滲透分類討論思想，提升數(shù)學(xué)解題能力

江蘇省清江中學(xué) 劉小峰

初中階段，絕對值、方程和函數(shù)等知識涉及多種形式的結(jié)果和表達(dá)，由此，分類討論思想應(yīng)運(yùn)而生。分類討論思想并不是應(yīng)用在某一類題型中，而是應(yīng)該作為學(xué)生考慮問題、解決問題的基本途徑。我將分類討論思想的幾種應(yīng)用方法進(jìn)行了總結(jié)，與大家分享。

一、變形轉(zhuǎn)化，簡便運(yùn)算

很多運(yùn)算法則或者求方程的解等題目涉及多個運(yùn)算結(jié)果，這時候我們就需要進(jìn)行分類討論，對原式進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)簡便運(yùn)算。通過這種方法，學(xué)生做題的確定性會增強(qiáng)，對解題速度和正確率提升都很有幫助。

例如，在七年級上冊第二章學(xué)習(xí)“整式的加減”時，其中絕對值問題是難點(diǎn)。要計算絕對值，首先應(yīng)該將絕對值脫去，轉(zhuǎn)換成學(xué)生學(xué)習(xí)過的普通整式，進(jìn)而簡化計算。同時，由于數(shù)軸上距離原點(diǎn)相等的點(diǎn)所代表的數(shù)的絕對值相同，這就涉及多種情況，需要用到分類討論思想解決。如題目：若|a|=2016，|b|=2，求a+b 的值。顯然，只知道a 和b 的絕對值，是無法確定a、b 的值進(jìn)行求解的。一開始，大家還無法從小學(xué)階段的單一解形式中脫離出來，試圖從題目中尋求更多的信息找到答案。但事實(shí)上，這樣的思維方式很難達(dá)到解題的目的。因此，我從分類討論方面引導(dǎo)大家：在題干中，我們知道的信息只有a 和b 的絕對值，那么a 和b 的值就分別有兩種可能，這就導(dǎo)致（a+b）的值有4 種可能。這時候只要把4 種結(jié)果標(biāo)示清楚，就可以解決問題了：①當(dāng)a=2016，b=2 時，a+b=2018；②當(dāng)a=2016，b=-2 時，a+b=2014；③當(dāng)a=-2016，b=2 時，a+b=-2014；④當(dāng)a=-2016，b=-2 時，a+b=-2018。

絕對值等符號存在時會對學(xué)生的判斷和計算造成影響。這時我們就需要根據(jù)題干條件對式子進(jìn)行分類討論，總結(jié)所有可能的情況，實(shí)現(xiàn)正確求解。

二、分析限定，活用性質(zhì)

方程、函數(shù)和解不等式等知識點(diǎn)具有特定的性質(zhì)，在解題中，活用這些性質(zhì)會對我們的思考和分類產(chǎn)生正面影響，幫助我們合理地進(jìn)行分析，但是也要注意對其限定條件進(jìn)行分析，保證解題正確。

例如，九年級上冊第22 章學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容，無論是從因變量的取值范圍還是從頂點(diǎn)來看，二次函數(shù)的性質(zhì)都是經(jīng)得起推敲的。如例題：已知函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m 為實(shí)數(shù)）的圖像和x 軸只有一個交點(diǎn)，求m 的值。解題時，很多學(xué)生都是從二次函數(shù)出發(fā)，由函數(shù)的對稱性可知，若圖像和x 軸只有一個交點(diǎn)，那必定是頂點(diǎn)位于x 軸，即方程有且僅有一個零點(diǎn)，那么Δ=b2-4ac=(m-2)2+4(m-1)=0，解出答案m=0。從解題過程和思路能夠看得出來，學(xué)生對于二次函數(shù)的對稱性和頂點(diǎn)等性質(zhì)的把握還是比較明確的；但最重要的一點(diǎn)卻被學(xué)生忽略了：應(yīng)用二次函數(shù)知識解題的前提是二次項系數(shù)不為0，所以應(yīng)該補(bǔ)充：當(dāng)m-1=0，即m=1 時，函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2)x-1 為一次函數(shù)，其圖像與x 軸有且僅有一個交點(diǎn)，符合題意。經(jīng)過這樣的分類討論得出最終結(jié)果，當(dāng)m=0 或m=1 時，函數(shù)圖像和x 軸只有一個交點(diǎn)。

二次函數(shù)和不等式的性質(zhì)及應(yīng)用都比一次函數(shù)要復(fù)雜。學(xué)生要注意分析其限定范圍，靈活運(yùn)用性質(zhì)，充分遵從互斥性原則，做到分類時不重不漏，才能實(shí)現(xiàn)正確解題。

三、探究參數(shù)，確定范圍

參數(shù)不同，方程、不等式及函數(shù)的性質(zhì)也會有所變化。因此，在參數(shù)不確定的條件下，對學(xué)生的性質(zhì)把握能力要求就更高。在解參數(shù)未知的題型時，大家要重視分類的合理性。

通常來說，帶參數(shù)的不等式求解問題是非常復(fù)雜的，但只要學(xué)生深入掌握基礎(chǔ)知識，同時按照合理的邏輯進(jìn)行多級分類討論，就一定能夠攻克這樣的題型。

方程和函數(shù)等很多知識和題型都會應(yīng)用分類討論思想。教師一定要在解題教學(xué)中向?qū)W生合理滲透分類討論思想的應(yīng)用范圍和應(yīng)用方法，這樣學(xué)生才能合理掌握。