豐富素材 自主建模 理解定律
——《乘法分配律》教學實踐與思考

文｜陳月初

《數學課程標準（2011年版）》在“關于課程內容”中明確指出“應當注重發展學生的運算能力”。運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。如何在教學中提高學生的計算能力呢？在計算中出現這么多的問題是本身知識點難，還是運算定律較難理解呢？

一、做了又錯——發現痛點

學生的理解停留在淺層。比如說，a+b×c這種類型，有學生會想當然地把它認為是（a+b）×c 或者是a×c+b×c，這種錯誤還是比較多的。筆者對出現這些錯誤的學生進行了調查，有很多學生認為它就是乘法分配律的樣子。這是因為它們之間存在一定的相似性，誤導學生去相信自己眼睛看到的表象，而忽視了其本質的東西。當然還有些學生是真的不知道它們是不是一樣的。就這樣，教師在不斷地糾正著，學生又義無反顧地錯著。

二、先看再想——尋找觸點

為了解決學生的痛點，讓學習變得更愉悅一些，這就要求我們去認真地研究，究竟是哪里出了問題？

1.教材縱向的研究——觀前世今生。

我們在思考問題的時候，往往會聯系其前世今生，尋找內在聯系。因此，筆者對教材進行梳理，以便于發現其內在的一些聯系。欣喜的是發現學生在學習乘法分配律之前，對于乘法分配律并不是一無所知。而是在其學習之前已經有了相關方面的知識體驗。

學期 內容 模型《乘加乘減》二年級上冊images/BZ_63_1161_2081_1455_2209.png4×3+4=（）×（）2×3-3=（）×（）images/BZ_63_1163_2260_1468_2416.png三年級上冊《長方形的周長》 長方形的周長：（6+4）×2=20（厘米）長方形的周長=（長+寬）×2=長×2+寬×2《兩位數乘一位數口算》12×3=36 10×3=30 2×3=6 30+6=36《兩位數乘一位數筆算》images/BZ_63_1161_2477_1466_2635.pngimages/BZ_63_1164_2695_1464_2816.pngimages/BZ_63_1496_2680_1797_2810.png《兩位數乘兩位數筆算》10×3=30 5×3=15 30+15=45三年級下冊images/BZ_63_1158_2869_1447_3001.pngimages/BZ_63_1687_2843_1766_3002.png面積的計算images/BZ_63_1151_3047_1470_3142.png21×（30-8）=21×30-21×8

從上表的分析來看，學生在學習乘法分配律之前，就有了相關知識體驗，而且在學之前，這類問題學生都會解決。相反，在學習了乘法分配律之后，反而原有的知識體驗變得不那么清晰了，甚至是這種知識體驗突然消失了。其實不然，很多時候我們在未建立規則的時候，我們可能對事情的理解會淺層一點，會好理解一點，但是在建立規則以后，我們的思考會受規則影響，以至于去完成事件的時候需要去聯系著想。縱向對比，有了一些發現，隨即筆者翻閱了其他版本的教材進行對比。

2.教材橫向的對比——看左鄰右里。

筆者翻閱了蘇教版、北師大版等教材。發現不管是哪個版本，學習乘法分配律前，都有該定律的模型的鋪墊，但都沒有出現對應字眼和描述。筆者對41 位教師進行的問卷調查也顯示，教材不同，教學時也都沒有對乘法分配律進行著重講解，而是順其自然。在教學了乘法分配律之后，情況也是高度一致，學生的出錯率很高。筆者做了一個大膽的猜測，原因可能是同一時間學習多種運算定律的原因，學生受外界干擾因素越多，那么混淆率和錯誤率也就會提高，后期反而要做相應的教學補救措施。

三、尋找策略——突破難點

1.創設問題情境，提高興趣。

學生往往對一些生動的、有趣的教學素材比較感興趣。因此，教師如果能夠認真研讀教材，理解編者意圖，再聯系生活實際，通過挖掘生活中有趣的素材，這樣錯誤率應該會有所降低。如教學《乘法分配律》的時候，書上例題是“褲子45 元，夾克衫65 元，張老師買5 件夾克衫和5 條褲子，一共要付多少元？”這個素材對于學生來說，一是生活體驗不夠，沒有買過衣服；二是素材不吸引人。學生的興趣勢必也會降低。如果把素材改成“四年級有4 個班，五年級有5 個班，每個班領24 根繩子。四五年級一共領多少根繩子？”雖然還是會顯得比較單調，但是可以給素材進行點綴，教師可以補充創設情境：學校開展跳繩比賽。這不，四五年級的學生正派代表去領繩子呢！經過情境創設，學生能體會數學源于生活，又應用于生活，從而提高學生的學習興趣，引發學生更積極地思考。而創設問題情境的方法有很多，比如情境法、懸念法、認識沖突法等。教師創造的情境要遵循趣味性、生活性、應用性等原則。即教師要創設與學生生活密切相關的場景，既要注重趣味性，還要在體現數學的應用價值基礎上，具備挑戰性，引發學生自主地學習。

2.建立模型思想，強化算理。

模型思想也是一種規律意識，都是從特定的原型開始，經歷一系列的觀察、比較、分析、概括的操作，最后形成結論。在《乘法分配律》一課，筆者為學生建立“比較分析——提出猜想——舉例驗證——推廣應用”的模型思想。具體說來就是在例題（4＋5）×24 和4×24＋5×24 這兩道算式算出得數相等時，初步感知這兩道算式之間的聯系。雖說先算和后算的過程是不一樣的，但是最后的結果是一樣的。學生觀察等式，提出猜想，接著舉例驗證，最后總結規律，推廣應用。學生經歷多次這樣的建模學習后，可以感受數學學習的規律性。

3.培養創新精神，提升素養。

“學源于思，思源于疑”。學習中有思考、有質疑、有批判，才能發現新的問題并努力解決，如此才能激發創新思想和創新舉措。教師要在平常的教學中加以引導，潛移默化地培養學生的創新思想。乘法分配律最初是對有相同因數的兩個乘法算式進行相加的簡便計算。教師可以提出探究性的問題：如當加號變成減號的時候，這個運算定律還適用嗎？引導學生進行舉例驗證，（5-4）×24 與5×24-4×24 的結果是一樣的，從而判斷在相減的時候是適用的，再讓學生去思考，加變減后，能否提出相應的數學問題，從而進行運算定律的鞏固與內化。當教師提出：你有什么好辦法記住乘法分配律呢？學生集思廣益，有用文字、圖畫、語言等進行記憶的，也有經過教師提示想到用數形結合的方法。如兩個寬一樣的長方形組合成的圖形有兩種計算面積的方法，一是先算兩個小長方形的長的和再乘寬；二是先算兩個小長方形的面積再求和。這兩種方法都是依據求兩個長方形的面積來解決問題的。由此可見，教師的提問方式很大程度上影響了學生的思維方式，越是開放的問題，就越有助于激發學生的探究精神，從而走向深度學習。

4.關聯新舊知識，豐富體系。

數學課程的教學是螺旋上升的過程，新知識的教學要建立在舊知識的基礎上，從而構建連續和豐富的知識體系。這既符合學生的認知規律，又能幫助學生實現循序漸進地階梯式發展，也達到《數學課程標準（2011年版）》中的要求，即在理解數學的同時，思維能力和價值觀等方面也獲得發展。因此，教師在教授新知時，應有效將舊知融入教學中，找到舊知與新知的聯系，使兩者更好地貫通，達到更高效的學習。以《乘法分配律》為例，筆者在新課導入部分安排了計算（55＋45）×9 和55×9＋45×9 這兩道數學熱身題，學生在計算的過程中，不僅復習了之前的運算順序，還滲透了湊整的簡便計算思想。授新課后，筆者讓學生再回到這兩道題，并說說為什么左邊算得又對又快，體會簡算的好處，激發簡算的欲望。緊接著給出練習題：算一算、比一比，每組中哪一題的計算比較簡便？在多次湊整計算后，學生能體會湊整的簡便之處。接著再回顧以前應用過的乘法分配律，比如在計算12×3 時，其實就是將12 寫成10 加2，再計算10 個3 和2 個3 的和。在多次聯系新舊知識的過程中，學生能體會數學的神奇之處，原來用過的解決方法，也可以用現在學習的知識來解決。

筆者在進行這一系列的教學策略以后，再對學生調查時，學生都說更好理解了，并且難點得到了突破，其他定律的干擾也少了很多。在解題時，能夠用已經建好的數學模型來解題，正確率明顯提高。

四、內化提升——尋找生長點

世間萬物總是能夠找到它們的聯系點，在特定的時間里向著好的方向發展。乘法分配律也是一樣。小學階段學習，我們一直把乘法分配律運用到計算中，然而這不是學習的結束。筆者翻看了初中教材后發現，初中學習里，乘法分配律還在繼續。在去括號的學習中，如a-（-b-c+d）=a+b+c-d，去括號時，我們可以看作是-1 去乘括號里的每一個數，然后再把它們進行相加減。再如有理數的乘法計算9x-2（4a+4a-1）=9x-8a-8a+2，也可以用我們的乘法分配律進行計算。因此，在后續的學習中，乘法分配律的使用還是很廣泛的。

在乘法分配律的教學中，教師除了要教會學生靈活運用定律外，更重要的是乘法分配律教學對學生后續學習能力的培養。教師要通過不斷改進教學方法，滲透數學思想的同時，使運算教學在算理、算法、技能這三方面得到和諧發展和提高，用長遠的目光看待學生的學習過程。教師教的不僅僅是知識本身，而是讓學生具備運算的能力，體會運算的價值和應用。在教學中給學生足夠的空間去創新思維，在興趣中主動學習，讓學習真正發生，從而提高數學運算能力。