融合思政元素的線性代數翻轉課堂教學設計
——以矩陣乘法為例

朱艷麗，趙峰

（華南農業大學 數學與信息學院，廣東 廣州）

一 引言

習近平總書記在《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》中指出“大力推動以課程思政為目標的課堂教學改革，優化課程設置，修訂專業教材，完善教學設計，加強教學管理，梳理各門專業課程所蘊含的思想政治教育元素和所承受的思想政治教育功能，融入課堂教學各環節，實現思想政治教育與知識體系教育的有機統一”。

近年來，與時俱進的學校教學改革對傳統教學模式和思政教育進行積極探索與創新，比如，推廣慕課與翻轉課堂，推動多層面的“課程思政”的發展等。在學校精神的指導下，數學學科的專業課程教學也應緊跟腳步，充分挖掘和運用課程中蘊含的思想政治資源，傳承中華民族優秀傳統文化，積極培育社會主義核心價值觀，厚植愛國主義情懷，使學生達到思想和專業知識的雙重提升，為國家培養優秀的青年人才！

線性代數是高等院校本科各專業的一門重要的基礎理論課程，課程主要討論線性關系問題，其內容抽象，具有較強的邏輯性。特別是在“互聯網+”時代的沖擊下，用線性代數的方法解決實際問題已經滲透到自然科學、經濟、工程技術等各個領域。將習近平總書記的思政進課堂理念與翻轉課堂相結合，科學合理的設計思想政治教學內容，將思想政治教育元素有機融入線性代數的慕課視頻和翻轉課堂中，使線性代數課程與思想政治同向同行，形成協同效應，能在有限的課時中激發學生的內驅力，提高學生的學習興趣，提升學生的學習效率，同時培養學生正確的世界觀、人生觀、價值觀，形成社會主義的核心價值觀和文化自信。本文以線性代數中的知識點矩陣乘法為例，在課前準備、課中教學和課后評價反思三個階段分別進行教學設計，展示思政元素與翻轉課堂教學模式的有機融合。

二 具體的教學設計過程

（一）課前準備工作

首先，在智慧樹平臺提前發布本次課程的預習要求：包括學習目標、重點與難點，需要用到的相關拓展資料，預習的目標檢測題。讓學生提前在慕課平臺觀看相關的課程視頻，按照預習目標檢測要求完成本次課程的預習要求。

1.教學目標

1.1知識層面

掌握矩陣乘法運算的概念，會計算兩個矩陣的乘法；理解矩陣乘法的運算律以及與數的乘法運算的區別。

1.2能力層面

利用矩陣乘法的教學過程，培養學生分析問題、建立相關知識點的關聯（向量內積與矩陣乘法的關系）、解決問題的能力；培養學生比較學習的能力（矩陣乘法與數的乘法的區別與聯系），掌握舉反例的學習方法（舉例說明矩陣乘法不滿足交換律，不滿足消去律，兩個非零矩陣相乘可以是零矩陣）；通過對知識點背景（矩陣的發展史，相關數學家凱萊的介紹）和知識點的實際應用的學習（矩陣乘法在數據處理中的應用），進一步提升學生全面看待問題的能力。

1.3思政層面

見圖1。

圖1 思政層面的教學目標

2.教學重難點

2.1掌握矩陣乘法運算的概念

2.2矩陣乘法運算與數的乘法運算的區別

3.預習目標檢測題

4.知識點鏈接與思考

4.1查找矩陣的背景知識，了解矩陣的發展史；

4.2查找數學家凱萊的相關介紹；

4.3思考矩陣乘法運算與數的乘法運算的區別和聯系；

4.4思考矩陣乘法在現實生活中的應用有哪些？

（二）課中進一步落實

加強知識發生過程教學，適時進行課程思政——培養求真、求實、求善、求美的態度和精神。首先介紹矩陣的發展史，讓學生對矩陣產生的背景有所了解。英國數學家凱萊被公認為是矩陣論的創立者，他首先把矩陣作為一個獨立的數學概念提出來，并首先發表了關于這個題目的一系列文章。矩陣由最初作為一種工具經過兩個多世紀的發展，現在已成為獨立的一門數學分支——矩陣論。矩陣已經成為一種重要的數學工具，它的理論和方法在數學和其他科技領域（如數值分析、優化理論、微分方程、概率統計、運籌學、控制論、系統工程等）都有廣泛應用。矩陣的發展史印證了人的認知規律：由未知到已知，由淺入深的發展過程，數學家們孜孜不倦、勇于探索的研究精神是同學們學習的榜樣，從而實現數學文化，數學精神與人文素養的有機融合。

以線性代數問題為先導，通過“問題解決”進行課程思政——學生實現知識的自主建構和能力的提升。首先由超市購物商品的價格計算引入向量乘法概念，貼近現實生活的例子更加吸引學生的學習興趣；接著引導學生回憶向量的內積運算，分析向量乘法與矩陣乘法的關系，讓學生通過知識點的鏈接更容易理解矩陣乘法概念；隨之以問題為先導，讓學生通過解決問題對矩陣乘法概念更加深入的理解：1.矩陣乘法與向量內積運算有什么關系？2.矩陣乘法為什么要求前矩陣的列數與后矩陣的行數相等？3.矩陣乘法和數的乘法有什么區別和聯系？通過兩個向量內積的運算分析矩陣乘法運算，乘積矩陣第i行j列的元素相當于前矩陣的第i行行向量和后矩陣第j列的列向量做內積運算得到，所以前矩陣的列數和后矩陣的行數必須一樣多才可以做乘法運算。最后舉具體的例子說明矩陣乘法與數的乘法的區別：1.矩陣乘法不滿足交換律。例1：兩個矩陣A、B，AB有意義，BA未必有意義。如矩陣A2×3與矩陣B3×4相乘可以得到兩行四列的乘積矩陣C2×4，但是矩陣B3×4與矩陣A2×3就不可以做乘法運算，因為前矩陣的列數與后矩陣的行數不相等。例2：兩個矩陣A、B，AB與BA都有意義，但是AB與BA不一定是同型矩陣。如矩陣A2×3與矩陣B3×2，A2×3B3×4為二乘二的矩陣，但B3×2A2×3是三乘三的矩陣。例3：兩個矩陣A、B，AB與BA是同型矩陣，但是不一定相等。如矩陣，矩陣矩陣，。通過層層遞進的例子剖析，讓學生更加清楚地理解矩陣乘法不滿足交換律。2.兩個非零矩陣相乘可以是零矩陣，所以矩陣乘法不滿足消去律。在例3可以看到兩個矩陣A、B都是非零矩陣，但是，也隨即得出矩陣乘法不滿足消去律。問題為先導的教學模式有助于培養學生自主思考問題，解決問題的能力，相關知識點的關聯學習有助于學生建立知識點的橋梁，達到融會貫通，舉反例的數學方法的應用有助于幫助學生更加具體且深刻的理解知識點，培養嚴謹的數學思維。

結合具體案例分析進行課程思政——提升學生對社會現實生活的關注，培養民族責任感和自豪感。引入超市購買商品的實例，例：現在有A,B兩家超市，銷售酸奶的單價分別是5元，6元，銷售面包的單價分別是9元，8元，小明需要購買6瓶酸奶，3塊面包，問小明應該選取哪家超市購買更劃算？這是一道普通的乘法和加法的運算問題，小明只需要用購買商品的數量與兩家超市的商品單價做乘積運算再相加，和最小的即為最劃算的，即在A超市需要5×6+9×3=57元，B超市需要6×6+8×3=60元，顯然在A超市購買劃算。這個簡單的應用可以使用矩陣乘法處理，將A,B兩家超市的兩種商品的單價做成一個二階矩陣，小明購買的商品數量寫成一個兩行一列的矩陣，這時候兩個矩陣相乘就可以通過乘積矩陣很清楚地看到在超市A購買更劃算，即：。在日常生活中超市的產品成千上萬，顧客人數也是一個龐大的數量，這時候我們可以通過計算機處理大型矩陣的乘法，常用的是Physon中的Numpy來計算矩陣乘法。下面是使用計算機完成對上述例子里面的矩陣乘法計算，可以看到結果一致。在人工智能蓬勃發展的今天，語音識別，大數據，人臉識別隨處可見。尤其是疫情期間，行程記錄，人臉識別起到了非常重要的作用，這些都跟矩陣的知識息息相關。讓學生了解矩陣知識在現實生活中的應用，可以提升學生的學習興趣，提高他們的學習動力；再結合社會熱點，評美國制裁中興、華為等事件之痛，可以激發學生科技報國的家國情懷和使命感。

（三）課后總結與反思

總結：本節課程的重點內容是講述矩陣的乘法運算，輔以思政元素后讓本節課程更加豐滿，生動，深刻。學完本次課后，學生對矩陣的歷史起源，矩陣的概念，矩陣的應用有了更加全面的認識。

反思：由于課程是與翻轉課堂結合進行，需要學生在課前做好預習工作。對于自覺性差的同學來說預習效果不好，直接影響到上課質量，所以如何有效地監督學生進行預習非常的重要，解決這個問題除了提高學生自己的學習主動性外，也需要老師適當的監督提醒。再有思政元素的融入可以讓學生參與，比如可以布置一些個性化作業，讓學生真正參與到思政教學中去，可以通過漫畫、手抄報、思維導圖的方式進行。

三 結語

以往的大學教育對學生思政的培養都是依托學校開設的思想政治教育課程，雖然一直強調教書育人，但并未真正如此大力度地要求貫徹在每個課程的課堂教學中。將思政融入課堂教學的一次很好的嘗試，也是在具有豐富的數學文化的數學學科中進行真正意義上的“育人”，從教學環節的思政融合設計到整個教學體系的構建，呈現了一個完整的課程思政藍圖。人文精神與科學精神的雙結合，專業內容與思政“元素”的相融合，可以幫助學生在學習專業知識的同時，思想政治意識得到提升，從而樹立社會主義的核心價值觀，增強“四個自信”，使學生能夠健康、快樂、積極成長。