求聯驅動：催化數學理解的自然進階

陸泉萍

【摘要】數學的學習離不開數學理解，即對“經驗性理解”“形式化理解”“結構化理解”和“文化感悟理解”層層深入發展.在數學理解的過程中，要在學習內容、表征方式、思維層次和學科特征中求聯，依托回歸策略，在生活經驗、基本模型、知識結構中驅動教學，使數學理解有“力”.借助多元表征方式，利用實驗表征、圖形表征、符號表征驅動教學，使數學理解有“徑”.基于“聯”，催化學生數學理解的自然進階，實現發展學生數學素養的目標，使數學精神轉化成學生終身發展的不竭動力.

【關鍵詞】數學理解;求聯;驅動式;教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：數學知識的教學應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯，學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化.[1]因此，數學學習離不開對數學知識的理解.唯物主義哲學觀認為，任何事物都處于普遍的聯系之中，小學數學教學也不例外.因此，我們要以求“聯”的眼光促進學科內部、數學與其他方面之間的聯結、聯通，在求聯驅動下催化小學生數學理解的自然進階，探尋數學的本質意義.

一、探繹：從“數學理解”到“求聯驅動”的內涵闡釋

（一）數學理解

“理解”一詞字面上的意思指順著條理或者脈絡進行剖析.數學理解，從名詞的角度分析，主要指學生對數學知識技能、思想方法的理解;從動詞的角度分析，主要描述一種“數學化地理解”.數學理解是一個層級躍遷的過程，誠如我國學者呂林海教授根據學習者理解水平層級，依次劃分出“經驗性理解”“形式化理解”“結構化理解”和“文化感悟與理解”四個層級.這些理解與學習者的數學知識經驗產生雙向作用，互相影響，促使學習者的知識經驗不斷規整與擴充.

（二）求聯驅動式教學

顧名思義，“求聯驅動式教學”即以“聯”來推動數學教學的深入展開.深度學習理論認為對知識點的解釋只是表層的理解，讓學生明白知識之間的聯系，構建知識網絡才是真正的理解.同時，基于教育心理學家比格斯和科利斯的“SOLO”理論，可以發現在由低到高的五個層次中，處于無學習或者淺層次學習的“前結構”和“單一結構”中，并沒有發現“聯”的身影.而在“關聯結構”和“抽象拓展結構”這兩個層次中，學習者正在進行整合信息，建立聯系，建構知識，解決問題以及抽象拓展，顯然這兩個層次已經達到了深度學習的范疇.因此，提出求聯驅動式教學，能助推學生對問題進行全面思考，在數學化的過程中加深數學理解，實現深度學習.

（三）意義與價值

在大量的課堂觀察中發現，當前學生的數學理解普遍存在缺失.學生的理解停留在淺層次，對新知的詮釋往往浮于表面，在解決綜合性問題時顯現出對數學知識理解方式的單一化，因而無法靈活調取適切的方法解決實際問題.此外，學生對知識的理解呈現零散狀，缺乏由點成線再成面的結構化理解.以上種種現象，無不透露出求聯對于數學理解具有重要意義.

1.聯動“數”與“形”，提升知識層面修養.以數解形，以形助數，數形結合作為小學數學的重要思想方法，它們的聯動促進了學生對知識多元化的表征，獲得知識本質的理解.

2.聯通“同”與“異”，發展認知能力.通過比較數學知識概念、方法策略的異同，異中求同，尋找其中的“變”與“不變”，有助于學生建構合理的認知結構，體會思維策略的現實價值，形成良好的思維品質.

3.聯結“理”與“境”，建立學科精神.從數學教學情境的體驗到數學道理的感悟，從數學學科走向其他學科，走向生活，直接推動學生建立數學理性精神，提高核心素養.

二、尋繹：求聯驅動的基本類型

在小學數學教學中，所指的“聯”就是對影響數學學習的諸多因素進行聯通，由點成線，由線成面，最后編織出網狀認知結構.求聯是促進數學理解的重要方式，求聯的過程更是一個探尋數學本質追逐意義的過程.從不同學習因素的角度出發，求聯驅動式教學主要包括以下四個方面.

（一）學習內容中的求聯

數學各大領域內的教學知識都環環相扣、緊密聯系在一起，猶如一條螺旋上升的線，不斷攀爬生長.從一個學習內容出發，通過演變升華為與此內容相關的新學習內容，這些新舊內容之間存在一種衍生關系.因此，在數學教學中要引導學生探尋當下學習內容的前因后續，唯有找到“源頭”方能品嘗到“活水”.

從教師“教”的角度來說，教師本身要在教學中建立求聯意識，理清對應教學內容的知識技能或思想方法的脈絡.“T”字形備課便能較好地呈現這種求聯.課題左邊箭頭指向與此教學內容相關的學生已有知識儲備，右邊箭頭指向該教學內容的后續學習內容.此時教學內容不是孤立的一個知識點，而是由碎片走向整體的橫向發展.接著，著眼于本課教學內容，由核心問題串層層深入教學的每一個環節，使教學向縱深發展.從外觀上，這樣的備課形似一個英文字母“T”，“T”字形備課能夠引導教師有效地尋找教學內容的聯系，橫縱聯結共同勾勒出優效的數學課堂.

從學生“學”的角度而言，不同學習階段對于相似學習內容要有主動串聯的眼光.例如，在教學“和差問題”時，無論學生選擇“加”“減”或“移多補少”任何一種方法，其根本目的都在想辦法使兩個量變得“同樣多”，再進行平均分，學生的學習依據直指低年段的平均分.

（二）表征方式中的求聯

數學表征主要分為語言、符號、圖像三種方式，多元化的表征方式豐富了學生的數學理解.對于一個數學概念，學生往往能用自己擅長的表征方式進行理解.但在教學實踐中也存在這樣的現象，學生把對于同一內容的不同表征方式互相割裂，當作不同的學習內容進行學習，使數學學習變得晦澀難懂.舉個簡單的例子，學生會用語言闡述乘法分配律，也能用字母去表征，但當乘法分配律與圖形結合時，學生便不能建立起它們之間的聯系.

因此，在不同的表征中尋找內在的本質聯系，是教學任務中一項重要的部分.唯有如此，才能使表征多樣化真正服務于學生的數學理解，而不是變成了額外的學習負擔.例如，教學乘法口訣“三四十二”，教師引導學生發散思維，在多元表征中求得知識的聯結.在不同的表征中，學生將直觀形象的方式嫁接到抽象的符號理解，在可視化的過程中不斷推進口訣的意義建構，使數學學習進入更高的層級.

（三）思維層級中的求聯

由于學生思維水平的差異化，對于同一數學知識學生的理解水平也是不同的.正因為思維的層級性，教師在教學中更要注重聯動不同思維的產物，利用不同形式的表達來構建同一問題的方法多樣化，使學生多角度、多層次地融通知識.例如，在解決“甲、乙、丙、丁4人每兩人之間握一次手，一共需要握幾次手”這樣一個數學問題時，學生呈現多種策略.

①列舉法：甲—乙

甲—丙 乙—丙

甲—丁 乙—丁 丙—丁

②連線法： ③列表法：

④ 加法算式：3+2+1=6（次）

⑤ 乘法算式：3×4÷2=6（次）

以上五種方法呈現出不同的表達形式，從思維層級角度來看，學生經歷了從直觀化描述分析到抽象化關聯推理的發展過程.在這里，無論是直觀形象的方法，抑或抽象概括的方式，沒有優劣之分，并不以此來區分高層次思維和低層次思維.學生在對比關聯中可以感悟：“形”與“式”是相互相通、互相成全的.同一意義的表達，通過教師的引導求聯能使學生意識到解法的多重性與發展性，思維的層級正是由于這些不同卻又豐富的策略逐漸由淺層到深層漫溯.

（四）學科特征中的求聯

日本學者米山國藏認為，一個人的數學知識很快便會忘卻，但是那些數學思想方法、精神價值以及研究問題的著眼點會深深貯存在腦海中，使人終身受益.數學作為對客觀世界的表達，閃耀著理性的光輝.數學的世界藏著嚴謹的科學美、絕妙的邏輯美、簡潔的形式美、辯證的哲理美、悠久的歷史美，這一切勾勒出其獨特的學科特性.把握學科的特性，將它們進行關聯，也是求聯驅動的來源之一.除了可以從數學學科本身出發，還可以超越數學引導學生對不同學科特性進行求聯.海闊憑魚躍，憑借求聯讓學生在更廣闊的天地間演化創造，這也許也是一種哲學啟蒙的形式.

三、踐行：催化數學理解的求聯策略

在意識層面上，求聯是教師“教”與學生“學”的一種主動思想傾向，帶著這種意識探尋教學中求聯的實施方法，在求聯驅動式的教學中使教學達到自然融合，催化學生對數學理解的自然進階，向著深度學習進發的同時落實核心素養目標.

（一）倒退聯結：讓數學理解有“力”

人之所以對數學產生枯燥乏味、晦澀難懂的印象，原因之一便是脫離了實際.這里的“實際”不僅僅指向學生的原有知識、生活經驗和認知發展水平，也包括數學基本概念、知識結構等方面.華羅庚曾說：復雜的問題要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.因此，要敢于在倒退中求聯.

1.退回生活經驗

小學數學作為初等數學內容，每一個基本概念都來源于生活中的現實原型.概念的形成就是對現實原型的抽象與概括.因此，教師要以生活原型為抓手，從學生最熟悉的日常生活經驗著手設計教學過程，通過聯系原型讓數學理解更有活力.以《認識千米》為例，基于學生思維正由前運算階段向具體運算階段發展，因此，教師設計數學實驗，讓學生到生活中感受千米.實驗設計如下：

感受千米，體驗生活

踩著春光去游玩！交通工具可選擇步行、自行車、電動車、汽車等.

我從學校門口出發到 ，路程大約是1千米.選擇的交通工具是 ，所花的時間是 ，平均速度是 .

我對1千米的感受是 .

我從 到 游玩，路程大約是 ，選擇的交通工具是 ，所花的時間是 ，平均速度是 .

基于以上認識，我推測 到 ，如果采用 的方式，所花的時間是 ，平均速度是 .

在實驗過程中，學生的學習熱情被充分調動，結合自身感受與同伴經驗相互交匯，共同對千米有了更深層次的概念建構.1千米有多長？選擇步行的學生認為：“1千米是挺長的一段路，和爺爺一起走了15分鐘左右.”“慢跑了約10分鐘才到達，有些微微出汗了！”選擇電動車、平衡車的同學覺得：“1千米沒自己原來想象中的那么長，大約5分鐘就到了呢！”選擇乘車出行的同學感受到：“花了兩三分鐘就到了，中間還遇到一個紅燈呢！”在交流中拓寬了教學的時間和空間，真正建構起“千米”的概念.

2.退到基本模型

隨著學生數學知識的增加、能力的增長，需要針對數學問題靈活調取已有方法策略正確解決.此時，學生應該讓錯綜復雜的數學問題回歸到它的起點，從基本模型出發尋求線索與答案.例如，在《相遇問題》中，學生通過學習、思考感悟到，無論是“從兩地同時出發相向而行最終相遇”，還是“從同地出發相背而行最后相距一段距離”，都能用相同的數量關系分析，因而算式結果是相同的.通過動態演示變直為曲，隨即過渡到環形跑道問題，引導學生在變式中感悟本質.基于前面兩種基本模型，學生受到啟發：只要將環形跑道沿著起點或終點位置“剪開”，化曲為直，就能還原到之前兩種最基本的相遇問題模型.

3.退接知識結構

學習數學是一個動態發展的過程，也是學生自己不斷完善認知結構的建構過程.學生的學習不應是散點式的，因此，對于教學應從散點研究開始，逐漸走向線性研究，再形成結構性研究.唯有將一棵棵知識樹培植于一片片知識林，數學知識才能真正對學生產生積極作用與影響.在退回知識結構的過程中，教師的引導作用必不可少，教師需要引領學生在建構過程中不斷發展和完善認知結構.例如，在學習體積和容積單位之后組織學生對以下問題進行深度探討.

（1）你學過哪些長度單位、面積單位以及體積單位？請分別舉例分析你是如何測量長度、面積和體積.

（2）你認為長度、面積和體積單位之間有怎樣的聯系？

（3）把兩點間的距離作為單位長度，請你表示出與之對應的面積單位和體積單位.

長度、面積、體積對應著線、面、體三個不同的概念，根據學生的空間思維發展水平和認知水平，這些教學內容被分布在不同年段逐一認識，被割裂成三個獨立的板塊.多數學生僅僅是學什么就認識什么，對這三部分無法建立起聯系，無法從它們內在的關聯出發靈活運用知識解決問題，發展空間觀念.因此，教師要抓住教學中的核心問題，將知識梳理成線，形成知識網，引導學生不斷自主建構知識結構，感受數學的本質.

（二）多元表征聯通：讓數學理解有“徑”

布魯納認為外在刺激的程度決定兒童思維，促進兒童心智的發展.他將兒童的思維活動按不同的程度分為三種表征，即動作表征、形象表征以及符號表征.基于此，多元化的表征以及各種表征之間的聯通讓兒童的數學理解有跡可循，有路可走.

1.實驗操作表征

兒童的思維發展必須借助實物的操作活動來完成，因此，在數學學習中應提供形象的、可觸摸的實物來幫助學生進行操作，表征自己的思維.在實際教學中，教師應不斷開發實驗材料、實驗素材和實驗活動，重視數學實驗在教學中的作用，使學生的動手操作和思維發展達到融合統一.

例如，探尋三角形的三邊關系，教師提供給學生兩根長度精心設計過的吸管進行實驗.

實驗一：剪一根.

通過把其中一根吸管剪成兩根，有的學生成功地圍成了三角形，有的則不行.學生認為，“兩根短的加起來比最長的要短”或“兩條邊加起來正好等于第三條邊”不能圍成三角形，因此得出“任意兩邊長度的和大于第三邊”.此外，教師引導學生對實驗進行回顧反思：“要想任意兩邊長度的和大于第三邊，應該剪哪一根？”從這個有深度的實驗思考中內化三邊關系.

實驗二：添一根.

通過該實驗，不同層次的學生得到了不同的發展.有的學生以8厘米為最長邊，確定第三邊要大于5厘米.有的學生則想到，倘若以未知邊為最長邊，則最長要小于11厘米.通過實驗探究，學生得出：第三邊是5厘米和11厘米之間任意一個數值.

2.圖形表征

根據學生的思維發展水平，能力的培養要逐漸從具體形象過渡到抽象概括階段.圖形表征是聯結具體與抽象最好的表征方式，它源于具體形象的實物，而又具有抽象化.因此，依托圖形求聯加深數學理解是小學數學教學的必由之路.在圖形表征求聯中，“數”與“形”的結合作為一種重要的數學思想方法被重視.例如，在加法運算律中，試圖讓學生驗證36+15=15+36，除了依托教材情境圖中的具體情景分析，還可以用多種方法表示.有的通過計算驗證，有的用結合加法的含義來解釋，有的則借助圖形或者線段圖表征進行合理分析.

又如，在小數的初步認識中，教師鼓勵學生用自己喜歡的方式表示出0.1元.學生根據元與角的十進制關系，立刻聯想到可以將圖形平均分成10份，這樣的1份就是0.1.在這里，學生無論選擇圓形紙片還是方形紙片，選擇大一點的還是小一點的紙片，都不影響對0.1在圖形上的意義表征.因勢利導，由具體圖形上的表征再引導到數線圖上的表征，學生利用圖形進一步建構一位小數與十進分數的聯系.

3.符號表征

符號表征是高層次思維的表達，學生能從實物或圖形中分離并進行抽象概括.數學符號的形成過程浸潤著歷史與文化因素.因此，在數學符號的表征中求得聯絡，能使學生感悟到超越數學知識以外的學科文化啟示，感悟到數學的簡約美、形式美、文化美.

關于等號，列·科爾德在《智慧的磨刀石》書中提道：“……世界上再也沒有比兩條等長而又平行的線段意義更相同了.”試想，教師在教學中始終本著一顆虔誠之心，珍視每一個數學符號，分享由符號引申出的數學歷史、數學文化、數學內涵，還會怕有學生對數學符號產生陌生感與障礙感嗎？動態演示

運算符號“+”“-”“×”“÷”生成的過程，比如：“+”的形成，每一筆畫代表一部分，即把兩部分合起來;“-”表示在“+”的基礎上去掉一部分，得到剩下的另一部分;“×”由“+”旋轉而來，表示幾個相同加數的和;“÷”由“-”演化而來，去掉相同的一份，兩個點表示每份同樣多.

例如，在度量單位的教學中，無論是長度單位、面積單位，還是體積單位，都要通過具體的活動引發學生對統一單位的需求，將非標準單位順利聯結到標準單位的建立.要使學生感知到：任何單位的產生和確立都是偉大而漫長的過程.學生在經歷由粗略到精確、由多樣到統一的過程中，不僅理解了度量單位的現實意義，感悟度量的數學本質內涵，也似乎“快進”經歷了一次次數學文化價值的歷程.

未來的教育應該是聯系的教育.我們通過求聯催化學生數學理解的自然進階，實現發展學生數學素養的課程目標，使數學精神轉化為學生終身發展的不竭動力，創造更加美好的生活.

【參考文獻】[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版[M].北京：北京師范大學出版集團，2011.

[2]黃彪.數學實驗應把握的四個要點[J].教學與管理（小學版），2017（09）：30-32.

[3]張苾菁.“通”與“聯”的視角：數學教學思考與實踐[J].小學數學教育，2018（10）：65-68.

[4]張輝.思行相伴，讓數學實驗更有效：以“樹葉中的比”教學為例[J].小學數學教育，2016（Z4）：25-27.