在收與放之間助力思維的發展
——《有趣的等式游戲》磨課小記

文｜周 霞 陳 敏

數學教學主要是指數學思維活動的教學。在小學數學課堂中，教師需要花時間去研究學情，基于學情精心組織數學學習活動，設計具有開放性、挑戰性的教學任務，給學生展示和發展思維的機會。以下分享《有趣的等式游戲》一課的嘗試與反思。適用年級為一年級。

片斷一：

出示問題：請將3、4、5、6 填在下面的方框中，使等式成立。

□+□=□+□

1.請學生當小老師讀一讀題。

師：你們明白題目的意思嗎？等式怎樣才能成立？

生：兩邊結果相等。

師：請將你的方法寫在練習紙上。

2.學生自主嘗試，教師巡視指導。

3.指名匯報。

師：誰先來分享自己的方法？

生：我用湊數的辦法。3+6=9，4+5=9，所以3+6=4+5。

師：這位同學是怎么想的？

生：他是用算的辦法，左邊3+6 等于9，右邊4+5 也等于9，所以3+6=4+5。

師：那有沒有不用“算”的辦法來寫等式的呢？

生：我是這樣想的：3、4、5、6中，3 是最小的，和最大的6 搭配；4 是第二小的，和第二大的5 合在一起，3+6=4+5。

師：大家聽明白他是怎么做的了嗎？

生：聽明白了，就是把大的數和小的數加起來。

小結：像3、4、5、6 這樣四個連續的數，我們可以用最大數和最小數，次大數和次小數“手拉手”組等式。

片斷二：

師：老師往里面增加一個數，你還能自己完成組等式的任務嗎？

出示問題：請把3、4、5、6、7中的四個數字填在下面的方格中，使等式成立。

□+□=□+□

2.指名匯報。

師：現在大家至少都寫了一個等式。老師這里收集了幾份答案，我們一起來看一看。

（1）3+7=5+6。

師：這個等式怎么樣？

生：他寫得不對：3+7=10，5+6=11，等式不成立。

（2）3+7=4+6。

生：最小3 和最大的7 加起來，第二小的4 和第二大的6 加起來。

生：我檢查過了，3+7=10，4+6=10，3+7=4+6，等式成立。

師：用什么方法組等式的？

生：其實和剛才是一樣的。最小配最大，次小配次大。

師：這位同學的線連得真好，一連線我們就看清楚了：用最小配最大，次小配次大。我們用“大手拉小手”來比喻好不好？

師：“大手拉小手”以后，中間的5——

生：沒有用到，去掉了……

（在課件中演示學生的方法，形成板書——去中間）

（3）3+6=4+5。

師：請介紹一下你的式子。

生：我想到5 可以去掉，那其他數可不可以去掉呢？最簡單就是把7 去掉，變得和剛才的題目一樣，3+6=4+5。

師：請你暫停一下。這段話大家聽懂了嗎？

生：我聽懂了。他的意思就是還可以把7 去掉，然后“大手拉小手”，3+6=4+5。

師：（在課件中演示學生的方法）這次去掉了——尾數。

（形成板書——去尾）

（4）4+7=5+6。

生：我可以補充嗎？既然可以去掉尾巴的數，那我們還可以去掉頭上的數，把3 去掉，“大手拉小手”是4+7=5+6。

（形成板書——去頭）

3.反思小結。

師：現在我們得到了3 個答案。回顧一下，我們是怎么做的？

生：我們先想到“大手拉小手”，正好去掉了中間數。后來想到既然中間數可以去掉，還可以去掉頭上和尾巴上的數，又得到了2 個答案。一共有3 個答案。

生：我有一個問題，“4”可不可以去掉？

生：不可以，4 去掉以后，3、5、6、7 不連續。我算過了，3+7=10，5+6=11，不可以“大手拉小手”。

生：只有頭、尾、中間的數可以去掉。

師：同學們有沒有想過這道題和上面的題之間有什么聯系？同桌商量商量。

生：去掉尾巴數以后，3、4、5、6、7 變成了3、4、5、6。第二題變成了第一題。

生：從第一題增加1 個數變成第二題，答案增加了。我們發現去頭、去尾，都可以剩下4 個連續的數。

生：都可以用“大手拉小手”的方法寫出等式。

生：我來補充一下，不可以隨便去掉數，有時剩下的4 個數不能“大手拉小手”組成等式。

師：同學們真會學習。我們通過去頭、去尾、去中間的方法，把第二題去掉1 個數后，從5 個數的問題變成和第一題一樣的4 個數的問題，又可以用上第一題中大手拉小手的方法寫等式了。學習數學，我們要不斷尋找題目之間的聯系，把新問題變成老問題，用老辦法解決新問題。

片斷三：

出示問題：將3、4、5、6、7 填在下面的方框中，使橫行和豎列上3 個數的和都相等。

師：和第二題有聯系嗎？你能想到好辦法來解決這個問題嗎？

1.學生自主嘗試，教師巡回指導。

2.小組交流。

師：完成的同學把自己的方法說給身邊的同學聽一聽。沒完成的也可以說說自己的困難，讓小伙伴幫忙一起想想辦法。

3.集體交流。

師：說說你們的方法吧。

生：我是這樣填的——

師：我們來檢查一下填對了沒有？

生：7+5+3=15，4+5+6=15，填對了。

師：題目要求橫行3 個數的和要等于豎列3 個數的和。所以3個數加一加，可以肯定填對了。（板書：7+5+3=4+5+6）

師：老師這里有一個檢查辦法，你們看行不行？橫的，我只算4+6=10；豎的，我只算7+3=10。我覺得這樣就可以保證橫行和豎列的和相等了。

生：可以。因為橫行、豎列都要加5，都要加也可以都不加。

生：（修改板書：7+3=4+6）這位同學的意思就是等式兩邊都有“+5”，可以都去掉。所以老師的方法是可以的。

師：反過來說，只要7+3=4+6——

生：兩邊再都加上5，結果還是相等的。

生：老師，我知道了。這道題看起來是3 個數的和相等，其實是2 個數的和相等。

生：就和第二題一樣。把5 放在中間，兩邊填3+7=4+6。

師：是這樣嗎？（框起第二題板書“去中間”的條目）那現在你有更好的辦法來填這個十字格了嗎？請你順著剛才的討論再想一想，試一試。

4.學生再次自主嘗試，教師巡回。

5.集體再交流。

生：剛剛發現只要兩頭的數相加和相等就可以，第一個答案，我們是把中間數5 填在中間（指方格），“大手拉小手”。那么接下來我們也可以把尾巴數7 放在中間，然后“大手拉小手”；或者把開頭數3放在中間，再“大手拉小手”。

師：誰來當小老師檢查？

生：3+6=9，4+5=9。9 都要加7，每行、每列的和都是16。

生：4+7=11，5+6=11，11+3=14，每行、每列的和都是14。

生：這道題和第二題其實是一樣的，剛才去掉的頭、尾、中間，這里就擺在中間的格子里，剩下的數“大手拉小手”就好了。

片斷四：

師：看看，這節課我們解決了這么多有挑戰的任務，你有什么想說的嗎？

生：這些題目都是差不多的。

生：都可以用“大手拉小手”的辦法。

生：如果有多余的數，先要去頭、去尾、去中間。

生：填等式也可能變成填格子。

師：填等式還會變嗎？

出示問題：把2、4、6、8、10 填入下圖的5 個小圓中，使橫行和豎列上3 個數的和都相等。

【教學反思】

一、學生的思維是做出來的

《數學課程標準（2011年版）》中指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式。在課堂教學中，教師不僅要為學生設計富有開放性和挑戰性的教學任務，而且要懂得和舍得留給學生充足的實操、探索與交流的機會，讓學生在動手“做”數學中感知問題本質，探索解題策略，積累解決問題的經驗。

學生對一個問題的認識是在做的過程中逐步深化的，解題的方法也是在做的過程中逐步優化的。在用3、4、5、6 組等式時，由于數字少且數值小，很多學生都是直接計算得到答案3+6=4+5 的，采用大數配小數的學生是少數。但在從3、4、5、6、7 中選4 個數組等式時，由于數字有冗余且涉及到了進位加法，學生在實際操作中自然感覺到計算的方法不那么高效，于是轉向搭配策略的人數就多了起來。搭配策略的遷移水平是不同的，多數學生比較受限，只想到了大小搭配——3+7=4+6，只有少數繼續嘗試了“去尾”“去頭”法搭配……這種參差的、自發的策略水平恰恰為下一步交流、比較和提升奠定了“憤”“悱”的認知基礎和情感氛圍。

二、思維發展離不開反思

“學而不思則罔，思而不學則殆。”邊學習邊反思，不僅可以檢查學習過程中的疏漏和錯誤，還可以理清思路、深化知識、積累經驗、優化提高。

在學生做的基礎上，組織反思、交流尤其重要。如前面提到學生在5 選4 組等式的活動中，多數學生只能做簡單的遷移，得出一個答案，少數學生也只是在懵懂的嘗試中找新答案，這時就需要通過交流來歸納、提升。先把多數學生都能想到的答案核對和沉淀下來，引導注意從留下的4 個數轉向去掉了哪個數，從而發散思維：還可以去掉哪個數？從一個答案推向多個答案。在此基礎上，學生主動質疑：4 可以去掉嗎？討論突出大小搭配策略的適用條件——“連續”的數（實質為和不變的性質：對應加數之間的差相等，即a+b=c+d，有c-a=b-d）。師生、生生之間均在吸取他人思考的基礎上繼續思考、解釋、質疑、拓展，將對問題的認識和策略的優化層層推進，思維從膚淺到深刻、從單一到多元、從碎片到關聯。