習題教學，需重視『習題的習題』

文｜何月豐

2020年12月11日，周五

近期在教學“除數是兩位數的除法”，課堂和練習的重心都放在計算上，對于“解決問題”的討論相對而言有點忽視。現在學生對計算的技能已經比較熟練了，故今日的數學課，計劃就數學書上一些略有特殊的“解決問題”進行教學。下圖這道“解決問題”，便是我心里一直惦記著的“重要”習題之一。

因為有以往教學這道習題的經驗，所以我比較清楚學生在解答時可能出現的問題。這些經驗，便也成了我對這道習題教學設想時重點關注的地方，如對問題中“最多”的理解、算式中單位的確定等等。帶著這樣的經驗與設想，我開始了教學。

實物投影出示習題——之所以不讓學生翻開數學書，是因為我認為一起看大屏幕更能集中學生的注意力。

師：自己看，會不會？

“會，那么簡單?！币恍W生信心十足地喊著。

我關注著學生的表情，這讓我能知道他（她）是否在認真觀察和思考。一些學生很快開始動筆解答，也有一些學生動筆比較慢。

當大部分學生完成了，我便組織交流。

師：我有點不明白，題目中說“29 元/件、49 元/2 件”，這是同一種衣服還是不同的衣服？

一個聲音比較響：不同的衣服。不過大部分學生還是認識到這是同一種衣服。

師：到底是不是同一種衣服呢？

生：是同一種衣服，1 件是29 元，如果你再加1 件，就是49 元。

師：哦，原來是這個意思。同一種衣服，如果你1 件1 件買，每件是29 元。如果你2 件2 件買，2 件一共49 元。我明白了?，F在誰來說第一個問題？

生：185÷49。

我板書了這個算式，然后問：為什么要除以49？為什么不除以29？

生：因為2 件2 件買要便宜。

這位學生講得是對的，但沒有將習題中的關鍵點出來，需要再刺激一下。

師：我是錢多多，不差錢，干嘛要按便宜的買。到底是什么原因讓我們要除以49？

生：因為題中說“最多”，2 件2 件買便宜，就能最多。

這才是關鍵。

師：哦！原來是這個原因，題目中要我們算最多買幾件，那就要按便宜的買。

此處還與學生簡要討論了為什么按49 元買會便宜的原因。（照顧到所有學生，這一步還是有必要的）

師：誰算出來了？

生：3 余38 元。

根據學生的回答，我用紅色粉筆板書了答案，并特意在“3”后面空了一段再點省略號寫余數。這是一個關鍵點：“3”后面的單位是什么？這是我根據以往教學經驗而刻意關注的地方之一。

師：38 元有單位，3 后面怎么沒有單位？3 后面有單位嗎？

學生在喊“有的”，于是我在“3”的后面又添了一個括號，如下：

185÷49=3（ ）……38（元）

看見括號，大部分學生在喊“件”，不過也有一部分學生在喊“組”。

師：到底是“件”還是“組”？

此時大部分學生開始贊成“組”了。

師：為什么是“組”呢？

生：因為49 元是買2 件，2 件就是1 組。

與學生再次討論，明確單位確實是“組”，且明白1 組是2 件。然后我將單位補充上去，形成：

185÷49=3（組）……38（元）

師：接下來怎么辦呢？

生：38 元還能再買1 件。

師：什么，還能再買1 件？什么情況？

生：因為題目說29 元買1 件?，F在余下38 元，還能再買1 件。

師：哦！剛才是2 件2 件買，現在是1 件1 件買。

板書：38÷29=1（件）……9（元）。當然，寫的過程中對單位“件”又進行了簡單的討論。

師：接下來怎么辦？

現在學生都在喊“3×2”了。

師：3 干嘛要乘2？什么意思？

生：因為是3 組，每組有2 件。所以3 組是6 件。

這個問題前面已經討論過了，但根據我的教學經驗，這是學生經常要“忘記”的地方，所以此處我又再一次進行了“強調”。

結合學生的意見，我板書：3×2+1=7（件），然后請學生訂正。

師：現在大家都明白了嗎？

“明白了！”學生幾乎異口同聲。

師：有點不相信。請看大屏幕。

學生獨立審題計算，然后交流，依次得出算式：

350÷69=5（組）……5（元）（此處再次討論單位“組”，以強化）

5×2=10（件）

師：奇怪了，這次怎么不用再加1 了？

生：這次口袋里沒錢了。

師：沒錢了？

生：哦，不是沒錢了，是錢不夠了。

師：“不夠”是什么意思？

生：現在還剩下5 元錢，買1 件要39 元，不夠了。

師：哦，原來如此呀！

結合板書形成對比。

師：啊呀！我口袋里的錢數錯了，我有400 元。

學生再次計算，然后交流。（略）

【日志解讀】

在上面這則教學日志中，我覺得有兩點值得與大家探討：第一是對于這道習題的教學，我做到了充分展開、深入交流，盡可能使學生在第一次學習后就能對此類習題的解答有較為深刻的理解和掌握，也就是“像教例題一樣教習題”；第二是對于這道習題的教學，我沒有就題論題、一題了事，而是在教學之后又馬上跟進了兩道相似的習題，也就是安排了“習題的習題”。

關于第一方面，已經在本刊2021年第1～2 期合刊《像教例題一樣教習題》中有過解讀，此處就不再贅述。故，接下來重點就第二方面“習題的習題”談一下自己的理解。

一、為什么要安排“習題的習題”？

所謂“習題的習題”，顧名思義，就是為習題而準備的習題。也許我們會想：為習題再準備習題，有必要嗎？答案當然是肯定的。

一般而言，習題是為例題而準備的。每道例題教學之后，都會安排一定量的習題，用于鞏固學生對例題所學知識的理解和掌握。但是，在習題教學過程中，也經常會遇到一些在形式、要求、策略、內涵等方面與之前所學例題有很大差異的習題。像教學日記中我記錄的這道習題，出現在人教版四年級上冊“除數是兩位數的除法”這個單元，本單元并沒有專門編排“解決問題”的相關例題（用于引出算式教學算理算法的“解決問題”例題除外），學生也未在之前的學習中遇到過類似的習題，所以雖然這道習題中涉及的計算技能學生都會，但它不是簡單的知識應用類習題，而是學生首次遇到的具有新穎形式和要求的習題，具有一定的探索性。顯然，這樣的習題，其教學的目標不僅僅是簡單地鞏固之前所學，還承載了一定的新知教學任務。

面對這樣一道承載了一定新知、具有探索性的習題，在教學中就如同面對一道例題。例題教學需要習題來鞏固，那么，具有一定例題特征的習題，自然也需要習題來鞏固。由此可見，“習題的習題”確實是有必要的，只不過其中所講的習題，不是一般的習題，而是具有例題特征的習題。

二、如何安排“習題的習題”？

在習題教學過程中要安排“習題的習題”，一般來說要經歷以下兩步。

1.分析習題的特征。

前已提及，那些具有一定例題特征的習題才需要我們在教學中安排“習題的習題”。這也就是說，要安排“習題的習題”，教師首先要善于從習題的外在形式、問題要求、方法策略、知識拓展等方面對習題進行分析，從中找到那些具有一定例題特征的習題。對此，我們可以嘗試從以下三個方面進行：

第一，讀一讀《教師教學用書》?！督處熃虒W用書》一般都會對教材上每一道習題的內涵及承載的教學目標進行分析，并對其教學提出建議。因此，通過閱讀《教師教學用書》，就可以幫助我們把握每一道習題的特征，并對其作出判斷，進而確定其是否需要“習題的習題”。

第二，做一做教學中用到的每一道習題。教學中用到的習題，可能來自教材、作業本，也可能來自其他的教學資料。不管這些習題來自哪里，作為教師，在備課時自己先把每道習題做一遍，這是習題教學最基本的要求之一。通過提前做一做，可以幫助我們更好地對這些習題（特別是教材之外的習題）的特征作出判斷，確定是否需要“習題的習題”。

第三，想一想以前教學這道習題的經驗。對習題特征的把握，一方面來自對習題本身的研讀，另一方面來自對學生解答的反饋。也就是說，有一些習題也許教師認為挺簡單，但學生在解答中卻對其中的一些字詞、步驟理解上有偏差。學生在解答一道習題中遇到的困難，就會成為教師教學這道習題的經驗。因此，面對一道習題，想一想自己以前教學的經驗，特別是要想一想學生的情況，同樣能為其是否需要安排“習題的習題”提供參考，我對教學日記中習題的判斷，便是基于以前的教學經驗。

最后需要說明的是，對于習題特征的分析，除了做好以上三個方面之外，教師還要具有從“一題”到“一類”的意識，即面對一道具有探索性、蘊含新知識的習題時，我們的眼里不應將其看成是一道題，而應看成是一類題。當我們站在“類”的視角看待習題時，對于習題的特征就會有一個更為清晰的認識，如有教師提煉出的“買幾送幾”“原路返回”等名詞，便是從“類”的視角看習題的體現，這同樣有助于我們判斷其是否需要“習題的習題”。事實上，像我們熟悉的“歸一問題”“行程問題”等，本身就是對題進行“類”的提煉。

2.準備跟進的習題。

當我們通過分析確定一道習題需要“習題的習題”后，接下來要做的工作便是準備跟進的習題。對跟進習題的準備，需要我們針對原來習題的特征，在備課時就設計好，以備課堂上使用。對此，需要注意以下兩點：

一方面，要注意形式匹配。所謂“形式匹配”，即指習題在設計時，常常只需將情境或數據換一換而已，在形式、要求、結構等方面與前面的習題盡可能匹配。之所以要“形式匹配”，是因為此時習題的目標不在探索、創新，而在于使學生嘗試應用一遍剛才習題中學到的新本領，以實現鞏固。如教學日記中我在習題教學之后又跟進的兩道習題，與之前的習題相比，僅僅是換了數據而已——其中一道余數上略有變化，也是在換一種形式強調原來的解題思路。

另一方面，要注意持續跟進。所謂“持續跟進”，即指此類習題在首次教學時有跟進習題，并不代表這樣就結束了，而是要在以后的教學中借機再跟進。如教學日記中記載的習題，我在第二天與學生討論另一道教材上的習題時，先將其作為復習的內容進行了練習，再由此引出新討論的習題。此后在單元復習、期末復習時，還會進一步跟進。