落實可以分成兩步進行：第一步，要引導學生根據長方形和正方形的面積學習經驗以及對平行四邊形的已有認識來猜測平行四邊形的面積與什么有關;第二步，要引導學生通過“觀察—猜想—驗證—總結”這樣的過程逐步明確面積與底和高有關。在驗證面積與底有關時用到的數學方法是重疊法，這種方法卻不能用來驗證面積與高有關。這種疑難問題讓學生在教師的引導下利用其提供的材料去動手操作，在操作中選擇不同的方法來驗證。根據教學經驗，應用轉化一定會出現。我們需要做的是揭示這種經常用到的方法就是轉化。

明確了這種方法就是轉化之后，要使全體學生再次體會轉化：把一個任意的平行四邊形轉化成長方形。在這個任務中，學生在熟悉、應用轉化的同時也推導出了平行四邊形的面積公式，感受到了轉化在數學中的重要作用。

接下來，還要立足于平行四邊形面積公式，通過實踐操作，讓學生觀察平行四邊形面積與底和高的關系變化，在猜想、驗證和總結中，深化對這一公式的理解。此外，還可以將平行四邊形轉化為長方形，為后面要學習的內容做好鋪墊。

我們設計了兩個步驟讓學生理解面積與底和高有關。第一步，先保持高不變，改變底的長度，讓學生觀察面積的變化。他們會發現在高不變時，底變大面積也會變大，底變小面積也會變小。第二步，使用數學的方法——重疊法驗證這個發現的正確性。研究面積與底有關的學習經驗是研究面積與高有關的方法基礎，要引導學生按照相同的方法去研究面積與高有關。

這樣，學生通過“觀察—猜想—驗證—總結”這樣的過程明確了底和高的改變會帶來面積的變化，平行四邊形的面積是與底和高有關的。安排全體學生都去感受轉化，把平行四邊形轉化成長方形。在轉化的同時給學生呈現了思考的問題，這些問題均指向面積與底和高有什么關系，即公式的推導。這樣的設計就突破了那種為了推導而推導的問題，讓公式的推導成了熟悉感受轉化的附屬，學生接受起來就順理成章了。自我評價的反思總結，則通過和學生的共同梳理，讓轉化的數學思想方法和研究平面圖形的數學思考在他們心中逐漸立體、豐滿，為后續的學習奠定了堅實的基礎。

三、設計教學活動

根據課程目標，我們將具體的教學活動進行了如下設計。

（一）猜想驗證——平行四邊形面積與什么有關

1.回顧舊知，激活經驗

先復習提問：你是怎樣計算長方形和正方形的面積的？（電腦出示長方形正方形的圖形）學生搶答，并回憶長方形和正方形的面積公式。

再引發沖突，出示課題：在長方形和正方形的圖形基礎上加入平行四邊形?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e我們還沒學過，今天我們就來研究平行四邊形的面積?！保ò鍟n題）

2.猜測驗證，積累經驗

先引導猜測：關于平行四邊形你都知道些什么？猜猜平行四邊形的面積與什么有關？學生回憶平行四邊形的特征，根據經驗猜測面積與底和高有關。

再對比長方形與平行四邊形的關系，尋找丟失的“高”。提問：（電腦演示）底不變，高改變后，面積有什么變化？怎么驗證你的想法？

引導學生觀察對比，發現高不變，底改變帶來面積的變化，學生會根據驗證底的方法來驗證，出現認知沖突，重疊無法驗證。引發思考，需要其他的方法來驗證。

最后，操作驗證。利用1號信封中的三個等底的平行四邊形，可以畫一畫，數一數，剪一剪，拼一拼，用數學的方法來驗證：平行四邊形的底相同時，高越長，面積越大;高越短，面積越小。

預設方法1：一格一格地數格子。

預設方法2：先拼成長方形，再數格子。

預設方法3：拼成長方形，重疊比較。

預設方法4：拼成長方形，用長方形的面積公式計算。

3.再現方法，明晰轉化

我們在驗證平行四邊形的面積與什么有關的過程中，想到了一個方法：將平行四邊形剪開，拼到了另一邊。就是這么一剪、一拼，就將平行四邊形進行了等積變換，這種方法在數學上就叫轉化。當我們遇到新的知識，遇到不會解決的問題時，就可以用這種方法變成已學會的舊知識來解決。

圍繞“面積與什么有關”這樣的核心問題，借由長方形和正方形的面積的回顧，根據對平行四邊形已有的認知，學生猜測出面積與底和高有關并不困難?？墒?，怎樣在“觀察—猜想—驗證—總結”的過程中既能讓學生獲得研究平面圖形面積的基本學習經驗，又能夠初步感受轉化在其中的意義和作用？這是我們思考的重點。

在設計中，先通過觀察猜想平行四邊形的面積與底有關，再通過重疊的方法驗證猜想是否正確。有了這個學習經驗，加上教師的有意引導，學生會順理成章地用相同的方法來驗證面積與高有關。這時，就產生了認知沖突：驗證面積與底有關時好用的“重疊法”居然不能用來驗證面積與高的關系。這樣，就使學生不得不思考使用其他的數學方法進行驗證。利用有設計的材料，在后續的動手操作驗證環節，學生會主動運用轉化的方法來進行比較。學生經歷了“觀察—猜想—驗證—總結”這樣完整的研究數學問題的過程，就能主動運用轉化的方法解決問題，初步感受轉化方法在數學學習中的作用。

（二）轉化推導——面積與底和高有什么關系

1.豐富體驗，探究關系

先提出問題：任意的一個平行四邊形都能轉化成長方形嗎？用2號信封中的平行四邊形進行轉化（信封中提供大小、形狀，高的位置都不相同的平行四邊形）。再引導思考：轉化前后的圖形有什么關系？學生獨立操作，將平行四邊形轉化成長方形，并交流轉化的方法，以及轉化前后圖形的關系，由此推導出面積公式。

2.拓展辨析，深化本質

先提出問題：沿任何一條高剪開都可以把平行四邊形轉化成長方形。那如果不沿著高剪開進行轉化行不行呢？電腦出示沿對角線剪開拼成平行四邊形，引導學生討論辨析，明確轉化的目的是為了把不會的問題轉化成會的問題，不是為了轉化而轉化。再追問：既然我們的目的是為了把不會的平行四邊形轉化成會的長方形，那么，將平行四邊形的框架拉成長方形，用這種方式轉化可以嗎？實物框架有兩個：一個不變，一個拉成長方形。引導學生觀察思考，辨析后明確轉化前后的問題不能改變。

3.總結提升，積累經驗

我們用轉化的方法將平行四邊形轉化成了已學過的長方形，從而不但知道了平行四邊形的面積與底和高有關，還知道了有什么關系：就是面積=底×高。數學上我們用S表示面積，用a表示底，用h表示高，平行四邊形的面積公式用字母可以表示為S=ah，這就是平行四邊形的面積公式。在計算平行四邊形的面積時，就可以用公式進行計算，不需要再數格子那么麻煩，也不需要每次求平行四邊形的面積都現轉化了。

在以往的教學中，我們往往用“平行四邊形的面積公式是怎么推導的”這樣的問題引領學生進行操作，實際上學生并不是很理解什么叫“推導”，這樣的問題無法引領真正學習的發生。所以，我們將任務設計成帶著問題體會轉化，在體會將平行四邊形轉化成長方形的過程中，在問題的引領下，探究出面積與底和高的關系，其實就是平行四邊形的面積公式。這樣的問題框架與前面的任務相互呼應，學生可以輕松地得到平行四邊形的面積公式。在拓展辨析環節，則引領學生對轉化的理解走向了深入，觸碰了其本質。

（三）鞏固應用——還可以解決什么問題

1.基本應用，熟悉公式

（電腦出示底、高和斜邊的平行四邊形）規劃中的道路有一個平行四邊形的草坪，求平行四邊形草坪的面積。

學生先獨立計算，再全班交流。引導學生通過思考明確用公式計算底和高求面積時，底和高要對應（板書“對應”）。

2.變式應用，深化關系

提問：25米可以當底嗎？如果25米當底，高在哪里？

學生先指出對應的高，再獨立求出這條高的長度，全班交流。

在本環節首先安排了一道基本應用公式的練習，其目的是既讓學生熟悉公式的應用，感受公式度量面積的便利性，同時也進一步強調公式應用的條件，底和高必須相對應，強化公式的正確性。在此基礎上改變條件，讓學生根據面積和底求高，使他們更加清晰面積、底和高之間所存在的關系，能培養變通能力和舉一反三的能力。

3.總結反思，內化提升

提問：你學會了什么？是怎么學會的？

引導學生總結學習方法，內化提升（電腦演示）。通過總結，清晰地呈現本節課的收獲和學習方法。幫助學生梳理知識的同時，也引導他們逐步學會提煉學習方法，培養學生的歸納概括能力。同時，通過梳理的圖示，強調知識間的聯系，明確研究平面圖形面積的數學思考方法，為后續的學習奠定知識和方法的基礎。

（責任編輯：楊強）