同構(gòu)思想在函數(shù)中的簡單應(yīng)用

顧紅霞

同構(gòu)法：將F (x)＞0等價(jià)變形為f (g (x))＞f (h (x))，構(gòu)造函數(shù)y =f (x).若f (x)單調(diào)遞增，則F (x)＞0等價(jià)于g (x )＞h(x)；若f (x)單調(diào)遞減，則F (x)＞0等價(jià)于g (x )＜h(x).

下面研究兩種：“地位同等”要同構(gòu)、“指對跨界”想同構(gòu).

一、地位同等要同構(gòu)

基礎(chǔ)自測1已知a＞b＞0，則a2__________b2，2a__________2b.（填“＞”或“＜”）

解析發(fā)現(xiàn)問題的左、右兩邊結(jié)構(gòu)相同——同構(gòu)式，結(jié)合簡單的冪函數(shù)f(x)=x2與指數(shù)函數(shù)f(x)=2x的單調(diào)性可判斷大小關(guān)系.填“＞”、“＞”.

【小結(jié)】含有地位同等的兩個(gè)量a，b的等式或不等式，如果進(jìn)行整理（同構(gòu)）后，等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決.

思考：已知a＞b＞c，則a2+2a______________b2+2b.（填“＞”或“＞”）

變式1已知a＞0,b＞0,a2-b2＞2b-2a，則a,b的大小關(guān)系為____________.

解析觀察形式，將a,b分開，變形為a2+2a＞b2+2b，此時(shí)左、右兩邊結(jié)構(gòu)相同，故可構(gòu)造f(x)=x2+2x，知f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，從而由f(a)＞f(b)可得a＞b.

收納袋

變形→構(gòu)造（同構(gòu)式）；f(a)＞f(b)→單調(diào)性.

變式2已知a＞0,b＜0,a2-b2=-2a，則a+b=________.

解析已知等式變形為a2+2a=b2+，觀察左、右形式，整理為a2+2a=(-b)2+2-b，故可構(gòu)造f(x)=x2+2x，知f(x) 在(0，+∞) 上單調(diào)遞增，從而由f(a)=f(-b) 可得a=-b，即a+b=0.

變式3已知a,b∈ (0,2),a2-b2=-2a-4b+4，則a+b=_______________.

解析已知等式變形為a2+2a=b2-4b+4+，右邊形式較復(fù)雜，發(fā)現(xiàn)完全平方式b2-4b+4=(2-b)2，從而a2+2a=（2-b）2+22-b，

故構(gòu)造f(x)=x2+2x，知f(x) 在(0，+∞)上單調(diào)遞增，從而由f(a)=f(2-b)可得a=2-b，即a+b=2.

二、指對跨界想同構(gòu)

基礎(chǔ)自測2已知ex≥e2，則x的取值范圍為__________________.

解析發(fā)現(xiàn)同構(gòu)式，構(gòu)造f(x)=ex，利用單調(diào)性解不等式，可得x的取值范圍為[2,+∞).

變式1已知x+ex≥2+e2，則x的取值范圍為__________________.

解析發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造f(x)=x+ex，利用單調(diào)性解不等式，可得x的取值范圍為[2,+∞).

變式2已知x+ex≥2+ln 2，則x的取值范圍為____________________.

解析結(jié)構(gòu)不同，如何求解？化不同為相同，滲透化歸思想.

思路一：由恒等式alogax=x，可知2=eln2，不等式可化為x+ex≥l n 2+eln2，

故構(gòu)造f(x)=x+ex，由f(x)≥f(ln 2)，結(jié)合f(x)單調(diào)性可得x≥ln 2.

思路二：由恒等式loga ax=x，可知x=ln ex，不等式可化為ex+ln ex≥2+ln 2，

故構(gòu)造f(x)=x+lnx，由f(ex)≥f(2)，結(jié)合f(x)單調(diào)性可得ex≥2，從而解出x范圍.

思路圖示：

請你補(bǔ)充：

（參考答案見文末）

闖關(guān)題：已知(a-1)x+eax-lnx≥0，對任意的x∈ (0,+∞)恒成立，則a的取值范圍為__________.

分析：通過基礎(chǔ)自測變式2 的提煉總結(jié)，不等式可變形為ax+eax≥x+lnx，從歸納的兩個(gè)角度構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解.

思路一：ax+eax≥lnx+elnx，故構(gòu)造f(x)=x+ex，

由f(ax)≥f(lnx)，結(jié)合f(x)單調(diào)性可得ax≥lnx，從而a≥

研究函數(shù)g(x)=的最大值，可求導(dǎo)處理，得最終結(jié)果a＞

思路二：eax+ln eax≥x+lnx，故構(gòu)造f(x)=x+lnx，

由f(eax)≥f(x)，結(jié)合f(x)單調(diào)性可得eax≥x，再求參數(shù)a范圍，

需將指數(shù)ax“拿”下來，此時(shí)可兩邊取e 為底的對數(shù)，得ax≥lnx，下同思路一.

回歸真題

1.（2020·全國卷II）若2x-2y＜3-x-3-y，則（ ）

A.ln(y-x+1)＞0 B.ln(y-x+1)＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

2.（2020·全國卷I）已知a＞0,b＞0,2a+log2a=4b+2log4b，則（ ）

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

3.（2020·山東卷）已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.（有刪減）